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专题16 平行线加中点模型及雨伞模型（解析版）
模型一 平行线加中点模型
模型讲解：如图AB∥CD，E为AD的中点，延长CE交AB于点F，则△AEF≌△DEC
（一）模型识别及应用：当图形中有中点，有平行线时，可用此模型，即有中点有平行线时，图中就
有全等三角形。
典例1 （2023秋•甘井子区月考）如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝ 4 ．
【思路引领】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA
得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．
【解答】解：∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
在△ADE与△CFE中，
{∠ADE=∠EFC
)
DE=EF ，
∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF，
∵AB＝10，CF＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
故答案为：4．
【总结提升】此题目主要考查全等三角形的判方法的掌握．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
针对训练
1．（2023•灞桥区校级三模）如图，在 ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AD于点
▱
S
F，交AC于点G，则
△ABF
的值是（ ）
S
△CEF
4 1 9 1
A． B． C． D．
9 4 4 2
【思路引领】根据平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，由DE＝DC得AB＝DE，再根据平行线的
性质得∠EDF＝∠BAF，∠DEF＝∠ABF，以此可通过ASA证明△DEF≌△ABF，得到S△ABF ＝S△DEF ，
由S△CEF ＝2S△DEF ＝2S△ABF 即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE＝CD，
∴AB＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠EDF＝∠BAF，∠DEF＝∠ABF，
在△DEF和△ABF中，
{
∠≝=∠ABF
)
DE=AB ，
∠EDF=∠BAF
∴△DEF≌△ABF（ASA），
∴S△ABF ＝S△DEF ，
∵CD＝DE，
∴S△CEF ＝2S△DEF ＝2S△ABF ，
∴S 1．
△ABF =
S 2
△CEF故选：D．
【总结提升】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质
是解题关键．
2．（2021秋•泌阳县期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一
点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 3 0 ．
【思路引领】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF ＝S△EDF ，利用割补法可得阴影部分面积．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
在△BAF和△EDF中，
{
∠BAD=∠D
)
∠AFB=∠DFE ，
AB=DE
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF ＝S△EDF ，
1 1
∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF +S△BAF ＝S△ACD = •AC•AD= ×6×10＝30．
2 2
故答案为：30．
【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握
全等三角形的判定是解决问题的关键．
（二）模型构建及应用（图中有中点及平行线时，可以构建 8字全等。仅有中点时，可以作
平行线，构建全等三角形）
典例2 如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．
（1）求证：CO平分∠ACD；
（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．【思路引领】（1）延长AO交CD的延长线于E．只要证明△ABO≌△EDO，推出AO＝OE，AB＝
DE，由AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，推出CA＝CE，由OA＝OE，推出OC平分∠ACD．
（2）由CA＝CE，推出∠CAE＝∠E，由∠E＝∠BAE，推出∠CAO＝∠OAB，即OA平分∠CAB，根据
等腰三角形三线合一即可证明OC⊥OA．
【解答】证明：（1）延长AO交CD的延长线于E．
∵∠D＝∠ABD＝90°，
∴∠CDB+∠ABD＝90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAO＝∠E，
在△ABO和△EDO中，
{
∠BAO=∠E
)
∠AOB=∠EOD ，
OB=OD
∴△ABO≌△EDO，
∴AO＝OE，AB＝DE，
∵AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，
∴CA＝CE，∵OA＝OE，
∴OC平分∠ACD．
（2）∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠E＝∠BAE，
∴∠CAO＝∠OAB，
∴OA平分∠CAB，
∵CA＝CE，OA＝OE，
∴CO⊥AO．
【总结提升】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
针对训练
1．（2021•椒江区校级开学）如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝
5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．
【思路引领】延长AE交BC于点F，由“ASA”可证△AED≌△FEC，可得AD＝FC＝5，AE＝EF，由
勾股定理可求AF的长，即可求AE的长．
【解答】解：如图，延长AE交BC于点F，
∵点E是CD的中点
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD
∴AD∥BC
∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF
∴△AED≌△FEC（ASA）
∴AD＝FC＝5，AE＝EF
∴BF＝BC﹣FC＝5
∴在Rt△ABF中，AF 13
=❑√AB❑ 2+BF❑ 2=
AF 13
∴AE= =
2 2
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题
的关键．
2．阅读理解（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD 与S△ADC 相等吗？ 相等 （S表
示面积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论
说明S△DEC ＝S△ADE +S△EBC ；
解决问题
（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过 D点的直线，将这块
试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．
【思路引领】（1）由于△ABD与△ACD等底同高，根据三角形的面积公式即可得出S△ABD 与S△ADC 相
等；
（2）延长DE交CB的延长线于点F，根据AAS证明△DAE≌△FBE，则DE＝FE，S△DAE ＝S△FBE ，又
由（1）的结论可得S△DEC ＝S△FEC ，代入即可说明S△DEC ＝S△ADE +S△EBC ；
（3）取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，则S梯形ABCD ＝S△CDF ，再取CF的中点
1
G，作直线DG，则S△CDG ＝S△FDG ＝S梯形ADGB = S梯形ABCD ，故直线DG即可将这块试验田分割成面积相
2
等的两块．
【解答】解：（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
1 1
又∵S△ABD = •BD•AE，S△ADC = •CD•AE，
2 2
∴S△ABD ＝S△ADC ．
故答案为相等；
（2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F．∵E是AB的中点，∴AE＝BE．
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE．
在△DAE与△FBE中，
{∠ADE=∠BFE
)
∠AED=∠BEF ，
AE=BE
∴△DAE≌△FBE（AAS），
∴DE＝FE，S△DAE ＝S△FBE ，
∴E是DF中点，
∴S△DEC ＝S△FEC ＝S△BFE +S△EBC ＝S△ADE +S△EBC ，
∴S△DEC ＝S△ADE +S△EBC ；
（3）如图所示：
取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，取CF的中点G，作直线DG，
则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．
【总结提升】本题考查了三角形的面积，全等三角形的判定与性质，梯形的性质，作图﹣应用与设计作
图，（2）中通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
模型二 雨伞模型（角平分线加垂直模型）
模型讲解：如图，OP平分∠MON,AC⊥于C，延长AC交ON于点B，
则△OAC≌△OBC，OA=OB，AC=BC（一）模型识别及应用：当图形中有角平分线且有垂直于这条角平分线的线时，可用此模型。
典例1 （2023•开州区校级开学）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，延
长CE与AB相交于点F，连接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，则∠BDF的度数为 4 0 °．
【思路引领】首先利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，然后利用全等三角形的性质和等腰三角形的
性质可以求出∠ACD＝∠AFD，最后利用四边形的内角和求出∠CDF即可解决问题．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
在△AFE和△ACE中，
{∠FAD=∠CAD
)
AE=AE ，
∠AEF=AEC
∴△AFE≌△ACE（ASA），
∴EF＝CE，AF＝CF，
∴∠AFE＝∠ACE，
∵CE⊥AD，
∴CD＝FD，
∴∠DFC＝DCF，
∴∠AFD＝∠ACD，
∵∠BAC＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠AFD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠CDF＝360°﹣∠BAC﹣∠ACD﹣∠AFD＝140°，
∴∠BDF＝180°﹣∠CDF＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：40．
【总结提升】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了角平分线的性质、等腰三角形的性质及四边形的内角和，有一定的综合性．
针对训练
1．（2023秋•镇海区期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点
E，∠A＝∠ABE．若AC＝10，BC＝6，则BD的长为（ ）
A．2.5 B．2 C．4 D．1
【思路引领】根据CD平分∠ACB，BE⊥CD，证出△BDC≌△EDC，得到BC＝BE，BD＝DE即可．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△BDC≌△EDC（ASA），
∴BC＝CE＝6，BD＝DE，
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE，
∵AC＝10，BC＝6，
∴AE＝AC﹣CE＝4，
∴BE＝AE＝4，
1
∴BD= BE＝2，
2
故选：B．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键．
3．（2020秋•市中区校级月考）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足
3
为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，MN= ，则△ABC的周长为（ ）
2A．19 B．18 C．17 D．16
【思路引领】证明△ABN≌△EBN，根据全等三角形的性质得到BA＝BE，AN＝NE，同理可得CA＝
CD，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN＝∠EBN，
在△ABN和△EBN中，
{
∠ABN=∠EBN
)
BN=BN ，
∠ANB=∠ENB=90°
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴BA＝BE，AN＝NE，
同理可得：CA＝CD，AM＝MD，
3
∵AN＝NE，AM＝MD，MN= ，
2
∴DE＝2MN＝3，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BE+BC+CD＝BC+BC+DE＝17，
故选：C．
【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于
第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
（二）模型的建构：通过延长垂直于角平分线的垂线段构建雨伞模型
典例2 （2021秋•昭阳区期末）如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝8，AC＝5．则BE＝ 3 ．
（2）如图2，若∠C＝2∠B，点E在AB上，且AE＝AC，AB＝a，AC＝b，求CD的长；（用含a、b的
式子表示）
（3）如图3，BG⊥AD，点G在AD的延长线上，连接CG，若△ACG的面积是7，求△ABC的面积．【思路引领】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得出AE＝AC＝5，再利用BE＝AB﹣AE即可求得答
案；
（2）利用SAS证明△AED≌△ACD，得出∠AED＝∠C，ED＝CD，由题意可得出BE＝AB﹣AE＝a﹣
b，再利用等角对等边证得DE＝BE，即可得出答案；
（3）延长AC、BG交于H，先证明△ABG≌△AHG（ASA），得出：BG＝GH，S△ABG ＝S△AHG ，利用等
底等高的两个三角形面积相等可得S△CBG ＝S△CGH ，设S△CBG ＝S△CGH ＝x，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠CAF，
∵CE⊥AD，
∴∠AFE＝∠AFC＝90°，
在△AEF和△ACF中，
{∠EAF=∠CAF
)
AF=AF ，
∠AFE=∠AFC
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC＝5，
∵AB＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3；
故答案为：3．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△AED和△ACD中，
{
AE=AC
)
∠EAD=∠CAD ，
AD=AD∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED＝∠C，ED＝CD，
∵AE＝AC，AB＝a，AC＝b，
∴BE＝AB﹣AE＝a﹣b，
在△BDE中，∠AED＝∠B+∠BDE，
∴∠C＝∠B+∠BDE，
∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠BDE，
∴DE＝BE＝a﹣b，
∴CD＝a﹣b；
（3）如图，延长AC、BG交于H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠HAG，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGH＝90°，
在△ABG和△AHG中，
{∠BAG=∠HAG
)
AG=AG ，
∠AGB=∠AGH
∴△ABG≌△AHG（ASA），
∴BG＝GH，S△ABG ＝S△AHG ，
∴S△CBG ＝S△CGH ，
设S△CBG ＝S△CGH ＝x，
∵S△ACG ＝7，
∴S△AGH ＝S△ACG +S△CGH ＝7+x，∴S△ABG ＝S△AHG ＝7+x，
∴S△ABH ＝2（7+x）＝14+2x，
∴S△ABC ＝S△ABH ﹣（S△CBG +S△CGH ）＝14+2x﹣（x+x）＝14．
【总结提升】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性
质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
针对训练
1．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为5cm2，则△PBC的面积为（
）
A．2cm2 B．2.5cm2 C．3cm2 D．不能确定
【思路引领】延长AP交BC于点D，证明△APB≌△DPB（ASA）得到AP＝DP，根据三角形中线的性
质即可求解．
【解答】解：延长AP交BC于点D，
∵BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，
∴∠ABP＝∠DBP，∠APB＝∠DPB＝90°，
在△APB与△DPB中，
{∠ABP=∠DBP
)
BP=BP ，
∠APB=∠DPB
∴△APB≌△DPB（ASA），
∴AP＝DP，
1 1
∴S△BDP = S△ABD ，S△CDP = S△ADC ，
2 2
1 1 1
∴S△PBC ＝S△BDP +S△CDP = S△CDA + S△BDA = S△ABC ＝2.5（cm2）．
2 2 2故选：B．
【总结提升】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，正确作出辅助线构造全等
三角形是解题的关键．
2．（2022•青秀区校级三模）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD
＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路引领】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得
到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：A．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判
定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
3．（2021•越秀区模拟）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB
＝8，MN＝3，则AC的长是（ ）A．12 B．14 C．16 D．18
【思路引领】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理
计算即可．
【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
{
∠NAB=∠NAD
)
AN=AN ，
∠ANB=∠∧=90°
∴△ANB≌△AND，
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC＝2MN＝6，
∴AC＝AD+CD＝14，
故选：B．
【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
4．（2022秋•安溪县期中）[问题情境]
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作
AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，易证△AOC≌△BOC，则AC＝BC．其分析过程如下：
在△AOC和△BOC中，
OP平分∠MON ∠AOC＝∠BOC
OC＝OC ⇒
AC⊥OP ∠OCA＝∠OCB＝90°
△AOC⇒≌△BOC（ ASA ）
⇒在括号内填写全等判定方法字母简称
AC＝BC （ 全等三角形对应边相等 ）
⇒在括号内填写理由依据
[问题探究]如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．证
明：CD＝2BE；
[拓展延伸]
1
如图 3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D在线段 BC 上，向 BC 左侧作∠BDE= ∠ACB，
2
BE⊥DE于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
【思路引领】[问题情境]利用全等三角形的性质证明即可；
[问题探究]延长 BE 交 CA 延长线于 F，证明△CEF≌△CEB（ASA），推出 FE＝BE，再证明
△ACD≌△ABF（ASA），可得结论；
1
[拓展延伸]结论：BE= DF．过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，过点D作
2
DG∥AC，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，证明方法类似．
【解答】[问题情境]解：在△AOC和△BOC中，
{
∠AOC=∠BOC
)
OC=OC ，
∠OCA=∠OCB=90°
∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴AC＝BC （全等三角形的对应边相等）．
故答案为：ASA，全等三角形对应边相等；
[问题探究]证明：延长BE交CA延长线于F，∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE，
在△CEF和△CEB中，
{
∠FCE=∠BCE
)
CE=CE ，
∠CEF=∠CEB=90°
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴FE＝BE，
∵∠DAC＝∠CEF＝90°，
∴∠ACD+∠F＝∠ABF+∠F＝90°，
∴∠ACD＝∠ABF，
在△ACD和△ABF中，
{
∠ACD=∠ABF
)
AC=AB ，
∠CAD=∠BAF=90°
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD＝BF，
∴CD＝2BE．
1
[拓展延伸]解：结论：BE= DF．理由如下：
2
过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与AF相交于H，∵DG∥AC，
∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，
1
∵∠EDB= ∠C，
2
1
∴∠EDB＝∠EDC= ∠C，
2
∵BE⊥ED，
∴∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠BHD，
∵∠EFB＝∠HFD，
∴∠EBF＝∠HDF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵DG∥AC，
∴∠GDB＝∠C＝45°，
∴∠GDB＝∠ABC＝45°，
∴BH＝DH，
在△BGH和△DFH中，
{
∠HBG=∠HDF
)
BH=DH ，
∠BHG=∠DHF=90°
∴△BGH≌△DFH（ASA），
∴BG＝DF，
在△BDE和△GDE中，{
∠BDE=∠GDE
)
DE=DE ，
∠BED=∠GED=90°
∴△BDE≌△GDE（ASA），
∴BE＝EG，
1 1
∴BE= BG= DF．
2 2
【总结提升】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
