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专题 17.4 易错易混集训：利用勾股定理求解之四大易错考点
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【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】............................................................................1
【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】....................................................................................4
【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】....................................................................8
【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】.......................................................19
【典型例题】
【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三
边的长为 ．
【变式训练】
1．（2023下·新疆阿克苏·八年级期末）若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）
A．5 B．5或 C． D．5或7
2．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知 是某直角三角形的三边长，若
， ，则下列关于c的说法中，正确的是（）
A．c的值只能为 B．c的值只能为
C．c的值为 或 D．c的值有无限多个
3．（2023上·河南郑州·八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）若 的两边a，b满足
，则第三条边c的值是（ ）
A．5 B． 或 C．5或 D．5或4．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考期中）已知直角三角形两边 的长满足
，则第三边长为 ．
5．（2023上·江苏南京·八年级期末）定义：如图，点C、点D把线段 分割成 、 和 ，若以
、 、 为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、点D是线段 的勾股分割点．已知点M、
点N是线段 的勾股分割点， ， ，则
【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）已知 是 的边 上的高，若 ， ，
，则 的长为 ．
【变式训练】
1．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）在 中， ， ，高 ，则 等于（ ）
A．14 B．4或14 C．4 D．9或5
2．（2023上·浙江杭州·八年级校考阶段练习）在 中， ， ， 边上的高为 ，则
的面积是 ．
3．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，
且BP＝6，则线段AP的长为__________．
4．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知等边 的边长为6， 为 的中点，如果
点 是射线 上的一点，且 ，那么 的长为 ．
【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ， ，
，动点 从点 出发，沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为 ，当 为等腰三角
形时， 等于 ．【变式训练】
1．（2023上·江苏南京·八年级校考期中）如图，已知在 中， 于点D， ， ，
，动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．当t的值是 秒，
是等腰三角形．
2．（2023上·江西抚州·八年级校考期中）在 中， ， ，以 为一边，
在 外部作等腰直角 ，则线段 的长为 ．
3．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 是矩
形，顶点A，B，C，D的坐标分别为 ，点E 在x轴上，点P在 边上运动，
使 为等腰三角形，则满足条件的P点坐标为 ．
4．（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中） 中，
，过点 的直线把 分割成两个三角形，使其中只有一个是筹腰三角形，
则这个等腰三角形的面积是 ．
5．（2023上·江苏南通·九年级校考期末）如图，在等腰梯形 中， ， ， ，
，直角三角板含 角的顶点 放在 边上移动，直角边 始终经过点 ，斜边 与 交
于点 ，若 为等腰三角形，则 的长为 ．6．（2023上·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，E为
的中点．点P从点D出发，以2cm/s的速度沿 路线运动，运动至点A停止，运动时间
为t（s），若 为等腰三角形，则t的值为 ．
【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】
例题：（2023秋·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为 ，
， ，在 中点 处有一滴蜜糖，有一只小虫从 点爬到 处去吃，有很多种走法，求出最短
路线长为 ．
【变式训练】
1．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓
常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是 ，当一段葛
藤绕树干盘旋1圈升高为 时，这段葛藤的长为 ．
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ．如果用一根细线从点 开始经过4个侧面缠绕1圈到达点 ，那么所用细线最短需要 ；如果从点 开
始经过4个侧面缠绕2圈到达点 ，那么所用细线最短需要 ．
3．（2023上·山东济南·七年级统考期中）如图，圆柱形玻璃杯，底面周长为16 ， 是底面圆的直径，
点P是 上的一点，且 ， ，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P
的最短距离为 ．
4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）（1）如图 ，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是 ；
（2）如图 ，小明家住 楼，一天他与爸爸去买了一根长 的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是 ，
， ，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？
5．（2022春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）
(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，如果用一根细线从点 开始经过4个侧面缠绕一圈
到达点 ，那么所用细线最短需要______ ；(2)如图2，长方体的棱长分别为 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速
度在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点 以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么
昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
