文档内容
第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”............................................2
题型二：截面问题................................................................................................................................6
题型三：异面直线的判定..................................................................................................................11
题型四：异面直线所成的角..............................................................................................................13
题型五：平面的基本性质..................................................................................................................16
题型六：等角定理..............................................................................................................................18
02 重难创新练....................................................................................................................................20
03 真题实战练....................................................................................................................................39题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
1．如图所示，四边形 和四边形 都是梯形， ， ，
分别为 ， 的中点．
(1)证明：四边形 是平行四边形；
(2) ， ， ， 四点是否共面？为什么？
【解析】（1）由 ， 分别为 ， 的中点，
可得 ，
又 ， ，
所以 ，
四边形 为平行四边形．
（2） ， ， ， 四点共面，
理由如下：由题意易知 ，
四边形 为平行四边形， ．
由（1）知 ，
， 与 共面．
又 ，
， ， ， 四点共面．
2．如图， 为空间四边形，点 、 分别是 、 的中点，点 、 分别在 、 上，且， ．求证：
(1) 、 、 、 四点共面；
(2) 、 必相交且交点在直线 上．
【解析】（1）
连接 、 ， ，
由 ， 分别为 ， 中点，则 ，
又 ， ，则 ，
，
、 、 、 四点共面.
（2）
由 ， ，
易知 ，
又 ， 分别为 ， 中点，即 ，
，
结合（1）的结论可知，四边形 是梯形，因此直线 、 不平行，
设它们交点为 ， 平面 ，同理 平面 ，
又平面 平面 ，因此 ，即 、 必相交且交点在直线 上．
3．若 所在的平面和 所在平面相交，并且直线 相交于一点O，求证：
(1) 和 、 和 、 和 分别在同一平面内；
(2)如果 和 、 和 、 和 分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.
【解析】（1）∵ ，
∴ 确定平面 ，
∵ 都在平面 内，
∴ 平面 ； 平面 ，
∵ ，
∴ 确定平面 ，
∵ 都在平面 内，
∴ 平面 ； 平面 ，
∵ ，
∴ 确定平面 ，
∵ 都在平面 内，
∴ 平面 ； 平面 ；
（2）∵ ，∴ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以点 在平面 与平面 的交线上，
∵ ，∴ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以点 在平面 与平面 的交线上，
∵ ，∴ ，
因为 平面 ， 平面 ，所以点 在平面 与平面 的交线上，
所以 三点共线.
4．（2024·河南·模拟预测）在正四棱柱 中，O为 的中点，且点E既在平面 内，
又在平面 内．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，E为AO的中点，E在底面ABCD内的射影为H，指出H所在的位置（需要说明理
由），并求线段 的长．
【解析】（1）证明：连接 ．
在正四棱柱 中， ，则A， ， ，D四点共面，所以 平面 ．
因为侧面 为矩形，且O为 的中点，
所以 ，所以O为平面 与平面 的一个公共点，
所以平面 平面 ，即平面 平面 ，故 ．
（2）取CD的中点F，连接OF，AF，则H为AF的中点．
理由如下：因为F，O分别为CD， 的中点，所以 ．
在正四棱柱 中， 底面ABCD，所以 底面ABCD，又 ，所以 底面
ABCD，即E在底面ABCD内的射影为H．
因为 底面ABCD，所以 ．
因为 ，所以 ．题型二：截面问题
5．（2024·高三·福建·期中）已知正方体 的体积为 ，点 在线段 上，点 异于点 ，
，点 在线段 上，且 ，若平面 截正方体 所得的截面为四边形，则线段
长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要想平面 截正方体 所得的截面为四边形，
则要平面 分别与正方形 分别交于 ，
显然与正方形 无交线，只需保证与正方形 无交线即可，
因为平面 平面 ，面 与两个平面分别交于 ，由面面平行的性质可得 ，
因为点 在线段 上，且 ，
由几何关系知，随着 的增大， 增大，
故当 与 重合时， 最大，
因为正方体 的体积为 ，所以正方体棱长为1，
连接 ，延长 相交于点 ，连接 ， ，
如图所示，由于 ，故 ∽ ，
故 ，故 最长为 ，故 .
故选：D
6．已知圆锥的底面面积为 ，其侧面展开图的圆心角为 ，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积
最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
由题意 ， ， ， ，
，可得轴截面顶角大于90°，
过该圆锥顶点做截面，当截面三角形顶角为90°，
即截面三角形为等腰直角三角形时面积最大，
所以截面最大面积为 ，
故选：C．
7．（2024·四川·一模）设正方体 的棱长为1，与直线 垂直的平面 截该正方体所得的
截面多边形为M．则下列结论正确的是（ ）．
A．M必为三角形 B．M可以是四边形C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值
【答案】D
【解析】对于选项A、B，易知平面 为平面 或与其平行的平面，故多边形M只能为三角形或六边
形，选项A和B均错误；
对于选项C，
当M为正三角形时，显然截面多边形M为 时周长取得最大值为 ；
当截面多边形M为六边形时，
设 ，则 ， ， ，
易得： ， ，
此时截面多边形M的周长为定值： ，
综合两种情况，M的周长的最大值为 ，选项C错误；
对于选项D，
当M为正三角形时，
仅当截面多边形M为 时的面积为 ；
当截面多边形M为六边形时，设 ，
该六边形可由两个等腰梯形 和 构成，
其中 ，
， ， ，
两个等腰梯形 和 的高分别为 和 ，
则
，
，
当且仅当 时，六边形面积最大值为 ，即截面多边形是正六边形时截面面积最大．
综上，当 时，截面多边形为正六边形时面积取得最大值 .
选项D正确.
故选：D.8．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最
大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体 中，
平面 与线 所成的角是相等的，
所以平面 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 与 中间的，
且过棱的中点的正六边形，且边长为 ，
所以其面积为 ，故选A.
9．（2024·全国·模拟预测）如图，在正四棱柱 中， ，过点 作
垂直于直线PC的截面 ，则以 为顶点，截面 为底面的棱锥的体积为（ ）
A．42 B．48 C．56 D．63
【答案】C
【解析】分别在棱 ， 上取点 ，使 ，
连接 ， ，则 ， ，
连接 ，则 ，
所以 为等边三角形，
易证 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以五边形 即为截面 ，
设直线 与直线 间的距离为 ，
因为 的面积 ，
四边形 的面积 ，
所以截面 的面积为 ，
又点 到截面 的距离 ，
所以所求棱锥的体积 .
故选：C.
10．如图，在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 和 的中点，过点 ， ，
的平面 交 于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
如图，平面 与平面 的交线与 平行，即过点 作 的平行线，交 于点 ，连接 ，
因为 ， 分别为棱 和 的中点，所以 为 的四等分点,
过点 作 ，交 于点 .从而G为AD的三等分点，故 .
故选：D.
题型三：异面直线的判定
11．（2024·江西南昌·二模）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
分别为 ， 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． ， 是异面直线， B． ， 是相交直线，
C． ， 是异面直线， 与 不垂直 D． ， 是相交直线， 与 不垂直
【答案】A
【解析】显然根据异面直线判定方法：经过平面 外一点 与平面 内一点 的直线 与平面
内不经过 点的直线 是异面直线．
下面证明 与 垂直：
证明：因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 分别为 的中点，连接 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
如图：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 为 的中点，所以 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ．
故选：A．
12．（2024·上海·模拟预测）如下图， 是正方体 面对角线 上的动点，下列直线中，
始终与直线 异面的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】D
【解析】当P位于 中点时，易知 ，由正方体的特征可知四边形 为平行四边形，此时 、
面 ，故A错误；
当P与 重合时，此时 、 面 ，故B错误；
当P与 重合时，由正方体的特征可知四边形 为平行四边形，此时 ，故C错误；
由正方体的特征可知四边形 为平行四边形，而 平面 ， 平面 ， 、 平面 ， ，
故 与 始终异面，即D正确.
故选：D
13．已知正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， 是线段 上的
动点，则下列直线中，始终与直线 异面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于选项A， 面 ， 面 ， 面 ，所以直线 与 异面；
对于选项B，当 与 重合时，因为 ，又 ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，所以
，所以 ，选项B错误；
对于选项C，连接 ，在正方体中，易得 且 ，所以 与 相交，即当
与 重合时， 与 相交，选项C错误；
对于选项D，取 中点 ，连 交 于 ，连 ，因为 且 ，所以
且 ，故当 与 重合时， 与 相交，选项D错误.
故选：A.
题型四：异面直线所成的角
14．如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等， 分别是棱 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，因为在直三棱柱 中， 分别是棱 的中点，
故 ，即四边形 为平行四边形，所以 ，
则 即为异面直线 与 所成角或其补角；
直三棱柱 中，所有棱长都相等，设其棱长为 ，连接 ，
则 平面 ，故 平面 平面 ，
故 ， 是棱 的中点，故 ，
则 ,而
，又 ，故在 中， ,
由于异面直线所成角的范围 ，故异面直线 与 所成角的余弦值是 ，
故选：D.
15．在正方体 中， 分别为 、 、 、 的中点，则异面直线 与
所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接 ，由题意 ，
所以异面直线 与 所成的角是 或其补角，
由正方体性质知 是等边三角形， ，
所以异面直线 与 所成的角是 .
故选：B.
16．（2024·高三·陕西西安·期末）如图，在长方体 中， ，异面直线 与
所成的的余弦值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 .
因为 ，所以 与 所成的角为 （或其补角）.
令 ，在 中，由 ，得 .
又 ， ，
由余弦定理得 ，即 ，解得 ，
所以 .故选：C
17．（2024·上海杨浦·二模）正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 .
【答案】 /
【解析】正方体 中， ，因此 异面直线 与 所成的角或其补角，
而 ，因此 .
所以异面直线 与 所成角的大小为 .
故答案为：
题型五：平面的基本性质
18．下列说法不正确的是（ ）
A．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线
B．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
C．若α∩β＝l，a α，b β，a∩b＝A，则A∈l
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
⊂ ⊂
【答案】B
【解析】若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；
若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故A正确．若两条直线没有公共点，则两条直线可能异面，
也可能平行，故B错误．若a α，b β，a∩b＝A，则A∈α，A∈β.因为α∩β＝l，所以A∈l，故C正确．两两
相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确．故选B.
⊂ ⊂
19．如图，在正方体 中，P，Q分别是棱 ， 的中点，平面 平面 ，
则下列结论错误的是（ ）A． 过点B
B． 不一定过点B
C． 的延长线与 的延长线的交点在 上
D． 的延长线与 的延长线的交点在 上
【答案】B
【解析】连接 ， ，如图，
因为P，Q分别是棱 ， 的中点，
由勾股定理得 ，
所以四边形 是菱形，
所以 ，P，B，Q四点共面，即 平面 .
又 平面 ，所以 ，故A结论正确，B结论错误.
如图，延长 与 的延长线交于点F，延长 与 的延长线交于点E.
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
同理 ，故C，D正确.
故选：B
20．若空间中 个不同的点两两距离都相等，则正整数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】考虑平面上 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
若平面内 个点两两距离相等，则其中有三个点 、 、 构成等边三角形，
第四个点到等边三角形三个顶点的距离相等，则第四个点必为等边三角形的中心 ，则 ，易知 ，则 ，矛盾，
当 时，也不成立；
在空间中， 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
当 时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点与它们距离相等，
必为正四面体的外接球的球心，
将棱长为 的正四面体 置于正方体 中，则正方体的棱长为 ，
正四面体 的外接圆半径为 ，矛盾，
同理 时不成立．
故选：C．
题型六：等角定理
21．设 和 的两边分别平行，若 ，则 的大小为 .
【答案】45°或135°/135°或45°
【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.
故答案为：45°或135°.
22．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 .
【答案】正方形【解析】连接 、 ，
、 、 、 分别为各边的中点，
， ， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，且 ，
，且 ，
四边形 是正方形；
故答案为：正方形．
23．已知空间中两个角 ， ，且角 与角 的两边分别平行，若 ，则 .
【答案】 或
【解析】根据等角定理知： 或 ，若 ，则 或 .
故答案为： 或
24．如图，正方体 中，E，F，G分别是棱 ， 及 的中点， ，则
.
【答案】
【解析】连接 ，如下图所示：依题意 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
同理可得 ，
根据空间等角定理可知 或 与 互补，
显然 与 不互补，所以 ，
由正方体可知， 平面 ，而 平面 ，所以 ，
即 ，又 ，所以 .
故答案为： .
25．已知空间两个角 和 ，若 ， ，则 ．
【答案】 或
【解析】因为 ， ，
当 和 开口方向相同时， ；
当 和 开口方向相反时， ；
综上所述： 或 .
故答案为： 或 .
1．（2024·山东淄博·二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．
若
则下列说法正确的是（ ）
A．a与l相交 B．b与l相交 C．a∥b D．a与β相交
【答案】C
【解析】对于AB， 平面 ， ，则 ，同理可得 ，则AB错误；
对于C，由AB知道 ，则C正确；
对于D，由A知道 平面 ， 平面 ，则 ，故D错误.
故选：C.
2．（2024·吉林·模拟预测）如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇橹人雕像相映成趣，一直以来是
吉林市的重要地标之一.该时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线所
成的角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知两异面直线的夹角范围为 ，
结合正方体的特征不难发现：当一侧时针指向3时，另一侧时针指向9时时，
两时针所在直线所成角为直角，
故在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线所成的角的最大值为 .
故选：D
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥 的所有棱长均相等， 为棱 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，取 的中点 ，连接 ，
由题意知， ，
则异面直线 与 所成角为 （或其补角），在 中， ，
则 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选：C．
4．（2024·天津和平·三模）已知正方体 的棱长为6，点 ， 分别在棱 ， 上，
且满足 ，点 为底面 的中心，过点 ， ， 作平面 ，则平面 截正方体
所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接 ， ， 与 交点即为 ，
因为 ，所以 ‖ ，
因为 ‖ ，所以 ‖ ，
所以 共面，
所以平面 截正方体 所得的截面为梯形 ，
因为正方体 的棱长为6，且 ，
所以 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则
，
在 ， ，则，
过 作 于 ，则 ，
所以 ,
所以等腰梯形 的面积为
,
故选：A
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知 分别是棱长为2的正四面体 的对棱 的中点.过
的平面 与正四面体 相截，得到一个截面多边形 ，则正确的选项是（ ）
①截面多边形 可能是三角形或四边形.
②截面多边形 周长的取值范围是 .
③截面多边形 面积的取值范围是 .
④当截面多边形 是一个面积为 的四边形时，四边形的对角线互相垂直.
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】对于①，当平面 过 或 时，截面为三角形.
易知正四面体关于平面 对称，将平面 从平面 开始旋转与 交于点 时，
由对称性可知，此时平面 与 交于点 ，且 ，
此时截面为四边形 ，①正确；对于②，设 ，由余弦定理得 ，
，
由两点间距离公式知， 表示动点 到定点 和 的距离之和，
当三点共线时取得最小值 ，
由二次函数单调性可知，当 或 时， 取得最大值 ，
所以截面多边形 周长的取值范围是 ，所以②错误；
对于③，记 与 的交点为 ，由对称性 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
记 ，则 ，
因为 ，
所以
，
由二次函数性质可知， ，即 ，
所以 ，③正确；
对于④，由③知，当截面为四边形时，对角线 ， 垂直，所以④正确．
故选：D
6．（2024·上海·三模）如图，点N为正方形ABCD的中心， 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，
M是线段EB的中点，则（ ）
A．DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线
B．DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线
C．DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线
D．DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线
【答案】D
【解析】连接 ，
因为点N为正方形ABCD的中心，所以 是 的中点，
所以 平面 ，所以 与 相交，
因为四边形ABCD是正方形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又因为 是等边三角形，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 是 的中点，
所以 .
故选：D.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体 中，M是棱 上一点，平面
与棱 交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形 是平行四边形；②四边形 可能是正方形；③存在平面 与直线 垂直；④
任意平面 都与平面 垂直.
A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【解析】对于①，因为平面 与棱 交于点 ，所以 四点共面，
在正方体 中，由平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
同理可得 ，故四边形 一定是平行四边形，故①正确
对于②，在正方体 中， 面 ，
因为 面 ，所以 ，
若 是正方形， 有 ， ，
若 不重合，则 与 矛盾，
若 重合，则 不成立，故②错误；
对于③，因为 平面 ， ，
若直线 与平面 垂直，则直线 ，显然矛盾，
所以平面 与直线 不可能垂直，故③错误
对于④，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，同理： ，又 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，故④正确.
综上所述，正确的有①④.
故选：C.
8．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知四边形 是平行四边形， 分别是 的中点，点P在
平面 内的射影为 与平面 所成角的正切值为2，则直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，取 的中点E，连接 ．因为 分别是 的中点，
所以 ．
因为四边形 是平行四边形，所以 ．
因为N为 的中点，所以 ，所以 ．
故四边形 为平行四边形，所以 ，
所以直线 与 所成的角为 ．
连接 ，因为点P在平面 内的射影为N，所以 平面 ，
所以 与平面 所成的角为 ，所以 ．不妨令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
在 中，
由余弦定理得 ．
故选：A．
9．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
【答案】AB
【解析】根据基本事实以及推论，易知A，B正确；
对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；
对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确；
故选：AB
10．（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，长方体 ，过点 作平面 的垂线，垂足为点 ．
则以下命题中，正确的是（ ）
A．点 是 的垂心 B． 垂直平面
C． 的延长线经过点 D．直线 和 是异面直线
【答案】AB
【解析】对于A， 垂直平面 ， 平面 ，故 ，
在长方体中直线 两两互相垂直，则 平面 ，
平面 ，故 ，
可得 ，又 是平面 内两条相交直线，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
同理可得 ，则 是 的垂心，故A正确；
对于B，由长方体的性质可知， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；同理 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；又因为 是平面 内两条相交直线，
则平面 平面 ，由题意可知 垂直平面 ，
则 垂直平面 ，故B正确；
对于C，根据正方体的性质可知，对角线 垂直于平面 ，
则在不是正方体的长方体中， 不垂直于平面 ，又因为 垂直平面 ，两直线不重合，
正方体是长方体的特殊情况，则 的延长线经不一定过点 ，故C错误；
对于D，根据正方体的性质可知，当长方体 为正方体时， 即 .
由于四边形 为平行四边形，故直线 和 是相交直线，
即直线 和 不一定是异面直线，故D错误；
故选：AB
11．（多选题）（2024·重庆·三模）如图，已知正方体 中， 分别为棱
、 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 四点共面 B． 与 异面
C． D．RS与 所成角为
【答案】AC
【解析】以D为坐标原点，分别以 所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐
标系：设正方体 的棱长为2，
则 ，
因为 分别为棱 、 的中点，
所以 ，
对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 四点共面，正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，错误；
对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，正确；
对于D，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
设RS与 所成角为 ， ，则 ，所以 ，
即 与 所成角为 ，错误.
故选：AC
12．（多选题）（2024·浙江温州·三模）已知空间两条异面直线 所成的角等于60°，过点 与 所成
的角均为 的直线有且只有一条，则 的值可以等于（ ）
A．30° B．45° C．75° D．90°
【答案】AD
【解析】过点 作 ，从两对角的角平分线开始，直线 与 所成角的范围为 或 ，
而均为 的直线有且仅有一条，根据对称性，可得 或 .
故选：AD.
13．（2024·全国·二模）已知长方体 的底面ABCD为边长是2的正方形， ，
E，F分别为棱AB， 的中点，则过 ，E，F的平面截长方体 的表面所得截面的面积
为 .
【答案】
【解析】在长方体 中，连接 并延长与 的延长线交于点 ，直线 交 于 ，
交 的延长线于 ，
连接 交 于 ，连接 ，则五边形 即为过点 的长方体的截面，
由 ， 为 的中点，得 是 中点， ， ，
由 ， 是 中点，得 ，则 ，
则 ，
等腰 底边上的高 ，
的面积 ，平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
则 ，于是 ∽ ，同理 ， ∽ ，
，
因此 ，
所以所得截面的面积为 .
故答案为： .
14．（2024·辽宁大连·二模）如图，圆柱的轴截面为矩形 ，点 ， 分别在上、下底面圆上，
， ， ， ，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 .
【答案】 /
【解析】连接 ，由题设及图易知 是圆柱的母线，
所以 为矩形，设 ，则 是 的中点，
设 是 的中点，连接 ，则 ，
则 是异面直线 与 所成角或其补角.
由于 ， ，所以 ，由于 ，
而 是圆柱底面圆的直径，则 ，
所以 ，则 ，
，而 ，
在三角形 中，由余弦定理得 .
故答案为：
15．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱 中， ， ，M，N分别是 ，
的中点，则平面MNC 截该四棱柱所得截面的周长为 ．
1
【答案】
【解析】延长 相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
因为正四棱柱 中， ， ，M，N分别是 ， 的中点，
所以MN=√AM2+AN2=2√2， ， ，
因为 ∽ ， ，故 ， ，
在 上取点 ，连接 ，则 ，
同理可知 ，所以四边形 为平行四边形，
故 四点共面，
则平面MNC 截该四棱柱所得的截面为五边形 ，
1
， ，
同理 ，
故截面周长为 .故答案为：
16．（2024·贵州毕节·三模）在正方体 中，点P是线段 上的一个动点，记异面直线
DP与 所成角为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】连接 ，
在正方体 中，可得 ，
所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角，
在正方体 中，可得 平面 ，又 平面 ，
所以 ，所以 ，即 ，
当 最小时， 最小，此时 最小，
当 时， 最小，
令 ，可得 ，可得 ，
所以 .
故答案为： .
17．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱 中， ， ，点 ， ， ，分别在棱 ， ， ， 上， ．
(1)证明：点 在平面 中；
(2)求多面体 的体积．
【解析】（1）取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ．
∵ ，
∴四边形 为平行四边形
∴ ①
又∵ ， ，
∴ ．
∴四边形 为平行四边形
∴ ②,
由①②得 ．
∴ ， ， ， 四点共面，即点 在平面 中．
（2）连接 ， ， ．∵ 为正四棱柱．
∴ ，
又 ， ，分别是 ， 中点．
∴ ．
∴ ．
∵
∴平面 ，
即平面 ．
在 中由勾股定理 ， ．
∴
由（1）可得四边形 为平行四边形且 ．
∴四边形 为菱形．
∴ 为 中点．
∴
平面 ，平面 ，
∴ ．
在 中， ， ，
∴
∴
在 中， ， ，
∴
多面体 的体积 .18．（2024·山东·二模）如图所示，直三棱柱 ，各棱长均相等. ， ， 分别为棱 ， ，
的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与 所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：由题意在等边三角形 中， 为 的中点，所以 ，
在直棱柱中， 平面 ， 平面 ，所以 ，
而 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）连接 ，因为 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，
所以 ，且 ，
在三棱柱中， ， ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 即为直线 与 所成的角，
在△ 中，设直三棱柱的棱长为2，则
可得 ．
故
即直线 与 所成角的正弦值为 ．19．（2024·贵州贵阳·二模）如图.直四棱柱 的底面为菱形，且 分别是上，
下底面的中心， 是AB的中点， .
(1)当 时，求直线 与直线EC所成角的余弦值；
(2)是否存在实数k，使得 在平面EBC内的射影 恰好为 的重心.若存在，求出点 的坐标;若不存
在，请说明理由.
【解析】（1）法一：取 的中点Q，CD的中点 ，连接 ，
则 且 ， 且 ，
故四边形 均为平行四边形， ，
，
为直线 与直线EC所成角或补角，
不妨设 ，则 ，则 ，
在 中， 中， ，
直线 与直线EC所成角的余弦值为 ；
法二：如图，设 ，以 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 ，
则 ，，
，
，
直线 与直线EC所成角的余弦值为 ；
（2）如图，设 ，以 为原点建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
故 ，
设平面EBC的法向量 ，
，
令 ，
又 的重心 ，
，
但 与 不平行，
所以不存在实数 ，使得 在平面EBC内的射影 恰好为 的重心．1．（2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（新课标））已知 ， 为异面直线， 平面 ，
平面 ， ，则 （ ）
A．与 ， 都相交 B．与 ， 中至少一条相交
C．与 ， 都不相交 D．至多与 ， 中的一条相交
【答案】B
【解析】若 与 都不相交，则 ， ，则 ，这与 是异面直线矛盾；
故C不正确；
如图， 与 中的一条相交，另一条不相交，
也可以与两条都相交，但不交于同一点，如图
综上： 与 中的至少一条相交.
故选：B
2．（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））已知空间四个点，则“这四个点中有三
点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，
因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；
“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线
上，从而必要性不成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））若空间中有两条直线，则“这两条直线
为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这
两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；
∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，
故选：A.
4．（2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷））正六棱柱 的底面边
长为1，侧棱长为 ，则这个棱柱侧面对角线 与 所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 ，则 ，故 为 与 所成的角．
在 中， ，
， ，
在 和 中，得 ，
是等边三角形， ．
故选：B．
5．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（京蒙皖））如图是正方体的平面展开图，在这个正
方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN垂直.以上四个命
题中，正确命题的序号是（ ）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】C
【解析】由平面展开图可得原正方体如图所示：
由图可得： 为异面直线， 与 不是异面直线，故①②错误；
连接 ，则 为等边三角形，
而 ，故 或其补角为 与 所成的角，
因为 ，故 与 所成的角为 ，故③正确；
因为 ，又 平面 ，所以 ，故 平面
又 平面 ，所以 ，则④正确；
综上，正确命题的序号为：③④．
故选：C．
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））已知正四面体ABCD中，E是AB的
中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取 中点 ，连接 ，因为 是 中点，则 ， 或其补角就是异面
直线 所成的角，设正四面体棱长为1，则 ， ， ．故选B．
7．（2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷（湖南））如图1，在正四棱柱
中， 分别是 ， 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A． 与 垂直 B． 与 垂直
C． 与 异面 D． 与 异面
【答案】D
【解析】如图所示，连结 ，由几何关系可得点 为 的中点，且 ，
由三角形中位线的性质可得： ，即 与 不是异面直线，
很明显， 与 异面，
由几何关系可得： ，则 ，
综上可得，选项D中的结论不成立.
本题选择D选项.8．（2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ））已知正四棱柱 中，
，E为 中点，则异面直线BE与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取DD 中点F，则 为所求角, ，
1
故选：C.
9．（2011年浙江省普通高等学校招生统一考试文科数学）若直线 不平行于平面 ，且 ，则
A． 内的所有直线与 异面 B． 内不存在与 平行的直线
C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内的直线与 都相交
【答案】B
【解析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，
利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．
直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交
l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故A，C，D错误
故选B．
考点：平面的基本性质及推论．
10．（2010年绥滨一中高一下学期期末考试数学卷）经过同一条直线上的3个点的平面
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数多个 D．不存在
【答案】C
【解析】经过一条直线可以作无数多个平面.
故选：C.
11．（2002 年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））如图是表示一个正方体表面的一种平面
展开图，图中的四条线段 ､ ､ 和 在原正方体中相互异面的有 对
【答案】3
【解析】如图，将各点在原图中标记出来，观察发现，在 、 、 和 四条线中，
相互异面的只有3对： 和 、 和 、 和AB.故答案为：3.
12．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，在长方体 中，点 ，
分别在棱 ， 上，且 ， ．证明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
【解析】
（1）因为长方体 ,所以 平面 ,
因为长方体 ,所以四边形 为正方形
因为 平面 ,因此 平面 ,
因为 平面 ,所以 ；（2）在 上取点 使得 ,连 ,
因为 ,所以
所以四边形 为平行四边形，
因为 所以 四点共面，所以四边形 为平行四边形，
，所以 四点共面，
因此 在平面 内
