第03讲《集合与简易逻辑》章节测试（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第 03 讲《集合与简易逻辑》章节测试 一、单选题 1、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】由特称命题的否定为全称命题可得，命题“ ， ”的否定是“ ， ” 故选：B 2、（2023·山西临汾·统考一模）已知集合 ，则集合 的子集的个数为 （ ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】C 【解析】 ， 集合A的子集为： ， ， ， ，共4个. 故选：C. 3、（2023·云南红河·统考一模）若集合 ， ，则 （ ） A． 或 B． C． D． 或 【答案】C 【解析】集合 ， 或 ；所以 . 故选：C． 4、（2023·安徽淮北·统考一模）已知全集 ，集合 和 ， 则集合 的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4． 【答案】B 【解析】因为 所以 ， 又因为 ， 所以 ， . 故选：B. 5、（2023·安徽宿州·统考一模）“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 可得 ，即充分性成立； 当 时，可得 ；所以必要性不成立； 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选：A 6、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 又 ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 . 故选：A 7、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 或 ，解得 或 即 ， 因为 ，所以 当 时， ，满足要求. 当 时，则 ，由 ， 可得 ，即 当 时，则 ，由 ， 可得 ，即 综上所述，故选:B. 8、（2021·浙江宁波市·高三月考）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：① ，②若 ，则 且 ，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（ ） A．若 ，则 是U的一个环 B．若 ，则存在U的一个环F，F含有8个元素 C．若 ，则存在U的一个环F，F含有4个元素且 D．若 ，则存在U的一个环F，F含有7个元素且 【答案】D 【解析】 对A，由题意可得 满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符 合题意； 对B，若 ，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素， 故B正确，不符合题意； 对C，如 满足环的要求，且含有4个元素， ，故C正确，不符 合题意. 对D， ， ， ， ， ， ， 再加上 ， 中至少8个元素，故D错误，符合题意. 故选：D. 二、多选题9、(2022·广东省深圳实验学校10月月考)下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 A项：当 时， ，即 恒成立，A错误； B项：当 时， 且 ，因为 ，所以 恒成立，B正确； C项：当 时， ， ，此时 ，C错误； D项：由对数函数与指数函数的性质可知，当 时， 恒成立，D正确， 故选：BD. a b ab 10、（2022江苏省太湖高级中学月考）若 ， 为正实数，则 的充要条件为（ ） 1 1  A．a b B．lna lnb C．alna blnb D．abea eb 【答案】BD 【解析】 1 1  ba 因为a b ，故A选项错误； a b lna lnb a b 因为 ， 为正实数，所以 ，故B选项正确；a e2 be e2lne2 2e2 elnee alna blnb 取 ，则 ， ，即 不成立，故C选项错误； y(ex x)ex 1 x0 y0 y ex x x(0,) 因为 ，当 时， ，所以 在 上单调递增， abea aebbabea eb 即 ，故D正确. 故选：BD 11、（2022山东师范大学附中高三月考）xR， x 表示不超过 x 的最大整数.十八世纪， y x 被 “数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） x1,0 x1 xx1 A． ， B．xR， x,yR xyx y y  xxxR 0,1 C． ， D．函数 的值域为 【答案】CD 【解析】 01,0 001 对于A， ，而 ，故A错误； xx1 xx1 对于B，因为 ，所以 恒成立，故B错误； x,yR 0 xx1 0 yy1 0 xx yy2 对于C， ， ， ，所以 ， 1 xx yy2 xy1x y xyx y 当 时， ，此时 ； 0 xx yy1 xyx y xyx y 当 时， ，此时 ， x,yR xyx y 所以 ， ，故C正确； 0 xx1 y  xxxR 0,1 对于D，根据定义可知， ，所以函数 的值域为 ，故D正确. 故选：CD. 12、(2022·沭阳如东中学期初考试)“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分 条件是A．0＜a＜1 B．0≤a≤1 C．0＜a＜ D．a≥0 【答案】BD 【解析】由题意可知，关于x的不等式x2－2ax＋a＞0恒成立，则＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，对于选 项 A，“0＜a＜1”是“关于 x 的不等式 x2－2ax＋a＞0 对x∈R 恒成立”的充要条件；对于选项 B，“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的必要不充分条件；对于选项 C，“0＜a＜”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的充分不必要条件对于选项D中， “a≥0”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”必要不充分条件，故答案选BD． 三、填空题 13、（2022届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考）设全集 ，若 ，则集合 ______. 【答案】 【解析】∵ ， ， ∴ ， 故答案为： . 14、（江苏省南通市2022年学情调研）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象.则“ ”是“函数 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必 要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要 【解析】由题意，将函数 的图象向右平移 个单位，可得 的 图像，当 时，可得 ，显然 为偶函数， 所以“ ”是“函数 为偶函数”的充分条件； 若函数 为偶函数，则 ， 即 ，不能推出 ， 所以“ ”不是“函数 为偶函数”的必要条件， 因此“ ”是“函数 为偶函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 A{x| x 4},B {x|(xa)(x1)0} A B 15、（2022山东省招远第一中学月考）设集合 ，且 ， a 则 的取值范围是______ [0,16] 【答案】 ． 【解析】 A{x| x 4}{x|0 x16} ， B{x|(xa)(x1)0} 中， a1 B{x|a x1} 当 时， ； 当a1时，B为空集； B{x|1 xa} a1 当 时， ； A B a1 1a0 a1 A B a1 1a16 ∴综上，要使 则有： 时， ； 时， 成立； 时， ； a [0,16] ∴ 的取值范围是 ．16、（2021·浙江高三其他模拟）已知有限集合 ，定义集合 中的元素的个数为集合 的“容量”，记为 ．若集合 ，则 ______；若集合 ，且 ，则正整数 的值是______． 【答案】3 2022 【解析】 ，则集合 ， 所以 ．若集合 ， 则集合 ， 故 ，解得 ． 故答案为：3；2022 四、解答题 17、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)(本小题满分10分) 已知命题p：x∈R，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A． (1)求集合A； (2)设集合B＝{a|2m－3≤a≤m＋1}，若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】(1)命题P为真命题时，则＝4－4a2≥0，得－1≤a≤1， ∴A＝{a|－1≤a≤1}． …………5分 (2)∵x∈B是x∈A的必要不充分条件，∴AB， ∴ (等号不能同时成立)，得0≤m≤1．…………10分 18、（2022上海高一专题练习）求证：关于 的方程 有实数根，且两根均小于 的一个 充分条件是 且 . 【解析】当 且 时， 由题设有： ， 原方程有实数根. 函数 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为 ， 因此要证两根都小于 ，只需 即可. 又 ， ， ， ， 方程的两根都小于 ， 关于 的方程 有实数根，且两根均小于 的一个充分条件是 且 .   A x m1 x2m3 19、（2022山东潍坊·月考）已知集合 ， ． （1）当 m2 时，求 A  B ， (� R A)I B ； A B A m  （2）若 ，求实数 的取值范围． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答． 8 1 ①函数 f(x)  lg(x2 2x8) 的定义域为集合B；②不等式 x1 的解集为B． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析. 【解析】 选条件①： f(x)  lg(x2 2x8) B 可知函数 的定义域为集合 ，   B  x x2 2x80 {x|2 x4} 则 ， m2 A{x|1 x7} B {x|2 x4} （1）根据题意，当 时， ， ， AB {x|2 x7} 则 ，又 � R A{x|x1 或 x7} ，则 (� R A)  B{x|2 x1} .   A x m1 x2m3 B {x|2 x4} （2）根据题意， ， ， A  B A AB 2 若 ，则 ，分 种情况讨论： ①当A时，有m12m3，解得：m4； m12m3  m12 ②当 时，若有 ，则有 ，解得： 1 ，  1m 2m34 A AB  2 1 (,4) (1, )  综上可得，m的取值范围是 2 ． 选条件②： 8 1 可知不等式 x1 的解集为B，则B {x|x1或 x9} ， m2 A{x|1 x7} B {x|x1 x9} （1）根据题意，当 时， ， 或 ， A B {x|x7 x9}  则 或 ， 又 � R A{x|x1 或 x7} ，则 � R A  B{x|x1 或 x9} .   A x m1 x2m3 B {x|x1 x9} （2）根据题意， ， 或 ， A  B A AB 2 若 ，则 ，分 种情况讨论： ①当A时，有m12m3，解得：m4； m12m3 m12m3   ②当 A 时，若有 AB ，则 2m31 或 m19 ， 解得：4m1或m10， m (,1)U(10,) 综上可得， 的取值范围是 ． A{x|1 x3} B {x|m x13m} 20、（2022武冈市第二中学高二期末）已知集合 ，集合 ．m1 A B  （1）当 时，求 ； B� A m （2）若 R ，求实数 的取值范围．  1 , (3,)   【答案】（1）AB {x|1 x4}；（2） 2 ． 【解析】 m1 B {x|1 x4} （1） ， ， AB {x|1 x4} ； � A  x x1 x3 （2） R 或 ， 1 m 当B，即m13m得 2， B� A 满足 R ， 当B 时， m13m m13m   使B� A即 13m1或 m3 ， R 解得：m3． 1 (, ] (3,)  综上所述，m的取值范围是 2 ． 21、（2021·湖北武汉市·高二期末）（1）已知命题 ，使得 成立；若命题 为 假命题，求实数 的取值范围； （2）已知 ， ，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值 范围. 【解析】 ：（1）因为命题r为假命题，所以命题r的否定： 恒成立为真命题，则 ，解得 ，故实数a的取值范围为 （2）∵ ，∴ ，即 ； ∵ ， ∴ ， ∴p是q的必要不充分条件， ∴ ，解得 ， ∴所求实数a的取值范围是 . 22、（2021·浙江高一期末）已知幂函数 在 上单调递增，函数 ． （1）求m的值； （2）当 时，记 的值域分别为集合A，B，设 ，若p是q成立的必要 条件，求实数k的取值范围． （3）设 ，且 在 上单调递增，求实数k的取值范围． 【解析】 （1）由幂函数的定义得： ， 或 ， 当 时， 在 上单调递减，与题设矛盾，舍去； 当 时， 在 上单调递增，符合题意； 综上可知： .（2）由（1）得： ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 由命题 是 成立的必要条件，则 ，显然 ，则 ，即 ， 所以实数k的取值范围为： . （3）由（1）可得 ，二次函数的开口向上，对称轴为 ， 要使 在 上单调递增，如图所示： 或 即 或 ，解得： 或 . 所以实数k的取值范围为：