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专题 17.2 勾股定理的应用（十大题型总结）
【题型一：求梯子滑落高度】
1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖
直的墙AC上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的
底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度DE长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
过D作DH⊥AC于H，根据平行线的性质得到DH=CE=2米，DE=CH，根据勾股定理即可得到结
论．
【解题过程】
解：过D作DH⊥AC于H，
由题意得DE∥AC，AC⊥EC
∴DH=CE=2米，
同理可得：DE=CH，
在Rt△ABC中，AC=❑√AB2−BC2=❑√2.52−0.72=2.4（米)，
在Rt△ADH中，AH=❑√AD2−DH2=❑√2.52−22=1.5（米)，
∴DE=CH=AC−AH=0.9（米)，答：梯子底端离地高度DE长为0.9米，
故选：B．
2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构
成等腰三角形(AB=AC)．图甲是梯子两脚架夹角A为90°时的示意图，图乙是由图甲当点B与点C的距离
缩小120cm，而点A与地面的距离增大40cm时的示意图，若点A与地面的距离为170cm时，则此时点B与
点C的距离是 cm．
【思路点拨】
本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰直角三
角形的性质BD=DC=AD，设AB=AC=x，利用勾股定理得到BC=❑√2x，进而得到AD，图乙，根据
题意得出B′C′，A′E，B′E，在Rt△A′B′E中，利用勾股定理得出x，即AB，图丙，在Rt△ABF中，利
用勾股定理得出BF=70cm，进而求得BC．
【解题过程】
解：如图甲，
由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠D=45°，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°
∴BD=DC=AD，
设AB=AC=x，
由勾股定理得：BC2=AB2+AC2，
∴BC=❑√2x，1 ❑√2
∴AD=BD= BC= x，
2 2
如图乙，
过点A′作A′E⊥B′C′于点E，
∵图乙是由图甲当点B与点C的距离缩小120cm，而点A与地面的距离增大40cm时的示意图，
❑√2
∴B′C′=BC−120=❑√2x−120，A′E=AD+40= x+40，
2
1 ❑√2
∴B′E= B′C′= x−60，
2 2
∵梯子长度不变，
∴A′B′=AB=x，
在Rt△A′B′E中，(A′B′
)
2=(B′E) 2+(A′E) 2，
∴x2= (❑√2 x−60 ) 2 + (❑√2 x+40 ) 2 ，
2 2
解得：x=130❑√2，
∴AB=130❑√2，
若点A与地面的距离为170cm时，如图丙，
过点A作AF⊥BC于点F，
AB=130❑√2，AF=170，
在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2，∴(130❑√2) 2=1702+BF2，
解得：BF=70cm，
∴BC=2BF=140cm，
此时点B与点C的距离是140cm．
故答案为：140．
3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的
云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m，∠DCE=90°．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），A A′=4m，云梯的
底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放
1
时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云
5
梯的顶端能否到达24.3m高的墙头进行救援？
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
（1）直接利用勾股定理求得直角边AC的长即可；
（2）首先求得C A′的长，然后利用勾股定理求得线段CB′的长，最后求得线段BB′的长即可；
（3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，∴ AC=❑√AB2−BC2=❑√252−72=24(m)，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m；
（2）云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m，
由（1）可知AC=24m，
∴ A′C=AC−A A′=24−4=20(m)．
在Rt△A′CB′中，A′C2+B′C2=A′B′2，
∴ B′C=❑√A′B′2−A′C2=❑√252−202=15(m)，
∴ BB′=CB′−BC=15−7=8(m)；
1
（3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的 ，
5
则能够到达墙面的最大高度为❑ √ 252− (1 ×25 ) 2 =❑√600(m)．
5
∴ 24.32=590.49<600，
∴ 24.3<❑√600，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜
靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯
子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA=1.6米，AP=1.2米，
则甲房间的宽度AB= 米．
（2）当他在乙房间时，测得MA=1.6米，NB=1.2米，且∠MPN=90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA=3.3米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°，求丙房间的宽AB．
【思路点拨】
（1）根据勾股定理即可得到结论;（2）证明△AMP≌△BPN，从而得到MA=PB=1.6米，PA=❑√PM2−M A2=1.2，即可求出结果；
（3）根据PM=PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形，表示出MN，MP的长，可得结
果；
此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，等边三角形的判定，根据PM=PN以及∠MPN的度数
可得到△PMN为等边三角形是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：在Rt△ AMP中，∵∠A=90°，MA=1.6米，AP=1.2米，
∴PM=❑√AM2+AP2=2，
∵PB=PM=2，
∴甲房间的宽度AB=AP+PB=3.2米，
故答案为：3.2；
（2）∵∠MPN=90°，
∴∠APM+∠BPN=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠AMP=∠BPN．
在△AMP与△BPN中，
{
∠AMP=∠BPN
)
∠MAP=∠PBN=90° ，
MP=PN
∴△AMP≌△BPN，
∴MA=PB=1.6米，
∵PA=❑√PM2−M A2=1.2，
∴AB=PA+PB=1.2+1.6=2.8；
（3）过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设AB=x，且AB=ND=x．∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形(180°−45°−75°=60°，梯子长度相同），
∠MND=15°．
∵∠APM=75°，
∴∠AMP=15°．
∴∠DNM=∠AMP，
∵△PNM为等边三角形，
∴NM=PM．
∴△AMP≌△DNM(AAS)，
∴AM=DN，
∴AB=DN=AM=1.6米，
即丙房间的宽AB是1.6米．
【题型二：求旗杆高度】
5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们
设计的测步骤如下：
①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长CF=1.6m，高CD=0.3m，旗杆正好在底座的正中间（B
是CF的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度
恰好为BC的长；
②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出DM长为2m．
请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度．
【思路点拨】
本题主要考查勾股定理的应用，设旗杆AB=xm分别求出AN=AB+BN=(x+0.3)m，
MN=ND+DM=0.8+2=2.8m，AM=(x+0.8)m，根据勾股定理列出方程求解即可．
【解题过程】1
解：根据题意得，BC= CF=0.8m,CD=EF=0.3m,
2
如图，BN=0.3m,ND=0.8m，
设旗杆AB=xm，则AN=AB+BN=(x+0.3)m，MN=ND+DM=0.8+2=2.8m，AM=(x+0.8)m，
在Rt△ANM中，AN2+M N2=AM2，
∴(x+0.3) 2+2.82=(x+0.8) 2
解得，x=7.29
∴AB=7.29m，
即该校操场上旗杆的高度为7.29m．
6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗
杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底
部B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末
端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）设旗杆AB的高度为xm，则AC=(x+3)m，再由勾股定理计算即可得解；（2）过E作EM⊥AB重为M，证明四边形BDEM为长方形，得出MB=ED=2m，BD=ME，由勾股定
理得ME=5❑√5m，即可得解．
【解题过程】
（1）解：设旗杆AB的高度为xm，则AC=(x+3)m，
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴x2+92=(x+3) 2，
解得：x=12，
答：旗杆AB的高度为12m．
（2）解：过E作EM⊥AB重为M，
则∠MEB=∠MBD=∠EDB=90°，
∴四边形BDEM为长方形，
∴MB=ED=2m，BD=ME，
∵AB=12m，
∴AM=12−2=10m，AE=12+3=15m，
在Rt△AME中，∠AME=90°，
由勾股定理得：ME=❑√AE2−AM2=❑√152−102=5❑√5(m)，
∴CD=(5❑√5−9)m
答：小明需后退(5❑√5−9)m．
7．（24-25九年级上·湖北·期末）为测量学校旗杆AB的高度，学校“华罗庚”数学兴趣小组的同学经过讨
论，设计了以下两种方案：
方案一 方案二
测量工具 含45°角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺．测量方案
示意图
在阳光的照射下，旗杆AB落在围墙上的影子为 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后
实施方案
DC，测得CD为1.2米，旗杆底部B处与围墙的 还多出1m，将绳子斜拉直后，使得
及测量数
距离BC为10.8米．利用直角三角板得到此时太 绳子底端C刚好接触地面，此时测得
据
阳光与水平地面的夹角恰好是45°． BC=5m．
①图上所有点均在同一平面内； ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不
备注
②旗杆半径忽略不计． 动．
请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆AB的高度．
【思路点拨】
方案一过点D作DE⊥AB于点E，则四边形DCBE是矩形，利用等腰直角三角形的性质，解答即可；方
案二，设旗杆的高，AB=xm，根据题意，AC=(x+1)m，BC=5m，利用勾股定理解答即可．
【解题过程】
解：方案一：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形DCBE是矩形，
∴DC=BE,BC=DE，
∵DC=1.2m,BC=10.8m，
∴DC=BE=1.2m,DE=BC=10.8m，
根据题意，得
∴∠ADE=∠MPN=45°，
∴AE=DE=BC=10.8m，
∴AB=AE+BE=12m．
解：方案二 设旗杆的高，AB=xm，
根据题意，AC=(x+1)m，BC=5m，∵AC2=BC2+AB2，
∴(x+1) 2=x2+52，
解得x=12(m)，
故AB的长度为12米．
8．（2024·福建南平·一模）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到
地面多出一段的长度为am，小明同学将整条绳子斜拉直，测出绳子靠地面的末端C到旗杆底部B的距离
为bm．
（1）小红说测量出的数据b一定大于a，请判断小红的说法是否正确？并说明理由；
（2）求旗杆AB的高度．（结果用含a，b的代数式表示）
【思路点拨】
本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）如图，在AC上截取AD=AB，CQ=CB=b，设∠A=α，而∠ABC=90°，证明∠CBQ>∠CBD
，Q在D的上方，即CQ>CD，从而可得答案；
（2）设旗杆AB的长为xm，根据题意，得∠ABC=90°，BC=bm，AC=(x+a)m，再利用勾股定理建
立方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：小红的说法正确，理由如下：
如图，在AC上截取AD=AB，CQ=CB=b，∴CD=AC−AB=a，
设∠A=α，而∠ABC=90°，
1 1
∴∠ABD=∠ADB= (180°−α)=90°− α，∠ACB=90°−α，
2 2
1 1
∴∠CBQ=∠CQB= (180°−90°+α)=45°+ α，
2 2
1 1
而∠CBD=90°−∠ABD=90°−90°+ α= α，
2 2
∴∠CBQ>∠CBD，
∴Q在D的上方，即CQ>CD，
∴b>a；
（2）设旗杆AB的长为xm，
根据题意，得∠ABC=90°，BC=bm，AC=(x+a)m，
∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+b2=(x+a) 2，
b2−a2
解方程得：x= ．
2a
b2−a2
∴旗杆AB的高度为 m．
2a
【题型三：求小鸟飞行距离】
9．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该
树水平距离（BD）为8m的一棵9m高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处，当它听到巢中幼
鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ）A．5s B．4s C．3s D．2s
【思路点拨】
本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．
过A作AE⊥MD于E，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【解题过程】
解：过A作AE⊥MD于E，如图所示：
由题意可知，AB=DE=2m,AE=BD=8m,DM=9m,CM=1m，
∴CE=9−1−2=6m，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为AC，由勾股定理可得
AC=❑√AE2+CE2=❑√62+82=10，
∴它要飞回巢中所需的时间至少是10÷2=5(m/s)，
故选：A．
10．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2
米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB=1.2
米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（ ）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过
点D作DH⊥AB于点H，利用勾股定理求解即可．
【解题过程】
解：如图，过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠DCB=∠B=∠DHB=90°，
∴四边形CDHB是长方形，
∴BC=DH=1.2米，CD=BH=1.5米，
∵AB=2米，
∴AH=AB−BH=2−1.5=0.5（米)，
∴AD=❑√AH2+DH2=❑√0.52+1.22=1.3（米)．
故选：B．
11．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，A
点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=10米．
（1）求出BC的长度；
（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求
小鸟下降的距离．
【思路点拨】
本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可解答．【解题过程】
（1）由题意知∠B=90°，
∵AB=8米，AC=10米．
在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2
∴ BC=❑√102−82=6米，
（2）设AD=x，
∵到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，AB=8
∴则CD=AD=x，BD=8−x，
在Rt△BDC中，DC2=BD2+BC2，
∴x2=(8−x) 2+62，
25
解得x= ，
4
25
∴小鸟下降的距离为 米．
4
12．（2025八年级下·全国·专题练习）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过
往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设
计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为
17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度CD；
（2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识
说明．
【思路点拨】
本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升12m，作图Rt△AEF，根据勾股定理可得AF=25m，再根据题意，17+7.5=24.5<25
，即可求解．【解题过程】
（1）解：如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BD=15m，AB=ED=1.5m，∠AEC=90°
，
在Rt△AEC中，CE=❑√AC2−AE2=❑√172−152=8(m)，
∴CD=CE+ED=8+1.5=9.5(m)；
（2）解：不能成功，理由如下：假设能上升12m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，则CF=12m，
∴EF=CE+CF=8+12=20(m)，
在Rt△AEF中，AF=❑√AE2+EF2=❑√152+202=25(m)，
∵AC=17m，余线仅剩7.5m，
∴17+7.5=24.5<25，
∴不能上升12m，即不能成功．
【题型四：求大树折断前的高度】
13．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵
地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹稍触地
面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度AB为x尺，则
AC=(10−x)尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，求解即可．
【解题过程】
解：设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC=(10−x)尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴x2+42=(10−x) 2，
解得：x=4.2，
即折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：C．
14．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，一棵高5米的树AB被强台风吹斜，与地面BC形成60°
夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A 恰好落在BC边上的点E，若BE=2米，则BD的长是
米．
【思路点拨】
过点D作DM⊥BC于点M，设BD=x米，然后根据题意和含30°的直角三角形性质分别表示出BM，
DM，EM，结合勾股定理列方程求解．
【解题过程】
解：过点D作DM⊥BC于点M，如下图所示，设BD=x米，则DE=(5−x)米，
在△BDM中，∠DBM=60°，
1 ❑√3
则BM= x米，DM= x米，
2 2
1
∴EM=(2− x)米，
2
❑√3 2 1 2
在△DME中，由勾股定理知：DE2=DM2+M F2，即(5−x) 2=( x) +(2− x) ，
2 2
21 21
解得x= ，即BD的长是 米；
8 8
21
故答案为： ．
8
15．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断(AB⊥CD)，树顶C
落在离树根B 15m处，工作人员要查看断痕A处的情况，在离树根B有6m的D处架起一个长10m的梯子
AD，点D，B，C在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出AB=8m，再由勾股定理求出AC=17m，最后由这棵树原
来的总高度为AB+AC，进行计算即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【解题过程】
解：∵AB⊥CD，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
∵AD=10m，BD=6m，
∴AB=❑√AD2−BD2=❑√102−62=8m，∵BC=15m，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√82+152=17m，
∴这棵树原来的总高度为：AB+AC=8+17=25m．
16．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹折，折断处
A与地面的距离AC=4.5m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，
CD=6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
【思路点拨】
本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，
利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为BC=6m，比较BC和CD的大小，可知大树砸不到小车．
【解题过程】
解：如下图所示，
∵∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，
在Rt△ABC中，AC=4.5m，AB=12−4.5=7.5m，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√7.52−4.52=6m，
∵CD=6.5m，CD>BC，
∴树枝砸不到小车．
17．（23-24八年级下·全国·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其
树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，利用勾股定理先
求出BD=❑√132−122=5m，即可得到AD=9m，再利用勾股定理即可求解．
【解题过程】
解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D，
由题意可得：BC=13m,DC=12m，
故BD=❑√132−122=5m，
∴AD=4+5=9m，
则AC=❑√AD2+CD2=❑√92+122=15m，
故AC+AB=15+4=19m，
答：树原来的高度19米．
18．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部
B着地且离旗杆底部A的距离为4m．（1）求旗杆在距地面多高处折断（即求AC的长度）．
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复
后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部5.5米处是否有被砸伤的风险？
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用，
（1）根据题意，AC+BC=8m，结合BC2=AC2+AB2，代入计算即可．
（2）根据AC=3m，CD=1m，得到AD=2m，求得BD=6m，根据勾股定理求出AB的长，比较后判断
即可．
【解题过程】
（1）根据题意，AC+BC=8m，AB=4m，
∵BC2=AC2+AB2，
∴(8−AC) 2=AC2+42，
解得AC=3(m)，
故AC的长度为3米．
（2）根据(1)得AC=3m，CD=1m，
∴AD=2m，
∴BD=8−2=6m，
∴AB=❑√BD2−AD2=4❑√2(m)，
11 √121 √128
∵5.5= =❑ ，4❑√2=❑√32=❑ ，
2 4 4
128 121
且 > ，
4 4
∴4❑√2>5.5，
故有危险．
【题型五：水杯中的筷子问题】
19．（24-25七年级上·山东东营·期中）一只17cm的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是5cm，
内壁高12cm，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（ ）A．2≤ℎ≤5cm B．4≤ℎ≤5cm C．2≤ℎ≤4cm D．4≤ℎ≤6cm
【思路点拨】
本题主要考查了勾股定理的应用，首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时x最大，此时x最大
值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时h最小，在Rt△ABC中，运用勾股定理即
可得到答案．
【解题过程】
解：当铅笔与笔筒底垂直时x最大，x =17−12=5(cm)．
最大
当铅笔如图放置时x最小．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=122+52=132，
∴AC=13，
∴x=17−13=4(cm)．
∴x的取值范围：4cm≤x≤5cm.
故选：B．
20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为
10cm，高度为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为acm，则a最小为
（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，用勾股定理解决问题．根据题意作出图
形，根据勾股定理求出AB的长即可推出结果．
【解题过程】
解：由题意可知，当吸管如图所示放置时，露在水杯外面的吸管长度最短，
∵水杯底面直径为10cm，高度为12cm，
∴AC=5cm，BC=12cm，
∴AB=❑√AC2+BC2=13cm，
∴露在水杯外面的吸管长度=25−13=12(cm)，
即a最小为12，
故选：B．
21．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3 cm，12
cm，现有一长为16cm的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h(cm)的取值范围（ ）
A．3< ℎ <4 B．3≤ℎ≤4 C．2≤ℎ≤4 D．5≤ℎ≤6
【思路点拨】
本题考查勾股定理的实际运用，解题的关键在于根据立体图形得到筷子露在盒外的部分h（cm）最短和最
长的情况．根据图形得到筷子露在盒外的部分h（cm）最长的取值，再结合勾股定理得到筷子露在盒外的
部分h（cm）最短的取值，即可解题．
【解题过程】
解：由图知，筷子露在盒外的部分h（cm）最长为：16−12=4（cm），
∵ ❑√32+42=5（cm），当筷子斜插于盒内时，即筷子露在盒外的部分h（cm）最短为：
16−❑√52+122=16−13=3（cm），
∴筷子露在盒外的部分h(cm)的取值范围为3≤ℎ≤4，
故选：B．
22．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中
央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦
苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面
平齐，即OC=OE， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法
用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a， 芦苇高出水面的部分CD=n(n12，
∴没有触礁危险．
（2）解：根据解析（1）可知，NQ=8海里，PQ=8❑√3海里，
∴MQ=MN+NQ=16+8=24（海里），
根据勾股定理得：MP=❑√MQ2+PQ2=❑√242+(8❑√3) 2=16❑√3（海里），
点M与小岛P的距离为16❑√3海里．
27．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西
52°方向上，与C的距漓是40海里，B在C的南偏西38°方向上，与C的距离是30海里．
（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向
点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用−航海问题，方向角的应用，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是
解答本题的关键．
（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；
（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=25海里，分别求得NH、
MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数．
【解题过程】
（1）解：由题意，得：∠NCA=52°，∠SCB=38°；
∴∠ACB=90°；
∵AC=40海里，BC=30海里；
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√402+302=50（海里），
即：点A与点B之间的距离为50海里；（2）解：过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=25海里．
∵CH⊥AB
；
∴∠CHB=90°；
1 1
∵ S = AC⋅BC= AB⋅CH；
△ABC 2 2
∴CH=24海里；
∵CN=CM=25海里；
∴ NH=MH=❑√CM2−CH2=7海里；
行驶时间为7×2÷20=0.7（小时）．
答：有0.7小时可以接收到信号．
【题型七：求河宽】
28．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影
响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2
米，则河的宽度AB是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边
AB的长度．
【解题过程】
解：根据题意可知BC=10米，
设AB=x，则AC=x+2，
Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2，即(x+2) 2=102+x2，
解得x=24．
∴该河的宽度AB为24米．
故选：D．
29．（2024·河南周口·模拟预测）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，
需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖
隧道的方式修建一条直通AB两地的公路．已知AC=60km，BC=90km，∠C=60°，求AB的长．（结
果保留根号）
【思路点拨】
本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作AD⊥BC于点D，根据直角三角形的性质
1
可得∠CAD=30°，CD= AC=30km，从而可得DB=60km，再利用勾股定理求解即可．
2
【解题过程】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
则∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠C=60°，
∴∠CAD=30°，
1
∴CD= AC=30km，
2
∴DB=BC−CD=90−30=60km，
在Rt△ADC中，AD=❑√602−302=30❑√3km，
在Rt△ADB中，AB=❑√(30❑√3) 2+602=30❑√7km．30．（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之
一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如
图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC
，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支
渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，BD=5km．
（1）求支渠AD的长度．（结果保留根号）
（2）若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出BC=8km，则CD=3km，再由勾股定理求出AD的长即可；
（2）由△ABD的面积求出DH的长，即可解决问题．
【解题过程】
（1）解：由题意可知：AC⊥CB，
∴∠C=90°，
∵AC=6km，AB=10km，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√102−62=8km，
∴CD=BC−BD=8−5=3km，
∴AD=❑√AC2+CD2=❑√62+32=3❑√5km，
答：公路AD的长度为3❑√5km；
（2）∵AC⊥BC，DH⊥AB，
1 1
∴S = BD⋅AC= AB⋅DH，
△ABD 2 2
∴BD⋅AC=AB⋅DH，
BD⋅AC 5×6
∴DH= = =3km，
AB 10
∴修建林荫小道DH需要的费用为3×0.7=2.1万元．31．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，
经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东60°方向和东南方向各修一步道，从
A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测
得CD=1000米．（参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73，❑√6≈2.45）
（1）求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
（2）小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择A→D→C路线，小明决
定选择A→B→C路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
【思路点拨】
本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造
直角三角形是解题的关键．
（1）连接AC，过D作DE⊥AC于E；分别在Rt△DEC，Rt△DEA中利用勾股定理求出CE，AE，即
可求得结果；
（2）设两人速度为1，由（1）的计算可得AD+CD的长；由题意得△ABC是等腰直角三角形，由（1）
的结论及勾股定理求得AB=BC，即可求得AB+BC；比较即可谁先到达C地．
【解题过程】
（1）解：如图，连接AC，过D作DE⊥AC于E；
由题意得：∠DCE=90°−45°=45°，∠DAE=90°−60°=30°；
在Rt△DEC中，则∠EDC=∠DCE=45°，
∴DE=CE，
由勾股定理得：CD2=CE2+DE2=2CE2，
❑√2
∴CE= CD=500❑√2米；
2则DE=500❑√2米；
在Rt△DEA中，∠DAE=30°，
则AD=2DE=1000❑√2米，由勾股定理得：AE=❑√AD2−DE2=500❑√6米，
∴AC=CE+AE=500❑√2+500❑√6≈1930(米)；
（2）解：由（1）的计算知，AD=1000❑√2米，
∴AD+CD=1000❑√2+1000=1000(❑√2+1)米；
由题意得CB、AB分别在东南方向、西南方向，则∠BAC=∠BCA=45°，
∴AB=BC，
即△ABC是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB2+BC2=2AB2=AC2，
❑√2 ❑√2
∴AB=BC= AC= ×(500❑√2+500❑√6)=500(1+❑√3)米，
2 2
∴AB+BC=2AB=1000(1+❑√3)米；
∵1+❑√3>❑√2+1，
∴AB+BC>AD+CD，即小华的路程更小，
又∵两人速度相同，
所以小华先到达C地．
【题型八：判断汽车是否超速】
32．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到
路对面车速检测仪A处的正前方120米的C处，过了8秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪
间的距离为200米．
（1）求BC的长；
（2）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这
辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：1m/s=3.6km/h）
【思路点拨】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．【解题过程】
（1）解：在Rt△ABC中，AC=120,AB=200，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√2002−1202=160，
答：BC的长为160米；
160
（2）解：小汽车的速度为：v= =20m/s=20×3.6km/h=72km/h，
8
∵72>70，
故小汽车超速了．
33．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形
式进行宣传．如图，笔直公路MN的一侧有一报亭A，报亭A到公路MN的距离AB为600米，且宣讲车P
周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．
（1）请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
（2）如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣
传？
【思路点拨】
本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短：
（1）根据垂线段最短，结合600米<1000米即可得到结论；
（2）如图，假设当宣讲车P行驶到P 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过P 点时，报
1 2
亭的人开始听不到广播宣传，连接AP ，AP ．利用勾股定理求出P B、P B的长，进而求出P P 的
1 2 1 2 1 2
长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下：
∵600米<1000米，
∴报亭的人能听到广播宣传．
（2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到P 点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过P 点时，
1 2
报亭的人开始听不到广播宣传，连接AP ，AP ．
1 2
由题意得，AP =AP =1000米，AB=600米，AB⊥MN，
1 2由勾股定理得P B=❑√P A2−AB2=800米，P B=❑√P A2−AB2=800米，
1 1 2 2
∴P P =1600米．
1 2
∵1600÷200=8 (分)，
∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传．
34．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是
超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段MN限速5m/s，为了检测车辆是否超速，在公路
MN旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了10s．若测得∠CAN=45°，
∠CBN=60°，BC=100m．此车超速了吗？请说明理由．
【思路点拨】
此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，
1
过点C作CH⊥MN于点H．求出∠BCH=30°，得到BH= BC=50m，勾股定理求出
2
CH=❑√BC2−BH2=50❑√3m，然后得到AH=CH=50❑√3m，AB=AH−BH=50(❑√3−1)m，然后求出
小车平均速度，然后比较求解即可．
【解题过程】
解：过点C作CH⊥MN于点H．
∵∠CBN=60°
∴∠BCH=30°
1
∴BH= BC=50m，
2
∴CH=❑√BC2−BH2=50❑√3m∵∠CAN=45°
∴∠ACH=45°
∴△ACH是等腰直角三角形
∴AH=CH=50❑√3m
∴AB=AH−BH=50(❑√3−1)m
AB 50(❑√3−1)
∴小车平均速度= = =5(❑√3−1)(m/s)
10 10
而5(❑√3−1)<5
∴此车没有超速．
35．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有
两条长度均为200米的通道MA、MB通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
（1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校
走到公路l的距离最短，求新路MD的距离；
（2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M
相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过BC区间用时16秒，试判断该车是
否超速，并说明理由．
【思路点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直
角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量
时，常使用勾股定理进行求解．
（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出AD=160m，然后利用勾股定理可求出新路MD长度；
（2）先根据勾股定理求出DC的长，再求出BC的长，然后计算出速度判断即可．
【解题过程】
（1）解：过点M作MD⊥l，交l于点D．MD即是新路．
∵MA=MB=200m,MD⊥l,AB=320m，
1 1
∴AD= AB= ×320=160m,∠ADM=90°，
2 2
在Rt△ADM中，∠ADM=90°，
由勾股定理得AD2+M D2=AM2，
∵AM=200m,AD=160m，
∴MD=120m，
∴新路MD长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在Rt△CMD中，∠CDM=90°，
由勾股定理得M D2+DC2=CM2，
∵CM=312m,MD=120m，
∴CD=❑√3122−1202=288m，
∴BC=DC−BC=288−160=128m，
∵该车经过BC区间用时16秒，
128
∴该车的速度为 =8m/s，
16
∵8m/s<8.33m/s，
∴该车没有超速．
【题型九：判断是否受台风影响】
36．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路
PQ上A处距O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿
ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
【思路点拨】
本题考查的是点勾股定理的应用，过点A作AC⊥ON，利用直角三角形的性质求出AC的长与200m相比
较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出受噪音影响的时间．
【解题过程】
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选：B．
37．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处
有一台风中心，沿BC方向以10km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心B的200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先利用勾股定理求出BD，即可求解；
（2）在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，利用勾股定理求出ED，进而求出EF的长，即可
求解．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160km，
在Rt△ABD中，BD=❑√AB2−AD2=❑√3402−1602=300km，
∴t=300÷10=30，
答：台风中心经过30h从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，
∵AD⊥BC，
∴DE=DF，
在Rt△AED中，ED=❑√AE2−AD2=❑√2002−1602=120km，
∴EF=2ED=240km，
∴t=240÷10=24，
答：A市受到台风影响的时间持续24h．
38．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，经过A村和B村（将A,B村看成直线l上的点）的笔直公路
l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为300米，C处与B村的距离为
400米，且AC⊥BC．（1）求A,B两村之间的距离；
（2）为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而
需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及利用三角形的面积公式求出CD的长．
（1）根据勾股定理可直接求出AB；
（2）利用三角形的面积公式求得CD=240米．再根据241米<250米可以判断有危险，根据勾股定理求出
DE，进而求出EF．
【解题过程】
（1）解：在Rt△ABC中，AC=300米，BC=400米，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√3002+4002=500（米）．
答：A，B两村之间的距离为500米；
（2）公路AB有危险而需要封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．以点C为圆心，250米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE
，CF，
1 1
∵S = AB•CD= BC•AC，
△ABC 2 2
AC·BC 300×400
∴CD= = =240（米）．
AB 500
由于240米<250米，故有危险，
因此AB段公路需要封锁．
∴EC=FC=250米，
∴ED=❑√2502−2402=70（米），故EF=2ED=140米，
则需要封锁的路段长度为140米．
39．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严
重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，
250km为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大
致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
（2）若台风影响该农场持续时间为5.6h，则台风中心的移动速度是多少？
【思路点拨】
此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间
的关系，是解题的关键．
（1）作AD⊥BC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，求出BC长，由面积关系求得AD的长，即可求解；
（2）以点A为圆心以250km为半径画弧交BC于点E，F，AE=AF=250，可知台风在EF段移动时A受
到影响，根据勾股定理求出EF的长，即可计算台风中心的移动速度．
【解题过程】
（1）解：作AD⊥BC于点D，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°；
∵AB=400，AC=300，∴BC=❑√AB2+AC2=500；
1 1
∵S = BC⋅AD= AB⋅AC，
△ABC 2 2
AB·AC
∴AD= =240<250，
BC
∴农场A会受到台风的影响；
（2）解：以点A为圆心以250km为半径画弧交BC于点E，F，
则AE=AF=250，
∴台风在EF段上移动时A受到影响，
∵AD⊥BC，
1
∴DE=DF= EF，
2
∵DE=❑√AE2−AD2=70，
∴EF=2DE=140，
140
∴台风中心的移动速度v= =25．
5.6
故台风中心的移动速度是25km/h．
【题型十：求最短路径】
40．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为
6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是
（ ）A．5❑√29 cm B．25cm C．2❑√194 cm D．4❑√41 cm
【思路点拨】
本题考查了平面展开−最短路径问题、两点之间，线段最短、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为
解题的关键．分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连接AB，如图1；把上面展开到正面上，连接
AB，如图2；把侧面展开到正面上，连接AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进
行大小比较即可．
【解题过程】
解：把上面展开到左侧面上，连接AB，如图1，
AB=❑√(10+20) 2+62=❑√936=6❑√26cm；
把上面展开到正面上，连接AB，如图2，
AB=❑√(10+6) 2+202=❑√656=4❑√41cm；
把侧面展开到正面上，连接AB，如图3，AB=❑√(20+6) 2+102=❑√776=2❑√194cm．
∵❑√936>❑√776>❑√656=4❑√41cm．
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为4❑√41cm．
故选：D．
41．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△MNG中，MN=4❑√2，∠M=75°，MG=3，点O是
△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
【思路点拨】
以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME，连接ND，可证△GMO≌DME，可得
GO=DE，则NO+GO+MO=NO+ED+OE，即当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最
小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求NO+GO+MO的
最小值．
【解题过程】
解：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME，连接ND，作DF⊥NM，交NM的延
长线于F，如图所示，
∵△MGD和△OME是等边三角形，
∴OE=OM=ME，MG=MD，∠DMG=∠OME=60°
∴∠GMO=∠DME．在△GMO和△DME中，
{
OM=ME
)
∠GMO=∠DME ，
MG=MD
∴△GMO≌DME(SAS)，
∴OG=DE，
∴NO+GO+MO=NO+ED+OE，
∴当D、E、O、M四点共线时，即NO+ED+OE=DN值最小，
∵∠NMG=75°，∠GMD=60°，
∴∠NMD=135°，
∴∠DMF=45°，
∵DF⊥NM，
∴∠MFD=90°，
∴∠MDF=45°，
∴MF=FD，
∵MG=3，
√MG2 √9 3❑√2
∴MF=DF=❑ =❑ = ．
2 2 2
∴DN=❑√N F2+FD2=❑ √ ( 4❑√2+ 3❑√2) 2 + (3❑√2) 2 =❑√65，
2 2
∴NO+GO+MO的最小值是❑√65．
42．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为28m，现
要为喷泉铺设供水管道AM和BM，供水点M在小路AC上，供水点 M 到AB的距离MN的长为24m，
AM的长为30m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
【思路点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．
（1）首先根据勾股定理求出AN=❑√AM2−M N2=18(m)，进而求解即可；
（2）过点B作BE⊥AM，利用等面积法求解即可．
【解题过程】
（1）∵在Rt△AMN中，MN=24m，AM=30m，
∴AN=❑√AM2−M N2=❑√302−242=18(m)
∵AB=28m
∴BN=AB−AN=10(m)
在Rt△BMN中，
∴AM+BM=30+26=56(m)，
答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为56m；
（2）如图所示，过点B作BE⊥AM，
1 1
×AB×MN= ×AM×BE
2 2
1 1
×28×24= ×30×BE
2 2
∴BE=22.4(m)．
答：喷泉B到小路AC的最短距离为22.4m．
43．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同
旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对
称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，
则PA+PE的最小值为 ；
（2）代数应用：求代数式❑√x2+1+❑√(3−x) 2+9(0≤x≤3)的最小值；
（3）几何拓展：如图3，△ABC，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的
值最小，最小值是 ．
【思路点拨】
（1）作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′ A，根据“将军饮马问题”得到PA+PE的最小值为E′ A，
根据勾股定理求出E′ A，得到答案；
（2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称——最短路线问题得到最小值就是求PC+PD的值，根据勾股
定理计算即可；
（3）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质
解答．
【解题过程】
（1）解：如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′ A，则E′ A与直线BC的交点即为P，且
PA+PE的最小值为E′ A，作E′F⊥AC交AC的延长线于F，
由题意得，E′F=1，AF=3，
∴PA+PE的最小值E′ A=❑√12+32=❑√10
故答案为：❑√10；（2）构造图形如图3所示，BD=3，AC=1，AP=x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AB=3，
则PC+PD=❑√x2+1+❑√(3−x) 2+9，
代数式❑√x2+1+❑√(3−x) 2+9(0≤x≤3)的最小值就是求PC+PD的值，
作点C关于AB的对称点C′，过C′作C′E⊥DB交DB的延长线于E．
则C′E=AB=3，DE=3+1=4，C′D=❑√C′E2+DE2=❑√32+42=5，
∴所求代数式的最小值是5；
（3）解：如图4，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，
则C′ A=CA=2，∠C′ AB=∠CAB=30°，
∴△C′ AC为等边三角形，
∴CM+MN的最小值为C′N=❑√3，
故答案为：❑√3．
44．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们
在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结
合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题
途径的目的．（1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n=2，求❑√m2+1+❑√n2+4的最小值．通过分析，小明
想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线
段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n．
①用含m的代数式表示CE= ，用含n的代数式表示DE= ；
②据此写出❑√m2+1+❑√n2+4的最小值 ．
（2）【类比应用】根据上述的方法，代数式❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49的最小值是 ．
（3）【拓展应用】已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，试运用构图法，写出
❑√a2+b2+❑√b2+c2+❑√c2+a2的最小值 ．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理得应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）①由勾股定理计算即可得解；②连接CD，由①得：❑√m2+1+❑√n2+4=CE+DE，而CE+DE≥CD
（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，则四边形ABDH为长方形，得
出AH=BD=2，DH=AB=2，再由勾股定理计算即可得解；
（2）设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16−x，由勾股定理可得
CE=❑√AC2+AE2=❑√x2+25，DE=❑√BE2+BD2=❑√(16−x) 2+49，从而得出
❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49=CE+DE，而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作
DH⊥CA交CA的延长线于H，则∠H=∠ABD=∠HAB=90°，则四边形ABDH为长方形，得出
AH=BD=7，DH=AB=16，再由勾股定理计算即可得解；
（3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为 ， ． 的线段，则 ， ，
a b c a+b+c=1 AB=❑√a2+b2， ，从而得出 ，利用两点之间线
BC=❑√b2+c2 CD=❑√a2+c2 AB+BC+CD=❑√a2+b2+❑√b2+c2+❑√c2+a2
段最短可知：AB+BC+CD≥AD（当且仅当A、B、C、D共线时取等号），再由勾股定理计算即可得
解．
【解题过程】
（1）解：①在Rt△ACE中，CE=❑√m2+1，
在Rt△BDE中，DE=❑√22+n2=❑√n2+4，
故答案为：❑√m2+1，❑√n2+4；
②连接CD，
由①得：❑√m2+1+❑√n2+4=CE+DE，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图1，
则∠H=∠ABD=∠HAB=90°，
∴四边形ABDH为长方形，
∴AH=BD=2，DH=AB=2，
在Rt△CHD中，CD=❑√AH2+DH2=❑√(1+2) 2+22=❑√13，
∴CE+DE的最小值为❑√13，即❑√m2+1+❑√n2+4的最小值为❑√13；
（2）解：如图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16−x，
在Rt△ACE中，CE=❑√AC2+AE2=❑√x2+25，
在Rt△BDE中，DE=❑√BE2+BD2=❑√(16−x) 2+49；
∴ ❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49=CE+DE，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，则∠H=∠ABD=∠HAB=90°，
∴四边形ABDH为长方形，
∴AH=BD=7，DH=AB=16，
在Rt△CHD中，CD=❑√CH2+DH2=❑√122+162=20，
∴CE+DE的最小值为20，即❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49的最小值为20．
（3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b．c的线段，作图如下：
则a+b+c=1，AB=❑√a2+b2，BC=❑√b2+c2，CD=❑√a2+c2，
∴AB+BC+CD=❑√a2+b2+❑√b2+c2+❑√c2+a2，
利用两点之间线段最短可知：AB+BC+CD≥AD（当且仅当A、B、C、D共线时取等号），
∵AD=❑√12+12=❑√2，
∴AB+BC+CD的最小值为❑√2，∴ ❑√a2+b2+❑√b2+c2+❑√c2+a2的最小值为❑√2．
45．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对
它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证
法．证法如下：
把两个全等的直角三角形Rt△ABC≌Rt△DAE（如图1放置，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE点E在边
AC上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB=b、AB=a，斜边长为AC=c，请用a、b、c分别表示出
梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，
（1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距16千米，CD为两个村庄（看作直线上的两
点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=12千米，BC=8千米，则两个村庄的距离为
______千米．
（3）在（2）的背景下，若AB=16千米，AD=12千米，BC=8千米，要在AB上建造一个供应站P，使
得PC=PD，请在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．
（4）借助上面的思考过程，当1
