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专题 18.2 利用平行四边形的性质与判定求解
◆ 典例分析
【典例1】【模型建构】
如图1，已知线段AB，CD所在直线交于点O，其所夹锐角为α．小明在学习了平移之后，将图1中的线段
AB，CD其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四
边形．例如：图2是将线段AB沿A→D方向平移线段AD的长度得到 ▱ADEB，图3是将线段CD沿
C→A方向平移线段CA的长度得到 ▱ACDE．
【模型应用】
（1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题：
如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在CA，AB延长线上，且AD=BE，
∠DEA=15°，求证：DE=BC．
方法一：过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF，DF，将证明DE=BC，转化为证明DE=EF；
方法二：过点C作CF∥DE，且CF=DE，连接BF，EF，将证明DE=BC，转化为证明BC=CF．
请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程．
（2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者
按照自己的思路解答下面问题：
如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AC上一点，D为CB延长线上一点，且AE=BC，AC=BD，
连接DE交AB于点G，求∠AGE的度数．（3）如图6，在△ABC中，∠C=45°，D，E分别是边BC，AC上的点，且AD⊥BE于点H，若
AE=3❑√2，BD=5， AD=3❑√5，请直接写出BE的长．
【思路点拨】
（1）先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°；
方法一：如图1，过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF，DF，证明四边形BCFE是平行四边形．得
到CF=BE=AD，BE∥CF，再证明△DAE≌△FCD(SAS)，DE=DF，进而证明△≝¿是等边三角形，
利用等边三角形的性质得到DE=EF即可．
方法二：如图2，过点C作CF∥DE，且CF=DE，四边形CDEF是平行四边形．由CD=EF，CD∥EF
证明△DAE≌△BEF(SAS)，得到DE=BF，∠BFE=∠DEA=15°，再证明△BCF是等边三角形得到
BC=CF即可．
（2）方法一：如答图3，过点D作DH∥AB，且DH=AB，连接AH、EH，证明四边形ABDH是平行
四边形，得到AH=BD，AH∥BD，再证明∠HDE=45°得到即可得结论；
方法二：如答图4，过点A作AH∥ED，且AH=ED，连接BH、DH，证明四边形AEDH是平行四边
形得到AE=DH，AE∥DH，再证明△ABC≌△BHD(SAS)，得到AB=BH，∠ABC=∠BHD，进而
求得∠BAH=45°即可；
（3）如答图5，过点B作BF∥AD，且BF=AD=3❑√5，连接AF、EF，作EM⊥AF于点M，证明四
边形ADBF是平行四边，得到AF=BD=5，AF∥BD，进而∠MAE=∠C=45°，则
❑√2
ME=AM= AE=3，在Rt△EFM中，利用勾股定理分别求解即可．
2
【解题过程】
解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
方法一：如图1，过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF,DF，
四边形BCFE是平行四边形．
∴CF=BE=AD，BE∥CF，∴∠DCF=180°−∠BAC=90°，
∵AB=AC，AD=BE，
∴AB+BE=AC+AD，
即AE=CD，
∵∠DAE=∠FCD=90°，
∴△DAE≌△FCD(SAS)，
∴DE=DF，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠ABC=45°，
∴∠≝=∠AED+∠BEF=60°，
∴△≝¿是等边三角形．
∴DE=EF=BC．
方法二：如图2，过点C作CF∥DE，且CF=DE，连接BF,EF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD=EF，CD∥EF，
∴∠BEF=180°−∠BAC=90°，
∵AB=AC，AD=BE，
∴AB+BE=AC+AD，
即AE=CD，
∴AE=EF，
∵∠BEF=∠DAE=90°，
∴△DAE≌△BEF(SAS)，
∴DE=BF，∠BFE=∠DEA=15°，∴BF=CF，∠ABF=∠BEF+∠BFE=105°，
∴∠CBF=∠ABF−∠ABC=60°，
∴△BCF是等边三角形，
∴BC=CF=DE．
（2）方法一：如图3，过点D作DH∥AB，且DH=AB，连接AH,EH，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴AH=BD，AH∥BD，
∴∠EAH=180°−∠C=90°，
∴∠CAB+∠FAH=90°，
∵AC=BD，
∴AC=AH，
∵AE=BC，∠EAH=∠C=90°，
∴△AEH≌△CBA(SAS)，
∴AB=EH，∠AHE=∠CAB，
∴EH=DH，∠AHE+∠FAH=90°，
∴∠AFH=90°，
∴∠HDE=45°，
∴∠AGE=∠HDE=45°；
方法二：如图4，过点A作AH∥ED，且AH=ED，连接BH,DH，
∴四边形AEDH是平行四边形，
∴AE=DH，AE∥DH，
∴∠BDH=180°−∠C=90°，∴∠HBD+∠BHD=90°，
∵AE=BC，
∴BC=DH，
∵AC=BD，∠BDH=∠C=90°，
∴△ABC≌△BHD(SAS)，
∴AB=BH，∠ABC=∠BHD，
∴∠ABC+∠HBD=90°，
∴∠ABH=90°，
∴∠BAH=45° ，
∴∠AGE=∠BAH=45°；
（3）如图5，过点B作BF∥AD，且BF=AD=3❑√5．连接AF,EF，作EM⊥AF于点M，
∴四边形ADBF是平行四边形．
∴AF=BD=5，AF∥BD，
∴∠MAE=∠C=45°，
❑√2
∴ME=AM= AE=3，
2
∴在Rt△EFM中，
由勾股定理，得 ．
EF=❑√FM2+EM2=❑√(5+3) 2+32=❑√73
∵AD⊥BE于点H，
∴∠AHE=∠FBE=90°，
中，有 ．
∴Rt△EBF BE=❑√EF2−BF2=❑√73−(3❑√5) 2=2❑√7
◆ 学霸必刷1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的格点处，AD与BC相交于点
O，若小正方形的边长为1，则AO的长为（ ）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC,E是AB的中点，EF⊥CD于
点F，若EF=6，四边形ABCD的面积为24，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，AB=AC=CD=DE，且BE=BD，则∠EBD=
（ ）
A．80° B．100° C．105° D．120°
4．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在周长为9的等边三角形ABC的内部有一点P，过点P作
PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC分别交三边于点D，E，F，则PD+PE+PF等于（ ）
A．9 B．8 C．4 D．35．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一
个动点（不与点B重合），以BD,BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP∥BE,AP=BE（点P、E在直
1
线AB的同侧），如果BD= AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（ ）
4
1 3 1 3
A． B． C． D．
4 5 5 4
6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，N为BC中点，
AH⊥CD于点H，连接NH，若∠D=α，则∠CHN=（ ）
1 1
A．30∘+ α B．α−22.5∘ C．45∘+α D．90∘− α
2 2
7．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=CD=10，
BC=AD=8，过O作直线EF分别交AB，CD于E，F两点，若∠ACB=90°，则四边形AEFD周长的最
小值为（ ）
A．24 B．16 C．22.8 D．18.2
8．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，F是 ▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延
长交 点 ，连接 与 相交于点 ，若 ， ，则阴影部分的面积为
AB E AF DE P S =4cm2 S =64cm2
△APD ▱ABCD
（ ）cm2．A．28 B．26 C．24 D．20
9．（23-24八年级下·海南儋州·期中）如图，四边形ABCD中，AG⊥BC交BC于点G，AB=CD=5，
AG=4，CG=2BG，点P在AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，AB∥CD，
连接EF，图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在△ABD中，∠A=90°，AD=AB=3，将△ABD沿射线
平移，得到 ，再将 沿射线 翻折，得到 ，连接 、 ，则 的最小
BD △EGF △ABD BD △CBD EC GC (GC+EC) 2
值为（ ）
A．27 B．45 C．18 D．36
11．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，点E为BC上一动点，
DC⊥BC，连接AE，DE．DE与AC交于点F，∠DFC=45°，AC=2❑√15，CE=3❑√3，若
BE=DC，则AE=（ ）
A．❑√13 B．❑√15 C．6 D．5❑√13
12．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AM平分∠BAD交BC于中点M，点N在边AB上，且CN∥AD，若BN=2AN，AB=6，则AD=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
13．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC和
∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，则EF=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（2024·安徽阜阳·二模）如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是边BC，AC上的点，且满足
1
BD=CE= BC，M是边AB上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造 ▱MDNE．若AB=12，
4
则MN的最小值为（ ）
A．6❑√3 B．4❑√3 C．6 D．4
15．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边
△ABD和△ACE,F为AB中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，
若∠BAC=30°，下列结论：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG
与△EOG的面积比为1∶4，其中正确的结论的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD,M是AB的中点，连
接DM,MC．下列结论：①DM⊥CM；②AD+BC=CD；③MC平分∠DCB；④若DM=3,CM=4，
则平行四边形ABCD的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边△ABC中，AB=3，点M，N分别在边AC,BC上，
且AM=CN，则线段MN的最小值为 ．
18．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，
∠BAC=2∠ACD，E是BC边上一点，连接AE，过点E作EF⊥AB于点F，且CE=EF．若AC=6，
AB=10，则CD的长为 ．
19．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，点E、G分别是 ▱ABCD边AD、AB上的点，
AE:ED=3:2，BG:GA=1:3，作EF∥AB交BC于点F，GH∥AD交CD于点H，连接FH，若
S =50，则图中阴影面积为 ．
▱ABCD20．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线
上，∠ECF=60°，AE∥BD，EF⊥BC，EF=2❑√3，则AB的长是 ．
21．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在四边形ABCD中，
AC=BD,AC⊥BD,∠BAD=105°,AD=4❑√2，CD=13，则AB= ．
22．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，∠BAD的平分线与DC的延
长线交于点E，与BC交于点F，且点F为边BC的中点，过点C作CG⊥AE，垂足为G，若CG=2，则
AE的长为 ．
23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，CD边的垂直平分
线分别交边CD，AD于G，E，连接CE，若CE∥AB，AB=4❑√3，CE=10，则AE的长为 ．24．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，AC平分
∠DAB，∠DCA=30°，DC=3cm，则∠BCA= °，梯形ABCD的周长为 cm．
25．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，点D,点E分别为△ABC的边BC,AC上的点，连接DE，
将△CDE沿DE翻折，点C落在点F处，连接BF,CF．若EF∥AB，BF⊥CF，AB=DF=3❑√5，
FC=12，DE=5，则AE的长为 ．
26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D,E
是边AB上两动点，连接CD，CE．若DE=2，则△CDE周长的最小值为 ．
27．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4❑√3，BC=3❑√7，∠ABC=60°，
E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=CF，连接BE，AF，则AF+BE的最小值为 ．
28．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为 ．
29．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BD⊥CD于点
D，BD=24，CD=7，在BD右侧的平面内有一点F，△BDF的面积是96，当FA+FC的最小值是30
时，那么AB= ．
30．（23-24八年级下·浙江·期中）如图， ▱ABCD中，∠B=45°，AB=2❑√2，BC=6，点E为AB边上
的中点，F，G为边AD上的两个动点，且FG=1，则五边形BCGFE的周长最小值为 ．
31．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处，当A′P与Rt△ABC的边
平行时，线段AP的长为 ．
32．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如题图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC边上的点，
且AB=16，BD=CE=3，M是AB边上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造平行四边形
MDNE，则MN的最小值为 ．33．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在 ▱ABCD中，G，H分别是AC的三等分点，GE∥BC交
AB于点E，HF∥AD交CD于点F．
（1）求证：△AEG≌△CFH；
（2）若EG=2，∠ACB=60°，∠BAC=45°，求AC的长．
34．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BF交AD于点F，
∠BCD的角平分线CG交AD于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接PE，PE=BE．
（1）求证：点E是BC中点；
（2）若AB=4，PE=6，则GF的长为 ______．
35．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角均为120°，分别延
长CB、FA交于点G，得到△ABG．（1）请判断△ABG的形状，并证明你的结论．
（2）若AB=4，BC=6，CD=5，DE=2，直接写出六边形ABCDEF的周长为________．
36．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，
满足DE=EF，且∠≝=60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．
（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；
（2）如图2，当AD90°，点C在线段BD的延长线上，且BD=DC．在射线DA上取点
E，若AB=CE，请写出∠BAD与∠CED的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在 ▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AC=4，BC=5，∠ACB=30°，点E在
边BC上，连接EO,EO的延长线交AD于点F，点G在对角线AC上，若FG=AE，且△AEO的面积是
△GOF面积的2倍，求线段BE的长．
43．（23-24九年级上·山东青岛·期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角
形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且
S =S ．
△ACD △BCD
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE
交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角
形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面
1
积的 ，请直接写出△ABC的面积．
4
44．（23-24八年级下·广东深圳·期末）问题背景：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE．
（1）问题探究：连接BD与CE，BD与CE交点为F．
①如图1，BD与CE的数量关系是 （填“相等”或“不相等”），BD与CE的位置关系是
（填“平行”或“垂直”）；
②如图2，M、N分别是BD与CE的中点，∠ANM= °；
（2）问题拓展：当等腰直角△ABC旋转到如图3位置，连接BE,CD，点H为BE中点，当B、C、D三点
共线时，若AB=4，AD=4❑√5，请求出线段AH的长．
