文档内容
专题 17.3 最短路径问题专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有
类型！
一．选择题（共12小题）
1．（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，
从点A爬到点B的最短路程是（ ）
A．√10cm B．4cm C．√17cm D．5cm
2．（2022春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面周长为 12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高
BC上有一点D，且BC＝10cm，DC＝2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点 D的最
短路程是（ ）cm．
A．14 B．12 C．10 D．8
3．（2022春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C
处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为（ ）cm．A．15 B．√97 C．12 D．18
4．（2022秋•高州市期末）国庆节期间，茂名市一广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根
柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均
为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（ ）
A．√7米 B．√11米 C．√13米 D．5米
5．（2022秋•沈阳期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果
要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ）
A．√21 B．5 C．√29 D．√37
6．（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，
最短路程是（ ）cm．
A．10√89 B．50√5 C．120 D．130
7．（2022秋•揭阳校级月考）如图，一个棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的棱
长都是1．如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A，B间的最短路程d的值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉
一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明
要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约
为（ ）（π取3）m．
A．30 B．28 C．25 D．22
9．（2022春•靖西市期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB＝7cm，BC＝4cm，BF＝6cm，
点M在棱AB上，且AM＝1cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行
到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10cm B．4√5cm C．6√2cm D．2√13cm
10．（2022秋•芝罘区期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三
棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则
这圈金属丝的长度至少为（ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
11．（2022秋•青岛期末）棱长分别为8cm，6cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶
点G在棱BC上，点P是棱EF 的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短
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距离是（ ）
A．(3√5+10)cm B．5√13cm C．√277cm D．(2√58+3)cm
12．（2022•广饶县一模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P
点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．
A．8 B．10 C．12 D．13
二．填空题（共8小题）
13．（2022春•德城区期末）如图，长方体的长为 15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是
5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 cm．14．（2022•潍城区一模）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造
而成的，如图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个
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长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为 m，其边缘AB＝CD＝24m，点E在
π
CD上，CE＝4m，一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m．
15．（2022春•仁怀市月考）如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B
村到河边的距离分别为2km和7km，且AB两村庄相距13km，则铺设水管的最短长度是 km．
16．（2022秋•锦江区校级期末）在一个长6+2√2米，宽为4米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱
的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是√2米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从
点 A 处 到 C 处 需 要 走 的 最 短 路 程 是 米 ．
17．（2022秋•高新区校级期末）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB
＝5米，点P到AD的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 米．
18．（2022春•德州期中）如图，点A是正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 ．
19．（2022秋•中原区校级期末）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为 3cm，4cm，5cm，盒子高为
9cm，一只蚂蚁想从盒底的点 A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点 B，蚂蚁要爬行的最短路程是
cm．
20．（2022秋•凤城市期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深
AE＝40cm．在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼
缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为 cm．
三．解答题（共10小题）
21．（2022春•宜城市期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为125m．现要为喷泉铺
设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为60m，BM的长为
75m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．22．（2022秋•原阳县期末）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点 A出发，沿
a，b，d三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点B出发，沿d，c两个面走最短路径
到点A．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？
23．（2022秋•江北区期末）在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个
方案：
①A→B→C→E；②A→C→E；③A→D→E．
（1）三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ．
（2）请根据数学知识说明理由．
24．（2022秋•二道区期末）如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高AB
＝12，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ；
（2）求该金属丝的长．
25．（2022秋•随县期末）如图1所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为a，对角线为b，
长方形对角线为c．一只蚂蚁从A点爬行到C点．
（1）求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由；
（2）如果把右边的正方形EFBC沿EF翻转90°得到如图2所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从A点到C点的最短路线长是多少？请在图2中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明
并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断）
26．（2022秋•罗湖区期中）（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放
入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到
点G处，求它爬行的最短路程．
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为10cm，
在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
27．（2022秋•元宝区校级期中）一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作
圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，问：丝带共有多长？
28．（2022秋•东明县期中）东明县是鲁西南的化工基地，有东明石化集团，洪业化工集团，玉皇化工集
团等企业，化学工业越来越成为东明县经济的命脉，化工厂里我们会经常看到如图储存罐，根据需要，
在圆柱形罐的外围要安装小梯子，如果油罐的底面半径为6米，高24米，梯子绕罐体半圆到达罐顶，
则梯子至少要多长？29．（2022秋•福田区期末）如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点 A处有甲、乙两只蚂
蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧
面爬行：若∠AOB＝∠A′O′B′＝90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行），圆柱的底面半
径是12cm，高为1cm，则：
（1）A′B′＝ cm，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l＝ cm；
1
（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l＝ cm（π取3）；
2
（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到达食物
处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π取3，√2≈1.4）
30．（2022秋•安岳县期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，
也能解决许多数学问题．请按要求作答：
（1）选择图1或图2中任一个图形来验证勾股定理；
（2）利用勾股定理来解决下列问题：如图3，圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为16cm，在杯外离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口3cm．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？
