文档内容
第 03 讲 三角函数的图象与性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：五点作图法............................................................................................................................2
题型二：函数的奇偶性........................................................................................................................3
题型三：函数的周期性........................................................................................................................3
题型四：函数的单调性........................................................................................................................4
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）................................................................................5
题型六：函数的定义域、值域（最值）............................................................................................5
题型七：三角函数性质的综合应用....................................................................................................6
题型八：根据条件确定解析式............................................................................................................8
题型九：三角函数图像变换................................................................................................................9
题型十：三角函数实际应用问题......................................................................................................10
02 重难创新练....................................................................................................................................11
03 真题实战练....................................................................................................................................17题型一：五点作图法
1．设 ，函数 的最小正周期为 ，且 ．
(1)求 和 的值；
(2)在给定坐标系中作出函数 在 上的图像；
(3)若 ，求 的取值范围．
2．设函数 （ ）的最小正周期为 ，且
(1)求 和 的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数 在 上的图象；
x题型二：函数的奇偶性
3．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数 ，则“ ， ”是“ 为偶
函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·浙江嘉兴·二模）已知函数 是奇函数，则 的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
5．若函数 在区间 上的最大值､最小值分别为 ､ ，则 的值为
（ ）
A．2 B．0 C． D．3
题型三：函数的周期性
6．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数 （其中 ）的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．3
7．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 ，若存在非零实数a，b，使 恒成立，
则满足条件的一组值可以是 ， .
8．（2024·江西·模拟预测）函数 的最小正周期为 ．
9．已知函数 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 ，则 ．
题型四：函数的单调性
10．（2024·青海海南·二模）已知函数 ，且 .若 的
最小值为 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·全国·模拟预测）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·甘肃张掖·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再把图象
上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 的图象，若 与 的图象关于 轴对称，则
的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
13．函数 的图象经过点 和点 ，则 的
单调递增区间是（ ）A． B．
C． D．
14．（2024·辽宁·模拟预测）函数 在下列哪个区间上单调递增（ ）
A． B． C． D．
15．函数 的单调递增区间是 .
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
16．（2024·全国·模拟预测）函数 的图象的对称中心为
17．（2024·河南·模拟预测）曲线 的一个对称中心为 （答案不唯一）.
18．（2024·上海松江·二模）已知函数 的图象关于点 对称，且 ，则实数 的值
为 .
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象的
一条对称轴为直线 ，则 ．
题型六：函数的定义域、值域（最值）
20．函数 的定义域为 .
21．已知 ， ，则 的值域为 .
22．若x，y满足 ，则 的最大值为
23．若函数 ，当 时，函数的值域是 .
24．（2024·高三·浙江·开学考试）函数 的值域为 .题型七：三角函数性质的综合应用
25．（多选题）（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 最小正周期为
B． 是 图象的一条对称轴
C． 是 图象的一个对称中心
D． 在 上单调
26．（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 的图象关于 对称，则
（ ）
A．函数 为奇函数 B． 在区间 有两个极值点
C． 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
27．（多选题）（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，则下列命题
正确的有（ ）
A．当 时， 是 的一条对称轴
B．若 ，且 ，则
C．存在 ，使得 的图象向左平移 个单位得到的函数为偶函数
D．若 在 上恰有5个零点，则 的范围为
28．（多选题）（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知函数 （ ， ， ）的
部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为 ，则（ ）A．
B．点 是曲线 的一个对称中心
C．直线 是曲线 的一条对称轴
D．函数 在区间 内单调递减
29．（2024·北京·三模）已知函数 .
(1)若 ， ，求 的值；
(2)设 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
30．已知函数 的图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)首先将函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得函数的图象向右平移 个单
位长度，最后再将所得函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数 的图象，求函数 在 内
的值域．
31．（2024·上海·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的在 上单调递减区间；
(2)若函数 在区间 上有且只有两个零点，求m的取值范围．题型八：根据条件确定解析式
32．函数 的部分图象如图所示，将 的图象向左平移 个
单位长度得到函数 的图象，则函数 的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
33．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，将函数 图
象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的解
析式为（ ）A． B．
C． D．
34．已知函数 的周期为 ，图象的一个对称中心为 ，将函数
图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移 个单位长度后得到
函数 的图象，则函数 的解析式为 .
35．（2024·吉林·模拟预测）若将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度得到函数 的图象，
已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式为 .
题型九：三角函数图像变换
36．（2024·江苏南京·二模）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
37．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点
（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
38．已知函数 （其中 ）图象的一个对称中心为 ，为了得到的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
39．（2024·全国·模拟预测）为了得到函数 的图象，可将函数
的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
题型十：三角函数实际应用问题
40．（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建
设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周
运动，角速度大小为 ，圆上两点A，B始终满足 ，随着圆O的旋转，A，B两点的位置
关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运
动开始时刻，即 秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；
A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 .
41．（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章
《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽
破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4 的筒车按逆时针方向每分钟转一
圈，筒车的轴心O距离水面的高度为 .在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于 的时间
为（ ）A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒
42．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心 到水面的距离为 ，筒车的半径
是 ，盛水筒的初始位置为 与水平正方向的夹角为 ．若筒车以角速度 沿逆时针方向转
动， 为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点 所需的时间（单位： ），则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的
距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 （
， ， ）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数 的图象关于点 成中心对称；②函数 的解析式可以为 ；
③函数 在 上的值域为 ；
④若把 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位，则所得函数
是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
2．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 的图象关于点 对称，若当
时， 的最小值是 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 满足以下性质：① 在 内
存在零点；②对于任意 ，有 ；③ 在 内不单调，但是它的图像连续不断，则
可以是：（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·吉林长春·模拟预测）函数 的部分图象如图所示，下列说
法正确的是（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在 上单调递减D．函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度后，所得的图象关于 轴对称
5．（2024·广东汕头·三模）已知 A，B，C是直线 与函数 （ ， ）的
图象的三个交点，如图所示．其中，点 ，B，C两点的横坐标分别为 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． 的图象关于 中心对称 D． 在 上单调递减
6．（2024·河北·模拟预测）当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 在 上的最小值为 D．直线 是 图象的一条对称轴
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，将 图象上所有的
点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，若 在 上恰有一个极值点，则
的取值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，则（ ）A．当 时， 的图象关于 对称
B．当 时， 在 上的最大值为
C．当 为 的一个零点时， 的最小值为1
D．当 在 上单调递减时， 的最大值为1
10．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）若函数 的两条相邻对称轴距
离为 ，且 ，则（ ）
A． B．点 是函数 的对称中心
C．函数 在 上单调递增 D．直线 是函数 图象的对称轴
11．（多选题）（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的值域为
C．若方程 在 上有6个不同的实根，则实数 的取值范围是
D．若方程 在 上有6个不同的实根 ，则 的取
值范围是
12．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车
发明于隋而盛于唐，距今已有 多年的历史 如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为 米的筒
车按逆时针方向做每 分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心 距离水面 的高度为 米，设筒车上的
某个盛水筒 的初始位置为点 （水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时， 分钟时，该盛水筒距水
面距离为 ，则 .13．（2024·江西南昌·一模）潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水
的周期性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻 （单位：小时）与对应水深 （单位：
米）的函数关系式为 .某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的
距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不
超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时驶入深水区
域，则该船第一次停止卸货的时刻为 .
14．（2024·安徽合肥·三模）已知函数 在区间 上只有一个零
点和两个最大值点，则 的取值范围是 ．
15．（2024·河北衡水·三模）已知 是函数 的一条对称轴， 在区间
内恰好存在3个对称中心，则 的取值范围为 ．
16．（2024·江苏苏州·三模）函数 的值域是 .
17．（2024·河北石家庄·二模）已知函数 在区间 上的值域均为 ，则实
数 的取值范围是 ．
18．某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数 ，
其中 为水深（单位：米）， 为时间（单位：小时），该函数图像如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底
与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？19．（2024·上海浦东新·三模）已知 ，其中 ， .
(1)若 ，函数 的最小正周期T为 ，求函数 的单调减区间；
(2)设函数 的部分图象如图所示，其中 ， ，求函数的最小正周期T，并求
的解析式.
20．（2024·北京西城·三模）已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围.
① 在 有恰有两个极值点；
② 在 单调递减；
③ 在 恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（2024·湖北黄冈·二模）已知向量 ， ，
， 图象上相邻的最高点与最低点之间的距离 .
(1)求 的值及 在 上的单调递增区间；(2)设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，求 的值域.
22．（2024·北京·三模）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①： ；条
件②： ；条件③： 的面积为S，且 .注：如果选择多
个条件分别解答，按第一个条件计分.
23．（2024·河北·三模）已知函数 ．
(1)求 在 上的单调增区间；
(2)若关于x的方程 在区间 内有两个不同的解 ， ，求实
数a的取值范围，并证明 ．
1．（2024年上海高考数学真题）下列函数 的最小正周期是 的是（ ）A． B．
C． D．
2．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移
个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 在区间 单调递增，
直线 和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022年新高考浙江数学高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图
象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
7．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
10．（2022年新高考全国I卷数学真题）记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
11．（2021年北京市高考数学试题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
12．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
13．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数 的最小正周期和最大值分别是
（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
14．（2021年全国新高考I卷数学试题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）A． B． C． D．
15．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 的图像关于点
中心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
16．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数 在 上的最大值是 ．
17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若 为偶函数，则 ．
18．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，
则 的取值范围是 ．
19．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线
的两个交点，若 ，则 ．
20．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记函数 的最小正周期为
T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
21．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 的部分图像如图所示，则
.22．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数 的部分图像如图所示，则满足
条件 的最小正整数x为 ．
