文档内容
专题 16.3 解题技巧专题：二次根式中有关运算易错问题之六大考点
目录
【典型例题】.............................................................................................................................1
【考点一 化简含字母的二次根式】................................................................................................................1
【考点二 利用二次根式的非负性求值】........................................................................................................4
【考点三 新定义型二次根式的运算】............................................................................................................6
【考点四 二次根式的分母有理化】..............................................................................................................10
【考点五 复合二次根式的化简】..................................................................................................................16
【考点六 二次根式中的规律探究问题】......................................................................................................19
【典型例题】
【考点一 化简含字母的二次根式】
例题：（2023下·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）若 ，则 化简后的结果是 ．
【变式训练】
1．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）已知 ，则化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）若 ，化简 正确的是（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）化简： ．4．（2023下·江西赣州·八年级统考期中）化简二次根式 后的结果是 ．
5．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）化简：
6．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）若 ，化简 ＝ ．
【考点二 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如果 ，那么
．
【变式训练】
1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）若实数 满足 ，则 的值
为 ．
2．（2023上·四川巴中·八年级校考期中）若x、y都是实数，且 ，求 ．
3．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）已知 ，则 ．
4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知 为实数，且 ，则
．
5．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知 的三条边长 ， ， 满足
，则 的面积为 ．
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）定义运算“ ”法则为 ，则
．
【变式训练】1．（2023下·云南昭通·七年级校联考期中）定义运算“ ”的运算法则为： ，则
．
2．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）用 定义一种新运算：对于任意实数a和b
，若 ，求 ．
3．（2023下·江苏·八年级期末）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下： ，如
．那么 ．
4．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数 ， ，定义运算“*”为: ，
如 ，则 的运算结果为 ．
5．（2023下·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b
是关于c的共轭二次根式．
(1)若 与 是关于4的共轭二次根式，则 __________
(2)若 与 是关于12的共轭二次根式，求 的值．
6．（2023下·全国·八年级专题练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如 ．
(1)填空： ___________．
(2)若 ，求x的值．【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：像 、 、 …两个含有二次根式的
代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 和 、 与 、
与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母
中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：① ______，② ______；
(2)计算： ；
(3)已知有理数 、 满足 ，则 ______， ______．
【变式训练】
1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1： ，
例2： ， ，
利用以上结论解答以下问题：（不必证明）
(1) ； ；
(2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程）2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末） ，两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如
， ，其中 与 与
都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下
列问题：
(1)计算： ， ；
(2)已知有理数a、b满足 ，则 ， ；
(3)计算 ．
3．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题．
在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如 ， ， 的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
① ；② ；③ ．
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
④(1)请用不同的方法化简 ．
(2)化简： ．
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（1）填空： ______； ______；
（2）例题：化简
解：因为
所以
仿照上例的方法，化简下列各式：
① ②2．我们已知学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如
等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： = ，所以 的算术平方根是 ．你看明白了吗？
请根据上面的方法解答下列问题：
(1)填空： = ；
= ；
(2)化简： + + + + ．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】
例题：（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）探索规律
观察下列各式及验证过程：
时，有式①： ；
时，有式②： ；时，有式③： ；
(1)针对上述式①、式②、式③的规律，请写出 时的式子；
(2)请写出满足上述规律的用 （ 为自然数且 ）表示的等式，并证明此等式成立．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）观察下列各式：
； ； ；……
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
(1)猜想： ________=________；
(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________；
(3)应用：计算 ．
2．（2022下·辽宁大连·八年级校考阶段练习）观察下列各式：
(1)类比上述式子，猜想 __________； __________．
(2)计算 ，写出推导过程；
(3)观察上述式子的规律，请用n（ ）表示这一规律，并证明．3．（2023下·安徽安庆·七年级校考阶段练习）观察以下等式：
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：____________________
(2)写出第10个等式：____________________．
(3)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）．
