文档内容
第 02 讲 等差数列及前 n 项和
一、单选题
1．已知等差数列 的前n项和为 ，则n的值为
（ ）
A．8 B．11 C．13 D．17
2．已知等差数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 取最小时，
（ ）
A．4045 B．4044 C．2023 D．2022
4．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘
缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次
每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤
5．在1和10之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个
数的乘积记作 ，则 （ ）
A． B．11 C．44 D．52
6．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种
商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧
7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里
程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在 点处里程碑
上刻着“〣〤”，在 点处里程碑上刻着“〩〢”，则从 点到 点的所有里程碑上所刻
数字之和为（ ）
A．1560 B．1890 C．1925 D．1340
7．已知数列 ， 为等差数列，且公差分别为 ， ，则数列 的
公差为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．在数列 中， ， ，则 ______．
9．数列{an}满足 ， ，则数列{an}的通项公式为___________.10．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 __________．
三、解答题
11．已知数列 满足 ， ， 为等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)求满足不等式 的最大正整数 ．
12．为了净化环境，保护水资源，某化工企业在2020年年底投入100万元购入一套污水
处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年
的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；
(2)问：该企业污水处理设备使用几年时年平均污水处理费用最低？最低年平均污水处理费
用是多少万元？
一、单选题
1．对于数列 ，定义 为数列 的“好数”，已知某数列
的“好数” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列 的各项均为正数，且 ，则数列的 前n项
和 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知 是首项为－24的等差数列，且从第10项起为正数，则公差d的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．设数列 的前n项和为 ，且 ， ，则数列 的前10
项和是（ ）A． B． C． D．
5． 内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 、 、 成等差数列， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200
这200个数中，能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，
则此数列各项之和为（ ）
A．1666 B．1676 C．1757 D．2646
二、填空题
8．已知首项均为 的等差数列 与等比数列 满足 ， ，且 的各项
均不相等，设 为数列 的前n项和，则 的最大值与最小值之差为__________．
9．在平面直角坐标系中，已知 的坐标为 ，将其绕着原点按逆时针方向旋转 得
到 ，延长 到 使 ，再将 绕原点按逆时针方向旋转 得到 ，延长
到 使 ，如此继续下去，则点 的坐标为___________.
10．数列 满足 ， ，且其前n项和为 ．若 ，则正整数
______．
三、解答题
11．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为 ，以后学生人数年增长
率为 .该校今年年初有旧实验设备 套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定
每年以当年年初设备数量的10%增加新设备，同时每年淘汰 套旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年淘汰的旧设
备是多少套？
(2)依照（1）的淘汰速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
参考数据： ， ．
12．已知数列 满足 ， ， .(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项的和 .
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，
相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知 成公差为0.1的等差数列，且直线
的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
2．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”
是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
3．（2022·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则
公差 _______．
三、解答题4．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
5．（2022·全国·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
6．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的
等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
7．（2022·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
8．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项
和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取
值范围．
9．（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公
比大于0的等比数列， ．（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
10．（2021·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项
积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
