文档内容
专题 16.3 解题技巧专题：二次根式中有关运算易错问题之六大考点
目录
【典型例题】.............................................................................................................................1
【考点一 化简含字母的二次根式】................................................................................................................1
【考点二 利用二次根式的非负性求值】........................................................................................................4
【考点三 新定义型二次根式的运算】............................................................................................................6
【考点四 二次根式的分母有理化】..............................................................................................................10
【考点五 复合二次根式的化简】..................................................................................................................16
【考点六 二次根式中的规律探究问题】......................................................................................................19
【典型例题】
【考点一 化简含字母的二次根式】
例题：（2023下·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）若 ，则 化简后的结果是 ．
【答案】
【分析】先判断 ， ，根据 进行化简即可．
【详解】解： ， ，
， ，；
故答案： ．
【点睛】本题考查了二次根式化简，掌握化简的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）已知 ，则化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义，可知 ，从而得到 ，再由二次根式的性质进行解答．
【详解】解： ，
，
原式化简得 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和性质，熟练掌握二次根式的定义和性质是解题的关键．
2．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）若 ，化简 正确的是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件得到 ，而 ，则 ，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解： ， ，而 ，
，．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握 ．
3．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的性质，据此化简作答即可，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键．
【详解】解：依题意， ，
故答案为： ．
4．（2023下·江西赣州·八年级统考期中）化简二次根式 后的结果是 ．
【答案】
【分析】先根据被开方数为非负数得到 ，然后把 移入根号内约分解题即可．
【详解】解：由被开方数 得到 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握被开方数是非负数是解题的关键．
5．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）化简：
【答案】
【分析】根据“二次根式的性质： ”化简即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
故答案为： ．
6．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）若 ，化简 ＝ ．
【答案】
【分析】根据 ， 判断出根号里边式子的正负，二次根式的性质即可得到结果．
【详解】解：因为 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键．
【考点二 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如果 ，那么
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数，负整数指数幂运算，
根据二次根式有意义的体积可得 、 的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵ ，
，
解得 ，故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）若实数 满足 ，则 的值
为 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知非负性的应用，根据二次根式的性质与绝对值的非
负性即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：3．
2．（2023上·四川巴中·八年级校考期中）若x、y都是实数，且 ，求 ．
【答案】 /0.375
【分析】本题考查二次根式的非负性，根据 和 可得x的值，进而求出y值，代入求解即
可，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
【详解】解： ， ，
， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
3．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）已知 ，则 ．【答案】 /
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，进而得出y，根据积的乘方，幂的乘方逆用法则将 变
形为 ，代入 ， 求解即可．
【详解】解： ，即 ，
解得： ，
，
，
，
将 ， 代入，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，积的乘方，幂的乘方逆用法则，熟记二次根式被开方数为非
负数并熟练掌握积的乘方，幂的乘方逆用法则是解题的关键．
4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知 为实数，且 ，则
．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式的化简求值，根据二次根式的被开方数的非负
性求出x的值是解题关键．先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和
y的值代入求解即可．【详解】解：根据题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
5．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知 的三条边长 ， ， 满足
，则 的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性，根据二次
根式有意义的条件求出 、 、 是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求出 ，根据非负数的性质分别求出 、 ，根据勾股定理的逆定理得到
，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：6．
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）定义运算“ ”法则为 ，则
．【答案】
【分析】根据新定义运算，利用二次根式的运算，求解即可．
【详解】解：由题意可得： ，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式的加法运算，解题的关键是掌握二次根式的有关运算．
【变式训练】
1．（2023下·云南昭通·七年级校联考期中）定义运算“ ”的运算法则为： ，则
．
【答案】4
【分析】先根据题中定义计算 ，则 ，于是易得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为4．
【点睛】本题考查了实数的运算，理解题意，明确新的运算法则是解题的关键．
2．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）用 定义一种新运算：对于任意实数a和b
，若 ，求 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，利用新运算的规定列式计算即可，本题是新定义
型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．3．（2023下·江苏·八年级期末）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下： ，如
．那么 ．
【答案】
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题中的新定义得： ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解题的关键．
4．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数 ， ，定义运算“*”为: ，
如 ，则 的运算结果为 ．
【答案】
【分析】先根据新运算法则计算 与 ，再计算乘法即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
；故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
5．（2023下·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b
是关于c的共轭二次根式．
(1)若 与 是关于4的共轭二次根式，则 __________
(2)若 与 是关于12的共轭二次根式，求 的值．
【答案】(1)
(2)－2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得 的值即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得 的值即可．
【详解】（1）解：∵ 与 是关于4的共轭二次根式，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ 与 是关于12的共轭二次根式，
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
6．（2023下·全国·八年级专题练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如 ．
(1)填空： ___________．(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果；
(2)首先根据新定义进行运算，可求得 ，再解方程即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为：3；
（2）解： ，
，
．
【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的关键．
【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：像 、 、 …两个含有二次根式的
代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 和 、 与 、
与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母
中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：① ______，② ______；
(2)计算： ；(3)已知有理数 、 满足 ，则 ______， ______．
【答案】(1) ， ；
(2)1
(3)-1，1
【解析】
【分析】
（1）①分子、分母都乘以 即可；②分子、分母都乘以 ；
（2）第一项分子、分母都乘以 ，第二项分子、分母都乘以 ，再计算即可；
（3）将等式左边分母有理化，得到 ，根据a、b都是有理数，得到2a+b=-1，
b-a=2，即可求出a=-1，b=1．
(1)
解：① ，
故答案为： ；
② ，
故答案为： ；
(2)
=
=
=1；(3)
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵a、b都是有理数，
∴2a+b=-1，b-a=2，
解得a=-1，b=1，
故答案为：-1，1．
【点睛】
此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1： ，
例2： ， ，
利用以上结论解答以下问题：（不必证明）
(1) ； ；
(2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程）
【答案】(1) ；
(2)9
【分析】本题考查了分母有理化：涉及二次根式的性质化简、平方差公式的运用：
（1）根据例1的过程，仿写即可作答．（2）逐个化简，得 ， ， ， ，……，
然后进行合并同类二次根式，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴ ；
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ， ，……，
∴
.
2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末） ，两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如
， ，其中 与 与
都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下
列问题：
(1)计算： ， ；
(2)已知有理数a、b满足 ，则 ， ；(3)计算 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键；
（1）把分子分母同时乘以 即可把 有理化；分子分母同时乘以 ，即可对 进行有理化；
（2）把式子 的左边分母有理化得到 ，进而得到方程
组 ，解方程组即可得到答案；
（3）先证明 ，再对所求式子进行分母有理化，然后合并即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
．故答案为： ； ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵a、b都是有理数，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（3）解：，
∴
．
3．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题．
在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如 ， ， 的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
① ；② ；③ ．
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
④
(1)请用不同的方法化简 ．
(2)化简： ．
【答案】(1)方法见解析，结果为
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）先根据分母有理化的方法推出 ，再把所求式子按照上述形式进行裂项，然后合并化简即可．
【详解】（1）解：
；
；
（2）解：，
∴
．
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成 的平方，进而逆用完全平方和公式，最后
将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成 的平方，进而逆用完全平方差公式，最后
将算式整体开方．
(1)解：
(2)
解：
【点睛】
本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（1）填空： ______； ______；
（2）例题：化简
解：因为
所以
仿照上例的方法，化简下列各式：
① ②
【答案】（1） ； ； （2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算，即可求解；
（2）①把原式化为 ，再根据二次根式的性质化简，即可求解；②把原式化为
，再根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】
解：（1）
；；
故答案为： ；
（2）①
；
②
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合
运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．
2．我们已知学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如
等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求 的算术平方根．
解： = ，所以 的算术平方根是 ．你看明白了吗？
请根据上面的方法解答下列问题：
(1)填空： = ；
= ；
(2)化简： + + + + ．
【答案】(1) ； ；
(2) ；
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式的结构，对根号下的式子进行化简配凑，凑完全平方式求解；
（2）对每一项进行配凑，使之成为完全平方式的结构，然后进行化简计算．
(1)
解： ；
；
(2)
解： ，
，
，
，
．．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】
例题：（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）探索规律
观察下列各式及验证过程：
时，有式①： ；
时，有式②： ；
时，有式③： ；
(1)针对上述式①、式②、式③的规律，请写出 时的式子；
(2)请写出满足上述规律的用 （ 为自然数且 ）表示的等式，并证明此等式成立．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据题中所给式子得出 时，有式④： ；
（2）根据题中所给式子得出满足上述规律的用 （ 为自然数且 ）表示的等式：，将 中根号外面的 拿到根号里面，化简即可得到答案．
【详解】（1）解： 时，有式①： ；
时，有式②： ；
时，有式③： ；
时，有式④： ；
（2）解： 时，有式①： ；
时，有式②： ；
时，有式③： ；
时，有式④： ；
…
满足上述规律的用 （ 为自然数且 ）表示的等式： ，
证明：左边右边，
故等式 成立．
【点睛】本题考查了数字类规律探索、利用二次根式的性质进行化简，根据题意得出满足上述规律的用
（ 为自然数且 ）表示的等式： 是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）观察下列各式：
； ； ；……
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
(1)猜想： ________=________；
(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________；
(3)应用：计算 ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)【分析】（1）观察题干给出的等式，进行猜想即可；
（2）根据给出的等式，进行猜想即可；
（3）将 转化为 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ；
故答案为： ， ；
（2）由题意，得： ；
故答案为： ；
（3） ．
【点睛】本题考查化简二次根式，解题的关键是根据题干抽象出 ．
2．（2022下·辽宁大连·八年级校考阶段练习）观察下列各式：
(1)类比上述式子，猜想 __________； __________．
(2)计算 ，写出推导过程；
(3)观察上述式子的规律，请用n（ ）表示这一规律，并证明．
【答案】(1) ，
(2)(3)
【分析】（1）先通分，再根据积的二次根式的性质计算即可；
（2）结合题意和（1）的结论，以此类推计算即可；
（3）结合（1）和（2）的结论，归纳规律表示代数式即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2） ；
（3）
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、数字规律的性质等知识点，根据二次根式计算、归纳规律是解
答本题的关键．
3．（2023下·安徽安庆·七年级校考阶段练习）观察以下等式：第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：____________________
(2)写出第10个等式：____________________．
(3)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由前面4个等式可得被开方数为1与一个分数的和，这个分数的分母是序号加1的平方，分
子是一列从5开始的奇数，右边是分数，分母为序号加1，分子比分母大1，从而可得第5个等式；
（2）由（1）归纳出第10个等式即可；
（3）由（1）归纳出第n个等式，再证明即可．
【详解】（1）解：第1个等式： ．第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
第5个等式： ．
（2）第10个等式： ；
（3）由（1）可得：第n个等式为： （n为正整数）
证明如下：
左边
右边．
【点睛】本题考查的是二次根式和分式的规律探究，分式的化简，掌握探究方法并总结规律是解本题的关
键．
