文档内容
专题 15 圆的有关性质（6 个知识点 4 种题型 2 个易错点 4 种中考考
法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.圆（重点）
知识点2.圆的有关概念
知识点3.垂直于弦的直径（难点）
知识点4.弧、弦、圆心角的关系（重点）
知识点5.圆周角（重点）
知识点6.圆内接多边形
【方法二】 实例探索法
题型1.垂径定理的应用
题型2.弧、弦、圆心角之间的关系的应用
题型3.圆周角定理及其推论的运用
题型4.圆内接四边形性质的应用
【方法三】差异对比法
易错点1.不能正确理解弧、弦、圆心角之间的关系
易错点2.不能正确理解圆周角及其性质
【方法四】 仿真实战法
考法1.弧、弦、圆心角的关系定理及其推论
考法2.垂径定理
考法3.圆周角定理及其推论
考法4 圆内接四边形的对角互补
【方法五】 成果评定法【学习目标】
1. 了解圆及弦、弧（劣弧、优弧）圆心角、圆周角、等圆、等弧、圆内接多边形等有关概念。
2. 通过观察实验，认识圆的对称性，理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
3. 掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及其推论解决实际问题。
4. 掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
5. 掌握圆周角定理及其推论，并能进行相关的证明和算计。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.圆（重点）
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成
的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆
O”．要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点诠释：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球
面，一个闭合的曲面.
知识点2.圆的有关概念
1.弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
2.直径：
经过圆心的弦叫做直径.
要点诠释：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
3.弧的有关概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧
AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.4.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
5.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【例1】判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)
①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ ）
②弦是直径；（ ）
③长度相等的两段弧是等弧；（ ）
④直径是圆中最长的弦. （ ）
【答案】①√ ②× ③× ④√.
【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都
是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；
④直径是圆中最长的弦，正确.
【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.
【例2】如图，图中⊙O的弦共有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一
个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦 共3条，
【例3】下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【答案】B.
提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选：B．
【例4】下列命题中，正确的个数是（ ）
⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；
⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ； ⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选C.
【例5】（1）图①中有 条弧，分别为 ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．【答案】 2； , ； ； ； ．
【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ；
故答案为：2， , ；
（2）写出图②中的一个半圆 ；
劣弧： ；优弧： ．
故答案为： ； ； ．
知识点3.垂直于弦的直径（难点）
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的逆定理1
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的逆定理2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分
的弦不能是直径）
【例5】（2023秋·浙江·九年级专题练习）垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以
及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问
题的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．
【详解】解：可以运用垂径定理解决问题的图形是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
对的两条弧．
【例6】（2022秋·九年级统考期中）如图， 的弦 ，M是 的中点，且 ，则 的半径
等于（ ）
A．7 B．4 C．5 D．6
【答案】C【分析】连接 ，根据M是 的中点，得到 ，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ 的弦 ，M是 的中点，
∴ ， ，
连接 ，
在 中， ，
即： 的半径等于5；
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理的逆定理．熟练掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是解题的关键．
知识点4.弧、弦、圆心角的关系（重点）
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
2.圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的
其余各对量也相等．
要点诠释：等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
【例7】（2023•杭州二模）如图，A，B，C是 O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是
（ ） ⊙
A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于 O
C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°⊙
【分析】过O作OD⊥AB于D交 O于E，由垂径定理得到 ＝ ，于是得到 ＝ ＝ ，推出AE
⊙
＝BE＝BC，根据三角形的三边关系得到 2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA＝
（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC ，∠OCA ＝ （180°﹣∠AOC ）＝90°﹣ ∠BOC ，推出
∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在 O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于
O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠⊙BOC＝90°，故D正确；
⊙【解答】解：过O作OD⊥AB于D交 O于E，
⊙
则 ＝ ，
∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝ AOB，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，
∴ ＝ ＝ ，
∴AE＝BE＝BC，
∴2BC＞AB，故C错误；
∵OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝ （180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝ （180°﹣∠AOC）＝90°﹣ ∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在 O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不⊙内接于 O，故B错误；
⊙
∵∠BOE＝∠BOC＝ AOB，
∵∠BOE+∠OBA＝90°，
∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题
的关键．
【例8】（2022秋•越城区期末）如图，AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，若BC＝CD＝DA＝
4，则 O的周长为（ ） ⊙ ⊙
⊙
A．4 B．6 C．8 D．9
【分析π】如图，连接OD、πOC．根据圆心角、弧、π弦的关系证得△AODπ是等边三角形，则 O的半径
长为BC＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算． ⊙
【解答】解：如图，连接OC、OD．∵AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，BC＝CD＝DA＝4，
⊙ ⊙
∴ ＝ ＝ ，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4，
∴ O的周长＝2×4 ＝8 ．
故⊙选：C． π π
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心
角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．
知识点5.圆周角（重点）
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【例 9】（2023•西湖区校级三模）如图，点 A、B、C在圆 O上，若∠A＝50°，则∠OBC 的度数为
（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形性质，它们均为几何中重要知识点，必须熟练掌握．
【例10】（2023•西湖区校级模拟）如图，已知AB是 O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝
60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝ ． ⊙
【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AED＝100°，
∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，
∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．
知识点6.圆内接多边形
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接
圆。
1.圆内接四边形的对角互补．
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）【例11】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 是弦，延长 交 的延长线于
点 ，连接 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ，证明 ，可得 ，由四边形 为圆的内接四
边形，可得 ， ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为圆的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选B
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合
适的辅助线是解本题的关键．【方法二】实例探索法
题型1.垂径定理的应用
1．（2023秋•赣榆区校级月考）如图所示的拱桥，用 表示桥拱．
（1）若 所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作
法，但要保留作图
痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（ 的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径
R．
【分析】（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O
即为所求作的圆心；
（2）首先连接OA，由（1）可得：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4，即可求得AH的长，
然后在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，即可求得拱桥的半径R．
【解答】解：（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则
点O即为所求作的圆心．（如图1）（2分）
（2）连接OA．（如图2）
由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4，
∴AH＝ AB＝8．（3分）
∵GH＝4，
∴OH＝R﹣4．
在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，
∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分）解得：R＝10．（5分）
∴拱桥的半径R为10m．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
2．（2023秋•市北区校级月考）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是
长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4米，宽2.8米，求这辆送家具的卡车能否通过这个
通道．
【分析】卡车能否通过，关键是车高4米与AC的比较，BC为2.6米，只需求AB，在直角三角形OAB
中，半径OA为2米，车宽的一半为DC＝OB＝1.4米，运用勾股定理求出AB即可．
【解答】解：过直径的中点O作直径的垂线，交下底边于点D，如图所示，
在Rt△ABO中，由题意知OA＝2，DC＝OB＝1.4，
所以AB2＝22﹣1.42＝2.04，
因为4﹣2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，
所以卡车可以通过．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，把本题转化为直角三角形利用勾股定理进行解答是关键．
3．（2023秋•仓山区校级月考）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆
材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：
“如图，CD为 O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？
⊙
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10
可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的
解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
【点评】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直
角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
4．（2023秋•诸暨市校级月考）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意
图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝
4m．素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形
EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船
可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y
（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，
最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加
多少吨货物才能通过？
【分析】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥
拱的半径为rm，则OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
【解答】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，
如图，
设桥拱的半径为rm，则OD＝（r﹣4）m，
∵OC⊥AB，
∴ m，
∵OD2+AD2＝OA2，∴（r﹣4）2+82＝r2，
∴r＝10，
∴圆形拱桥的半径为10m．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加 吨的货物才能通过．理由：
当EH是 O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
⊙
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴ ，
∴ m，
∵OD＝6m，
∴ ，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度 m．
∵ ，
∴ 吨，
∴至少要增加 吨的货物才能通过．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
题型2.弧、弦、圆心角之间的关系的应用5．（2023秋•建邺区校级月考）如图，点A、B、C、D都在 O上．若 ，求证：AC＝BD．
⊙
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到 ＝ ，所以AC＝BD．
【解答】证明：∵
∴ + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．（2023秋•沭阳县月考）如图，A、B、C、D是 O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
⊙
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解答】证明：∵AD＝CB，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
即 ＝ ，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出 ＝ 是解此题的关键．7．（2023秋•滨海县月考）如图，在扇形AOB中，点C、D在 上， ，点F、E分别在半径OA、
OB上，OF＝OE，联结DE、CF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）设点P为 的中点，联结CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，
求证：四边形MNED是矩形．
【分析】（1）先证明 ＝ 得到∠AOC＝∠BOC，然后证明△OCF≌△ODE得到DE＝CF；
（2）连接AB，如图，利用垂径定理得到OP⊥CD，OP⊥AB，则利用等腰三角形的性质和三角形内角
和得到∠OEF＝∠OBA＝90°﹣ ∠EOF，则可判断EF∥AB，所以EF∥CD，加上OP∥DE，于是可得
到四边形MNED为平行四边形，然后利用∠NMD＝90°得到四边形MNED为矩形．
【解答】证明：（1）∵ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△OCF和△ODE中，
，
∴△OCF≌△ODE（SAS），
∴DE＝CF；
（2）连接AB，如图，∵点P为 的中点，
∴OP⊥CD，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OP⊥AB，
∵OE＝OF，OA＝OB，∠EOF＝∠BOA，
∴∠OEF＝∠OBA＝90°﹣ ∠EOF，
∴EF∥AB，
∴OP⊥EF，
∴EF∥CD，
∵OP∥DE，
∴四边形MNED为平行四边形，
∵∠NMD＝90°，
∴四边形MNED为矩形．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和矩形的判定．
8．（2023秋•沭阳县校级月考）如图，AB，CD是 O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分
别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结⊙论．【分析】由OE⊥CD，得到CE＝ CD，同理：AF＝ ，而AB＝CD，即可证明问题．
【解答】解：CE＝AF，理由如下：
∵OE⊥CD，
∴CE＝ CD，
∵OF⊥AB，
∴AF＝ ，
∵AB＝CD，
∴CE＝AF．
【点评】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
9．（2023秋•亭湖区校级月考）如图，AB是 O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点
⊙
F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求 O的半径及CE的长．
⊙
【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是 O的直径，则∠ACB＝90°，又知
CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝⊙∠A，则∠ECB＝∠DBC；
（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的
半径；再利用面积法求得CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，
⊙∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵ ＝ ，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∴ O的半径为5，
⊙
∵S△ABC ＝ AB•CE＝ BC•AC，
∴CE＝ ＝ ＝ ．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难
度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用．
题型3.圆周角定理及其推论的运用
10．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在 O中，CD为直径，弦AB⊥CD于点F．BE平分∠ABC交CD
于点E，连接AD，BD，AB＝20，DF＝4⊙．
（1）求 O的半径．
（2）A，⊙B，E三点是否在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上？请说明理由．【分析】（1）连接OB，如图，设 O的半径为r，则OB＝r，OF＝r﹣4，先根据垂径定理得到AF＝
BF＝10，再利用勾股定理得到102+（⊙r﹣4）2＝r2，然后解方程即可；
（2）先根据垂径定理得到 ＝ ，∠A＝∠DBA，再证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，所以DB＝
DE＝DA，于是可判断A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．
【解答】解：（1）连接OB，如图，设 O的半径为r，则OB＝r，OF＝r﹣4，
∵AB⊥CD， ⊙
∴AF＝BF＝ AB＝10，
在Rt△OBF中，102+（r﹣4）2＝r2，
解得r＝ ，
即 O的半径为 ；
（⊙2）A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．
理由如下：
∵AB⊥CD，
∴ ＝ ，
∴BD＝AD，∠A＝∠DBA，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠C＝∠A，
∴∠C＝∠DBA，
∴∠DBA+∠ABE＝∠C+∠CBE，
∵∠DEB＝∠C+∠CBE，∴∠DEB＝∠DBE，
∴DB＝DE，
∴DB＝DE＝DA，
∴A，B，E三点在以点D为圆心，DE的长为半径的圆上．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆心角的一半．也考查了勾股定理和垂径定理．
11．（2023秋•赣榆区月考）如图所示， O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交 O于点D．
（1）判断△ADB的形状，并证明； ⊙ ⊙
（2）求BD的长．
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，从而可得 ＝ ，进而可得AD＝BD，然后
利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，即可解答；
（2）利用（1）的结论：ADB是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质，进行计算即可解
答．
【解答】解：（1）△ADB是等腰直角三角形，
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ＝ ，
∴AD＝BD，
∵AB是 O的直径，
⊙∴∠ADB＝90°，
∴△ADB是等腰直角三角形；
（2）由（1）得：
∠ADB＝90°，AD＝BD，
∵AB＝6cm，
∴BD＝ ＝ ＝3 （cm），
∴BD的长为3 ．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
12．（2023秋•东台市月考）如图，AB是 O的直径，弦CE平分∠ACB交 O于点E．交AB于点D．连
接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝6． ⊙ ⊙
（1）求四边形ACBE的面积；
（2）求CE的长．
【分析】（1）四边形ACBE的面积可以分为两部分，分别求解两部分三角形的面积，即可求解；
（2）作AF⊥CE，根据直角三角形的性质，分别求得CF，EF，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝∠AEB＝90°， ⊙
又∵弦CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵∠BEC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝12，由勾股定理得 ，
AE2+BE2＝AB2，解得 ，
∴ ，
；
（2）解：作AF⊥CE，如下图：
由（1）得，∠ACE＝45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，AF＝CF，
由勾股定理得，AF2+CF2＝AC2，AC＝6，解得 ，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AEC＝30°，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ．
【点评】此题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，30°直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌
握相关基本性质．
13．（2023秋•海门市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一
点O为圆心，OA为半径的 O经过点B．
（1）求 O的半径； ⊙
⊙
（2）点P为 中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长．【分析】（1）作OH⊥AB于H．解直角三角形求出AB，利用垂径定理求出AH即可解决问题．
（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．证明△AOP是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）作OH⊥AB于H．
在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB＝1，
∴OA＝AH÷cos30°＝ ．
（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．
∵ ，
∴OP⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OP，
∴△AOP是等边三角形，
∵PQ⊥OA，
∴OQ＝QA＝ OA＝ ．
【点评】本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的
关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型4.圆内接四边形性质的应用
14．（2023秋•台江区校级月考）如图，在 O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD
的一个外角．求证：∠DAE＝∠DAC． ⊙
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠DCB，根据圆内接四边形的性质得到∠DAE＝∠DCB，
根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC，等量代换证明结论．
【解答】证明：∵DB＝DC
∴∠DBC＝∠DCB
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAE＝∠DCB，
∴∠DAE＝∠DBC，
由圆周角定理得，∠DAC＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠DAC．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的
内对角是解题的关键．
15．（2023秋•广陵区月考）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．
（1）求证∠DAB＝∠DCE；
（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB＝180°，根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∵∠DCE+∠DCB＝180°，
∴∠DAB＝∠DCE；
（2）解：∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
16．（2023秋•高邮市校级月考）如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形， ＝ ，∠BAC＝70°，
⊙
∠ACB＝50°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据圆周角定理求出∠ABD的度数；
（2）根据圆周角定理求出∠BCD，进而求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°，∠ACB＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝60°，
∵ ＝ ，∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°；
（2）由圆周角定理得：∠ACD＝∠ABD＝30°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝80°，
∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠BAD＝180°﹣∠⊙BCD＝100°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对
角互补是解题的关键．
【方法三】差异对比法
易错点1.不能正确理解弧、弦、圆心角之间的关系
1.如图，∠AOB=90°，CD是 的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
【思路点拨】连接AC，BD，根据∠AOB=90°得出∠AOC的度数，由等腰三角形的性质求出∠OFE的度数．
根据SAS定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根据等角对等边可得出AC=AE，同理可得
BF=BD，由此可得出结论．
【答案与解析】
证明：连接AC，BD，
∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，
∴∠AOC= ∠AOB= ×90°=30°．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∵C，D是 的三等分点，∴AC=CD=BD，
在△ACO与△DCO中，
，
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD= =75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
∴AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴AE=BF=CD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦也相等是解答此题的关键．
易错点2.不能正确理解圆周角及其性质
2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D= ．
【答案】96°；
提示：解：连结OC，如图，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC= （180°﹣∠BOC）= （180°﹣72°）=54°，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，
∵∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°﹣84°=96°．
故答案为96．
3.如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．
求证：∠ABC=2∠CBO．
【答案与解析】
证明：连接OC、AC，如图，
∵CD垂直平分OA，
∴OC=AC．∴OC=AC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC= ∠AOC=30°，
在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，
∵OB=OC，
∴∠CBO=15°，
∴∠ABC=2∠CBO．
【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌握
所学知识点是解题的关键.
【方法四】 仿真实战法
考法1.弧、弦、圆心角的关系定理及其推论
1．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角 （ ＜180°）与剩余圆心角 的比值为黄金比时，扇子会
显得更加美观，若黄金比取0.6，则 ﹣ 的度数α 是α ． β
β α
【分析】根据已知，列出关于 ， 的方程组，可解得 ， 的度数，即可求出答案．
α β α β
【解答】解：根据题意得： ，
解得 ，
∴ ﹣ ＝225°﹣135°＝90°，
故β答案α为：90°．
【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．
2．（2021•南京）如图，AB是 O的弦，C是 的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则
⊙O的半径为 cm．
⊙
【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径
即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵C是 的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即OA2＝16+（OA﹣2）2，
解得OA＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和
三角形的相关知识来进行解答．
考法2.垂径定理
3．（2023•永州）如图， O是一个盛有水的容器的横截面， O的半径为10cm，水的最深处到水面AB
的距离为4cm，则水面⊙AB的宽度为 cm． ⊙【分析】过点 O作OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA，由垂径定理可得 AC＝BC，然后在
Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即⊙可得出AB的长．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交 O于点D，连接OA，
⊙
∴ ，
由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，
∴OC＝6cm，
在Rt△AOC中， cm，
∴AB＝2AC＝16cm，
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时需熟练掌握勾股
定理．
4．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱
呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD＝ ，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为Rm，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝ （m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（ ）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝ ≈28．
故选：B．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于 R的方程解
决问题．
5．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，
CD为 O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸．
⊙
【分析】连接OA，设 O的半径是r寸，由垂径定理得到AE＝ AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣
⊙1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．
【解答】解：连接OA，
设 O的半径是r寸，
∵⊙直径CD⊥AB，
∴AE＝ AB＝ ×10＝5寸，
∵CE＝1寸，
∴OE＝（r﹣1）寸，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
∴r＝13，
∴直径CD的长度为2r＝26寸．
故答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接 OA构造直角三角形，应用垂径定理，
勾股定理列出关于圆半径的方程．
考法3.圆周角定理及其推论
6．（2023•牡丹江）如图，A，B，C为 O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的
度数是（ ） ⊙
A．20° B．18° C．15° D．12°【分析】利用圆周角定理可求∠AOB＝120°，再根据∠AOB＝4∠BOC，得∠BOC＝30°，所以∠BAC＝
∠BOC＝15°．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵∠AOB＝4∠BOC，
∴∠BOC＝30°，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝15°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．
7．（2023•广西）如图，点A，B，C，在 O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（ ）
⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由圆周角定理即可得到答案．
【解答】解：∵∠C＝ ∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
8．（2023•青海）如图，AB是 O的弦，C是 O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A＝20°，则∠ABC
＝（ ） ⊙ ⊙A．20° B．30° C．35° D．55°
【分析】根据垂直定义可得∠ADO＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠AOD＝70°，然后
利用圆周角定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝70°，
∴∠ABC＝ ∠AOD＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
考法4 圆内接四边形的对角互补
9．（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的
度数是（ ） ⊙
A．65° B．115° C．130° D．140°
【分析】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后
根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°⊙，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
10．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形 ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得∠BOD的度数，再结合已知条件求得∠COD的度
数，然后利用圆周角定理求得∠CBD的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°， ⊙
∵∠BCD＝105°，
∴∠A＝75°，
∴∠BOD＝2∠A＝150°，
∵∠BOC＝2∠COD，
∴∠BOD＝3∠COD＝150°，
∴∠COD＝50°，
∴∠CBD＝ ∠COD＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，结合已知条件求得∠BOD的度数是解题的关键．
11．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，BC是 O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的
度数是 °． ⊙ ⊙
【分析】连接OD，根据等边三角形的性质得到∠C＝60°，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OD，∵BC是 O的直径，BC＝2CD，
∴OC＝O⊙D＝CD，
∴△COD为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝18⊙0°，
∴∠BAD＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补
是解题的关键．
【方法五】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•广陵区月考）如图，线段CD是 O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，
则 O半径是（ ） ⊙
⊙
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理计算出OA即可．
【解答】解：连接OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝ AB＝ ×16＝8，在Rt△OAE中，OA＝ ＝ ＝10，
即 O半径为10．
故⊙选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股
定理．
2．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB，CD是 O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，
∠AOC＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（ ⊙ ）
A．30° B．25° C．10° D．20°
【分析】根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝ ∠AOC＝40°，
∵∠P＝30°，∠ABC＝∠P+∠BCD，∴∠BCD＝10°，
∴BD所对的圆心角的度数的度数20°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
3．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则
∠BDC的度数为（ ）
A．90° B．100° C．130° D．140°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解
∠A，再根据圆内接四边形的性质即可得解．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°．
又∠ABC＝50°，
∴∠A＝40°，
∵四边形ABDC为圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝140°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题
的关键．
4．（2022秋•泸县月考）如图，四边形ABCD内接于 O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分
∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（ ） ⊙
A．3 B． C． D．【分析】连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，从而
得到∠ACD＝∠CDA，得出AC＝AD＝7，然后利用勾股定理计算AE的长．
【解答】解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴AC＝AD＝7，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝ ＝ ＝2 ．
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义
等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
5．（2023秋•沭阳县月考）如图， M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是 M上的任意一点，
PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别⊙交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则⊙AB的最大值为（
）
A．13 B．14 C．12 D．28
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交
M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得．
⊙【解答】解：连接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵点 A、点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交 M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于⊙点Q，
则OQ＝6、MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP'＝r＝4，
∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14，
∴AB＝2OP'＝2×14＝28；
故选：D．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AB取得
最小值时点P的位置是解题的关键．
6．（2023秋•仓山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中， O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与
O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（ ） ⊙
⊙A． B． C． D．以上都不对
【分析】易知直线y＝kx+2k﹣4过定点D（﹣2，﹣4），运用勾股定理可求出OD，由 O经过点（0，
10），可求出半径OB＝10，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因⊙此只需运用垂径
定理及勾股定理就可解决问题．
【解答】解：对于直线y＝kx+2k﹣4，
当x＝﹣2时，y＝﹣4，
故直线y＝kx+2k﹣4恒经过点（﹣2，﹣4），记为点D．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当BD⊥OD时，BC最短，
连接OB，OD，如图所示，
∵D（﹣2，﹣4），
∴ ，
∵ O经过点（0，10），
∴⊙OB＝10，
∴ ，
∵OB⊥OD，
∴ ，
∴弦BC的最小值是 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（﹣
2，﹣4）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键．
7．（2023秋•五华区校级月考）如图，AB为 O的直径，点C，D在 O上，若∠BCD＝28°，则∠ABD
等于（ ） ⊙ ⊙A．28° B．56° C．62° D．68°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB＝90°，根据圆周角定理求出∠BAD，再利用直角三
角形两锐角互余解答即可．
【解答】解：连接AD．
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∵∠BCD＝28°，
∴∠BAD＝28°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝62°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相
等是解题的关键．
8．（2023秋•广陵区月考）如图，半圆O的直径AB＝20，弦AC＝12，弦AD平分∠BAC，AD的长为（
）
A． B． C． D．
【分析】连接BC，OD，相交于点E，连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝∠ADB＝90°，从而在Rt△ACB中，利用勾股定理求出 BC的长，再利用角平分线的定义和圆周角定理可得
∠DOB＝∠CAB，从而可得AC∥DO，然后利用平行线的性质可得∠OEB＝∠ACB＝90°，从而利用垂径
定理可得CE＝BE＝ BC＝8，进而可得OE是△ACB的中位线，再利用三角形的中位线定理可得OE＝
AC＝6，从而求出DE的长，最后在Rt△DEB中，利用勾股定理求出BD的长，再在Rt△ADB中，利
用勾股定理求出AD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：连接BC，OD，相交于点E，连接BD，
∵AB是半 O的直径，
∴∠ACB＝⊙∠ADB＝90°，
∵AB＝20，AC＝12，
∴BC＝ ＝ ＝16，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAB＝2∠DAB，
∵∠DOB＝2∠DAB，
∴∠DOB＝∠CAB，
∴AC∥DO，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
∴CE＝BE＝ BC＝8，
∴OE是△ACB的中位线，
∴OE＝ AC＝6，
∵OD＝ AB＝10，
∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4，在Rt△DEB中，DB＝ ＝ ＝4 ，
在Rt△ADB中，AD＝ ＝ ＝8 ，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
9．（2023秋•沭阳县月考）如图，EF、CD是 O的两条直径，A是劣弧 的中点，若∠EOD＝32°，则
⊙
∠CDA的度数是（ ）
A．37° B．74° C．53° D．63°
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA＝74°，再根据等腰
三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【解答】解：如下图，连接OA，
∵A是劣弧 的中点，
即弧DA＝弧FA，
∴∠DOA＝∠FOA，
∵∠EOD＝32°，
∴ ，
∵OD＝OA，∴ ，
即∠CDA＝53°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握
相关知识并灵活运用是解题关键．
10．（2023秋•仓山区校级月考）简易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），A
为三角板与直尺的交点，B为量角器与直尺的接触点，C为量角器与三角板的接触点．若点A处刻度为
4，点B处刻度为6，则该量角器的直径长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【分析】连接OA、OB，由题意得AB＝6﹣4＝2，∠BAC＝180°﹣60°＝120°，由切线的性质定理得
∠ABO＝90°，由切线长定理得∠OAB＝∠OAC＝60°，所以OB＝ AB＝2 ，所以该量角器的直径是
4 ．
【解答】解：三角尺和量角器放在直尺上的示意图如图所示，连接OA、OB，
根据题意得AB＝6﹣4＝2，∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∵AB、AC分别与 O相切于点B、点C，
⊙
∴AB⊥OB，∠OAB＝∠OAC＝ ∠BAC＝60°，∴∠ABO＝90°，
∴ ＝tan∠OAB＝tan60°＝ ，
∴OB＝ AB＝ ×2＝2 ，
∴2×2 ＝4 ，
∴该量角器的直径是4 ．
故选：D．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作
出所需要的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•东台市月考）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是
（ 2 ， 1 ） ．
【分析】分别作AB、BC的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，由图可得答案．
【解答】解：分别作AB、BC的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，由图知，圆心P的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题主要考查垂径定理与圆的性质，解题的关键是掌握圆上各点到圆心的距离相等的性质．
12．（2023秋•路桥区校级月考）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，
BD，OC⊥BD，若∠A等于70°，则∠ADB的度数为 ⊙ 35 ° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，根据垂径定理得到 ＝ ，进而求出∠CDB，根据角
平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，∠A＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°， ⊙
∵OC⊥BD，
∴ ＝ ，
∴∠CDB＝∠CBD＝ ×（180°﹣110°）＝35°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．13．（2023秋•雨花区校级月考）如图，AB是 O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8，OC＝3，则 O半径
的长为 5 ． ⊙ ⊙
【分析】根据垂径定理得出AC，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴ ，
在Rt△AOC中，AC＝4，OC＝3，
∴OA＝ ＝5．
∴ O的半径5，
故⊙答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AC是解此题的关键．
14．（2023秋•雨花区校级月考）如图所示，在 O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若
OC＝3，则DE的长为 8 ． ⊙
【分析】根据勾股定理求出CD，根据垂径定理即可得到答案．
【解答】解：∵AB＝10，
∴OD＝5，
∵DE⊥AB，∴DE＝2CD，CD＝ ＝ ＝4，
∴DE＝2CD＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
的两条弧是解题的关键．
15．（2023秋•广陵区月考）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一
千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问
径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯
道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径
是 2 6 寸．
【分析】线段OC垂直且平分线段AB，在Rt△ADO中，OD的长为（R﹣1）寸．
【解答】解：1尺＝10寸．
根据题意可得AD＝ AB＝5（寸）．
设圆O的半径为R，
（R﹣1）2+52＝R2，
∴R＝13寸，
∴这块圆柱形木材的直径是：13×2＝26（寸）．
故答案为：26．
【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧．
16．（2023秋•高邮市校级月考）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 P处安装了一台
监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4
台．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是
110°，则共需安装360°÷110°＝3 ≈4台．
【解答】解：∵∠P＝55°，
∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，
∵360°÷110°＝3 ，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．
故答案为：4．
【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来．
17．（2023秋•岳麓区校级月考）如图，四边形ABCD内接于 O，延长CO交 O于点E，连接BE，若
∠A＝100°，∠E＝60°，则∠OCD的大小为 5 0 °． ⊙ ⊙
【分析】根据圆周角定理得到∠EBC＝90°，求出∠BCE，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°﹣
∠A＝80°，计算即可．
【解答】解：∵EC是 O的直径，
∴∠EBC＝90°， ⊙
∴∠BCE＝90°﹣∠E＝30°，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝⊙80°，
∴∠OCD＝∠BCD﹣∠BCE＝50°，故答案为：50．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
18．（2023秋•台江区校级月考）如图，四边形ABCD内接于 O，AC为 O的直径，∠ADB＝∠CDB．
⊙ ⊙
若 ，AD＝2，则CD的长度为 ．
【 分 析 】 根 据 圆 周 角 定 理 ， 以 及 ∠ ADB ＝ ∠ CDB ， 得 到 ∠ ADC ＝ ∠ ABC ＝ 90° ，
，利用等角对等边，以及勾股定理进行求解即可．
【解答】解：∵AC为 O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90⊙°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴ ，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，
是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋•沭阳县月考）如图，在 O中，AB是直径，CD是弦，延长AB，CD相交于点P，且AB＝
2DP，∠P＝18°，求∠AOC的度数．⊙【分析】连接OD，由AB＝2DP＝2OD可得出OD＝DP，故可得出∠DOP的度数，根据三角形外角的
性质求出∠ODC的度数，由三角形内角和定理求出∠COD的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【解答】解：连接OD，
∵AB＝2DP＝2OD，∠P＝18°，
∴OD＝DP，
∴∠DOP＝∠P＝18°．
∵∠ODC是△OPD的外角，
∴∠ODC＝∠P+∠DOP＝18°+18°＝36°．
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝36°，
∴∠COD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠DOP＝180°﹣108°﹣18°＝54°．
【点评】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形
外角的性质求解是解答此题的关键．
20．（2023秋•海淀区校级月考）如图所示，C为 的中点，CN⊥OB于点N，弦CD⊥OA于点M，若
O的半径为5cm，ON为4cm，则CD的长为多少？
⊙【分析】先在下降三角形CON中求出CN，进而得出sin∠CON，再由弧的中点得出∠AOC＝∠NOC，
用三角函数求出CM，即可．
【解答】解：如图，
连接OC，
∵CN⊥OB，
∴∠ONC＝90°，
∵OC＝5，ON＝4，
∴CN＝3，
∴sin∠CON＝ ＝ ，
∵C为 的中点，
∴∠AOC＝∠CON，
∵OA⊥CD，
∴CD＝2CM，∠CMO＝90°，
∴sin∠COM＝ ＝ ＝sin∠CON＝ ，
∴CM＝3，
∴CD＝2CM＝6．
即：CD＝6
【点评】此题是垂径定理，主要考查了等弧所对的圆心角相等，勾股定理，三角函数，解本题的关键是
求出sin∠CON．
21．（2023秋•邗江区校级月考）如图，AB是 O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB
的延长线交 O于点E，CD与CE相等吗？为⊙什么？
⊙【分析】连接BC．首先证明BA＝BD，推出∠D＝∠BAD＝∠CED即可解决问题；
【解答】解：CD与CE相等；
理由：连接BC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ABC⊙＝90°，即BC⊥AD，
∵CD＝AC，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D，
∴∠CEB＝∠A，
∴∠CEB＝∠D，
∴CE＝CD．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
22．（2023秋•沭阳县月考）如图，在 O中，B，C是 的三等分点，弦AC，BD相交于点E．
⊙
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．【分析】（1）根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等即可得解；
（2）连接CD，AD，根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵B，C是 的三等分点，
∴ ＝ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接CD，AD，
∵∠BDC＝25°， ＝ ＝ ，
∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°，
∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，
∴∠BEC＝∠AED＝130°．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
23．（2023秋•诸暨市校级月考）如图，四边形ABCD内接于 O，AC为 O的直径，∠ADB＝∠CDB．
⊙ ⊙（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝ ，AD＝1，求CD的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为 O的直径，
∴∠ADC⊙＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴ ，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝ ，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝ ．
即CD的长为： ．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定
理是解答本题的关键．
24．（2023秋•广陵区月考）如图AB、CD是 O的两条弦，相交于点P，若AB＝CD，求证：
（1）AD＝BC； ⊙
（2）PA＝PC．【分析】（1）如图所示，连接AC，利用AAS证明△CAD≌△ACB即可证明AD＝BC；
（2）由AD＝BC可得∠BAC＝∠DCA，即可证明PA＝PC．
【解答】证明：（1）证如图所示，连接AC，
∵AB＝CD，
∴
∴∠CAD＝∠ACB，
又∵∠D＝∠B，
∴△CAD≌△ACB（AAS），
∴AD＝BC；
（2）∵AD＝BC，
∴
∴∠BAC＝∠DCA，
∴PA＝PC．
【点评】本题主要考查了同圆中等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，
灵活运用所学知识是解题的关键．
25．（2023秋•建邺区校级月考）点A、B、C都在 O上，且CA＝CB，连接CO．
（1）如图，当∠ACB为钝角时，求证：CO⊥AB⊙；
（2）若AB＝8， O的半径为5，则AC的长为 2 ．
⊙【分析】（1）由垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题；
（2）由垂径定理求出AH的长，由勾股定理求出OH的长，得到CH的长，由勾股定理即可求出AC的
长．
【解答】（1）证明：连接OA，OB，
∴OA＝OB，
∴O到A、B的距离相等，
∵AC＝BC，
∴C到A、B的距离相等，
∴OC⊥AB；
（2）解：∵OC⊥AB，
∴AH＝ AB＝ ×8＝4，
∵OA＝5，
∴OH＝ ＝3，
∴CH＝OC﹣OH＝5﹣3＝2，
∴AC＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查线段垂直平分线性质定理的逆定理，垂径定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的
关键．26．（2023秋•雨花区校级月考）如图，OA，OB，OC都是 O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC； ⊙
（2）若AB＝4， ，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）利用圆周角定理可得 ， ，结合∠ACB＝2∠BAC可证明
结论；
（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，即可
求得BE＝2， ，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圆的半径．
【解答】（1）证明：∵ ， ，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝ ∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
∵AB＝4， ，
∴BE＝2， ，
在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴ ，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
OB2＝（OB﹣1）2+22，解得 ，
即 O的半径是 ．
⊙
【点评】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是
解题的关键．
