文档内容
第二十四章 圆
专题15 圆重难点题型专训（十大题型）
【题型目录】
题型一 圆的基本概念辨析
题型二 求圆中弦的条数
题型三 求过圆内一点的最长弦
题型四 圆的周长和面积问题
题型五 点与圆的位置关系
题型六 三角形的外接圆
题型七 确定圆的条件
题型八 圆中角度的计算
题型九 圆中线段长度的计算
题型十 求一点到圆上点距离的最值
【知识梳理】
一、圆
（1）圆的定义
1．在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫圆．这个固
定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径．以 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。
（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径
确定圆
的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
（2）点和圆的位置关系
点和圆的 点到圆心的距离与半径的关系
图示
位置关系 文字语言 符号语言
圆内各点到圆心的距离都小于半径， P A
点在圆内 点 在圆内 r
到圆心的距离小于半径的点都在圆内 O
圆内各点到圆心的距离都等于半径， A P
点在圆上 点 在圆上 O
到圆心的距离等于半径的点都在圆上 r圆内各点到圆心的距离都大于半径， A P
点在圆外 点 在圆外 O
到圆心的距离大于半径的点都在圆外 r
点拨：（1）利用 与 的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以
确定 与 的数量关系。
（2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
（3）弦、弧、圆心角
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径
的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 为端点的弧记作\s\up6(⌒)，读作弧AB．在同圆或
等圆中，能够重
合的弧叫做等弧．
3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做
优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
6．顶点在圆心的角叫做圆心角．
名称 概念 注意 图示
直径是圆中最长的
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦 ”
弦不一定是直径
直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径 ” 但弦不一定是直径
C
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条
弧、 直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆； B
半圆是弧，但弧不
半圆、 大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的 O
一定 A
劣孤、 ；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右
是半圆
优弧
图中
等圆只和半径的大
能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个
等圆 小有关，和圆心有
圆是等圆；反过来，等圆的半径相等
位置有关
长度相等的孤不一
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤
定是等孤
【经典例题一 圆的基本概念辨析】【例1】（2023春·安徽·九年级专题练习）圆O的直径 ，点C是圆O上一点（不与点A、B重
合），作 于点D，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C． 或 D．
【变式训练】
1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）如图，在锐角三角形 （ ）中，分别以点B，C为
圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线 ，与 交于点M；再分别以点
A，C为圆心，按相同的操作作直线l，与 交于点N，与 交于点O．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确
的是（ ）
结论Ⅰ：点O为 的内心；
结论Ⅱ：连接 ， ，则 一定比 短．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对
2．（2023·四川眉山·校考三模）如图，矩形 的边 ，点E是 的中点，点F是 上
一动点（不与B、C重合），把 沿 对折，使点B与点N重合，则线段 的最小值为
．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：如图，在正方形 中， 、 分别是 、 的中点．(1)线段 与 有何关系．说明理由；
(2)延长 、 交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由．
【经典例题二 求圆中弦的条数】
【例2】（2023秋·江苏·九年级专题练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点 ， ， ，点 ， ， 以及点 ， ， 分别在一条
直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
2．（2023秋·九年级课时练习）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 是 内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要
求画图．
（1）在图1中，画山一条与 相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与 全等的三角形．
【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】
【例3】（2023春·九年级课时练习）若 的直径长为 ，点 ， 在 上，则 的长不可能是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练】
1．（2023秋·浙江·九年级专题练习） 、 是半径为 的 上两个不同的点，则弦 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为
2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则 AOB的面积的最大值为 ，此时A，B两点所在直
线与x轴的夹角等于 °． △3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且
，点 ， 分别是 ， 的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为7，求
的最大值.
【经典例题四 圆的周长和面积问题】
【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是 的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A
开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径
上不断爬行，直到行走 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
2．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）一座圆形花坛的半径为 ，中间雕塑的底面是边长为 的正
方形．如图，这个花坛的实际种花面积为 （ 取 ，结果精确到个位）．
3．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问
号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长
和面积．
【经典例题五 点与圆的位置关系】
【例5】（2023秋·九年级课时练习）已知 的半径为 ，A为线段 的中点，当 时，点A
与 的位置关系是（ ）
A．点A在 内 B．点A在 上
C．点A在 外 D．不能确定【变式训练】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知在平面直角坐标系中，P点坐标为 ，若以原点O为圆心，
半径为 画圆，则点P与 的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
2．（2023秋·九年级课时练习）已知 的半径 ，点 到圆的最近距离为 ，则点 到圆的最远距
离为 ；若点 到 的最近距离为 ，则点 与圆的位置关系是 （填“在圆外、在
圆上或在圆内”）．
3．（2023·山西晋城·统考一模）阅读与思考
下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
“三点共线模型”及其应用
背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角
形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边．
知识拓展：如图，在同一平面内，已知点 和 为定点，点 为动点，且 为定长（令 ），可
得线段 的长度为定值．我们探究 和两条定长线段 ， 的数量关系及其最大值和最小值：当动
点 不在直线 上时，如图 ，由背景知识，可得结论 ， ．
当动点 在直线 上时，出现图 和图 两种情况．在图 中，线段 取最小值为 ；在图 中，
线段 取最大值为 ．
模型建立：在同一平面内，点 和 为定点，点 为动点，且 ， 为定长（ ），则有结论
≥ ， ．当且仅当点 运动至 ， ， 三点共线时等成立．
我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题．
任务：
(1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 ；（填选项）
A．方程思想 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想
(2)已知线段 ，点 为任意一点，那么线段 和 的长度的和的最小是 ；(3)已知 的直径为 ，点 为 上一点，点 为平面内任意一点，且 ，则 的最大值是
；
(4)如图4， ，矩形 的顶点 、 分别在边 、 上，当 在 边上运动时， 随
之在 上运动，矩形 的形状保持不变．其中 ， ．运动过程中，求点 到点 的最大
距离．
【经典例题六 三角形的外接圆】
【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示， 的三个顶点的坐标分别为 、 、
，则 外接圆半径的长为（ ）.
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图， 是等边三角形 的外接圆，若 的半径为2，则
的面积为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，点D是等边 内部一动点， ，连接 ，若
，则 的长度最小值是 ．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片， 小俊同学想用些大小不
同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1,以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把
Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.
[理解应用]
我们也可以用一些大小不同的圆覆 盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题
(1)如图2.在 中， ∠A=105° ，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法，保留作图
痕迹) .
（2）如图3,在 中，∠A=80° ，∠B=40° ，AB= ，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径
[拓展延伸]
（3）如图4,在 中，已知AB=15， AC=12, BC=9，半径为1的 在 的内部任意运动，则
覆盖不到的面积是
【经典例题七 确定圆的条件】
【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（ ）①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形
内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
1．（2023春·九年级课时练习）如图， 、 为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C，
的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A． 为等腰三角形 B． 与 相互垂直平分
C．点A、B都在以 为直径的圆上 D． 为 的边 上的中线
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， 为 的中点， 为 边上的任意一点，
把 沿 折叠，得到 ，连接 ．若 ， ，当 取最小值时， 的值等于
．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知等边 的边长为8，点P是 边上的一个动点（与点A、B
不重合）．
（1）如图1．当 时， 的面积为 ；
（2）直线l是经过点P的一条直线，把 沿直线l折叠，点B的对应点是点 ．
①如图2，当 时，若直线 ，求 的长度；
②如图3，当 时，在直线l变化过程中．请直接写出 面积的最大值．【经典例题八 圆中角度的计算】
【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形 是平行四边形，
交圆O于点F，则 等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【变式训练】
1．（2023·四川广元·统考一模）如图， 为 的直径， 是 的弦， 、 的延长线交于点E，
已知 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ，M，N分别是 ，
上的动点，连接 ， 交于点E，且 ．（1） ．
（2）连接 ，则 的最小值为 ．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，C为 上一点，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 的面积与 的面积之比为 ，求 的值．
【经典例题九 圆中线段长度的计算】
【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交
点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得 的外心为O，求 的长度为何（ ）
A．4 B．5 C． D．
【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 是 的直径，弦 于点 ．若 ，则
的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023春·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，M是 边上
的一点，将 沿 对折至 ，连接 ，当 的长最小时，则 的长是 ．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， ，在射线 上顺次截取 ， ，
以 为直径作 交射线 于 、 两点．求：
(1)圆心O到 的距离．
(2)求 的长．【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】
【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心O到直线l的距离为
3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是
边的中点， 是线段 上的动点，将 沿 所在直线折叠得到 ，连接 ，则 的最
小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ，动点P在矩形的边上沿
运动．当点P不与点A、B重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在点
P的运动过程中，线段 的最小值为 ．
3．（2023·河北衡水·统考二模）如图， 和 均为边长为 的等边三角形，点 在边 上，
是 的中点，作点 关于 的对称点 ，连接 和 ．
(1)求证：四边形 是菱形；(2)求 的最小值；
(3)若 与 垂直，求 的长．
【重难点训练】
1．（2023秋·九年级课时练习）直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，则这个直角三角形的外
接圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图中 外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是 外一点，分别以O、P为圆心，大于 长为半径作圆
弧，两弧相交于点M和点N，直线 交 于点C，再以点C为圆心，以 长为半径作圆弧，交 于
点A，连接 交 于点B，连接 ．若 ，则 的大小为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·上海·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，
， 的半径长为3， 与 相交，且点B在 外，那么 的半径长r可能是（ ）
A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝7
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 的半径为4，圆心 的坐标为 ，点P是 上的任
意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最
大值为（ ）
A．13 B．14 C．12 D．28
6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）一个直角三角形的两条边长是方程 的两个根，则此直
角三角形的外接圆的直径为 ．7．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末） 中， 、 、 ，则 外接圆圆心坐标
为 ．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，E是边长为4的正方形 的边 上的一个动点，F是以
为直径的半圆上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
9．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在 中， ， ， ，正方形 的边
长为1，将正方形 绕点C旋转一周，点G为 的中点，连接 ，则线段 的取值范围是 ．
10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知点 、点 ， 的半径为5，点
C是 上的动点，点P是线段 的中点，那么 长的取值范围是 ．
11．（2023·浙江衢州·校考一模）如图， 为圆O的直径，点C，D在圆O上， 与 交于点E，
， ，连接 ， ．求证：
(1) ；(2)四边形 是菱形．
12．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安
装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．
(1)请用尺规作图在图上作出该图；
(2)测量直角三角形的两直角边 ， ，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅
计算出所需要正方形板的最小面积是多少?
13．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在 中， ，点D、E在 上， ，过
A，D，E三点作 ，连接 并延长，交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径长．14．（2023·上海长宁·统考二模）如图1，点E、F分别在正方形 的边 、 上， 与 交于
点G．已知 ．
(1)求证： ；
(2)以点G为圆心， 为半径的圆与线段 交于点H，点P为线段 的中点，联结 ，如图2所示，
求证： ．
15．（2023·浙江台州·统考一模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大
圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分
布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如 ）始终垂直于水平线l．
(1) _______°；
(2)若 的半径为10，小圆的半径都为1；
①当圆心H到l的距离等于 时，求OH的长；
②求证：在旋转过程中， 的长为定值．
