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专题 17.3 勾股定理的逆定理之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 判断三边能否构成直角三角形】....................................................................................................1
【考点二 在网格中判断直角三角形】............................................................................................................3
【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】........................................................................................................6
【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】......................................................................................................10
【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】......................................................................................................13
【过关检测】............................................................................................................................................................17
【典型例题】
【考点一 判断三边能否构成直角三角形】
例题：（2023下·安徽合肥·八年级合肥38中校考期中）以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形
的是（ ）
A．1， ， B． ，3，5 C．1，2，3 D．2，3，4
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）由线段a，b，c组成的三角形不是
直角三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
2．（2023上·贵州贵阳·八年级校考期中）已知a，b，c满足 ．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角
形，请说明理由．【考点二 在网格中判断直角三角形】
例题：（2023上·山东淄博·七年级统考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格
的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的 ，请根据所学的知识回答下列问题：
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积．
【变式训练】
1．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)求 的周长；
(2)求证： ；
(3)求 的面积．
2．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均
为网格上的格点．(1) __________， __________， __________；
(2) 的形状为__________三角形；
(3)求 中 边上的高__________．
【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】
例题：（2023上·河南周口·八年级统考期中）如图，已知等腰 的腰 ，D是腰 上一点，
且 ， ．
(1)求证： 是直角三角形．
(2)求 的周长．
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考阶段练习）如图，在 中， 是边 的
垂直平分线，且 ，延长 ， 交于点F，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
2．（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图， 中， 为 边上的一点，连接 并延长，过点A
作 ，垂足为 ，若 ， ， ， ．
(1)试说明 为直角；
(2)记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的值为 ．
【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】
例题：（2023上·广东佛山·八年级阶段练习） 年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在
创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知 ， ，， ， ．
(1)求 的长度；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为 元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级校考开学考试）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点
A，B，其中 ，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D
（A、D、B在同一条直线上），测得 千米， 千米， 千米，
(1)问 是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线 的长．2．（2023下·河南周口·八年级校考期中）图1是某品牌婴儿推车，图2为其简化结构示意图．根据安全标
准需满足 ，现测得 ， ， ，其中 与 之间由一个固定
为 的零件连接（即 ）．
(1)该车是否符合安全标准；
(2)请说明你的理由．
【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】
例题：（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期中）定义：a，b，c为正整数，若 ，则称
c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如 ，则13是“完美勾股数”，5，12是
13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m， 且 ， ， ， ，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式 有一个因式 ，求该多项式的另一个因式．【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级专题练习）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，
MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
2．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
A．1，1，2 B．1， ， C．2，3，4 D．4，5，6
2．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．点
A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为5 D．点A到 的距离是1.5
3．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）如果一个三角形的三边 满足关系式
，那么这个三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
4．（2023上·四川达州·八年级校考期中） 的三边分别为a，b，c，则以下列长度为三边的三角形
是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
5．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）如图，在四边形 中，，且 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）三角形的三边长分别是 ，可以判断这是 三角形．
7．（2023下·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为 ，则
是 三角形．
8．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）如图， ， ， ， ，
，则 ．
9．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）已知 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c满足
，则 的面积为 ．
10．（2023上·河北保定·八年级校联考阶段练习）如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区
环境，现计划在空地上铺上草坪，其中 ， ， ， ， ．（1）连接AC，则 m．
（2）这块草坪的面积为 ．
三、解答题
11．（2023上·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图是一块地的平面图， ， ， ，
， ．
(1)求A、C两点间的距离；
(2)求这块地的面积．
12．（2023上·河南平顶山·八年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形 的面积；
(2)求 的度数．
13．（2023上·陕西渭南·八年级统考期末）如图， 中，D是 边上的一点，若A．
(1)求证： ；
(2)求 的面积．
14．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在 中， ， ，
，点D、E分别在AB、AC上，连接DE．
(1)求证： ；
(2)若 为线段 的垂直平分线，求四边形 的面积．
15．（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）已知：在四边形 中， ，
．(1)求 的长．
(2) 是直角三角形吗？如果是，请说明理由．
(3)求这块空地的面积．
16．（2023上·辽宁丹东·八年级校考期中）在 中， ，D为 内一点．连接 ， ，
延长 到点E，使得 ．
(1)如图1，延长 到点F．使得 ．连接 ， ．求证： ；
(2)连接 ，交 的延长线于点H．依题意补全图2．若 ．判断 与 位置关系．并
证明．
17．（2023上·江苏南京·八年级校考期中）数学老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
2
a 3 8 15 …
4
1
b 4 6 8 …
0
2
c 5 10 17 …
6
由表可知，当 时， ；当 时， ；
(1)当 时，b＝ ，c＝ ．
(2)请你分别观察a，b，c与n（ ）之间的关系．
a＝ ，b＝ ，c＝ ．(3)猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
18．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
，
(1)求证： ；
(2)求证： ， ；
(3)求证： （提示：尝试用两种不同的方法表示梯形 的面积）；
