文档内容
专题 18.2 利用平行四边形的性质与判定求解
◆ 典例分析
【典例1】【模型建构】
如图1，已知线段AB，CD所在直线交于点O，其所夹锐角为α．小明在学习了平移之后，将图1中的线段
AB，CD其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四
边形．例如：图2是将线段AB沿A→D方向平移线段AD的长度得到▱ADEB，图3是将线段CD沿
C→A方向平移线段CA的长度得到▱ACDE．
【模型应用】
（1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题：
如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在CA，AB延长线上，且AD=BE，
∠DEA=15°，求证：DE=BC．
方法一：过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF，DF，将证明DE=BC，转化为证明DE=EF；
方法二：过点C作CF∥DE，且CF=DE，连接BF，EF，将证明DE=BC，转化为证明BC=CF．
请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程．
（2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者
按照自己的思路解答下面问题：
如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AC上一点，D为CB延长线上一点，且AE=BC，AC=BD，
连接DE交AB于点G，求∠AGE的度数．（3）如图6，在△ABC中，∠C=45°，D，E分别是边BC，AC上的点，且AD⊥BE于点H，若
AE=3❑√2，BD=5， AD=3❑√5，请直接写出BE的长．
【思路点拨】
（1）先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°；
方法一：如图1，过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF，DF，证明四边形BCFE是平行四边形．得
到CF=BE=AD，BE∥CF，再证明△DAE≌△FCD(SAS)，DE=DF，进而证明△≝¿是等边三角形，
利用等边三角形的性质得到DE=EF即可．
方法二：如图2，过点C作CF∥DE，且CF=DE，四边形CDEF是平行四边形．由CD=EF，CD∥EF
证明△DAE≌△BEF(SAS)，得到DE=BF，∠BFE=∠DEA=15°，再证明△BCF是等边三角形得到
BC=CF即可．
（2）方法一：如答图3，过点D作DH∥AB，且DH=AB，连接AH、EH，证明四边形ABDH是平行
四边形，得到AH=BD，AH∥BD，再证明∠HDE=45°得到即可得结论；
方法二：如答图4，过点A作AH∥ED，且AH=ED，连接BH、DH，证明四边形AEDH是平行四边
形得到AE=DH，AE∥DH，再证明△ABC≌△BHD(SAS)，得到AB=BH，∠ABC=∠BHD，进而
求得∠BAH=45°即可；
（3）如答图5，过点B作BF∥AD，且BF=AD=3❑√5，连接AF、EF，作EM⊥AF于点M，证明四
边形ADBF是平行四边，得到AF=BD=5，AF∥BD，进而∠MAE=∠C=45°，则
❑√2
ME=AM= AE=3，在Rt△EFM中，利用勾股定理分别求解即可．
2
【解题过程】
解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
方法一：如图1，过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF,DF，
四边形BCFE是平行四边形．
∴CF=BE=AD，BE∥CF，∴∠DCF=180°−∠BAC=90°，
∵AB=AC，AD=BE，
∴AB+BE=AC+AD，
即AE=CD，
∵∠DAE=∠FCD=90°，
∴△DAE≌△FCD(SAS)，
∴DE=DF，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠ABC=45°，
∴∠≝=∠AED+∠BEF=60°，
∴△≝¿是等边三角形．
∴DE=EF=BC．
方法二：如图2，过点C作CF∥DE，且CF=DE，连接BF,EF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD=EF，CD∥EF，
∴∠BEF=180°−∠BAC=90°，
∵AB=AC，AD=BE，
∴AB+BE=AC+AD，
即AE=CD，
∴AE=EF，
∵∠BEF=∠DAE=90°，
∴△DAE≌△BEF(SAS)，
∴DE=BF，∠BFE=∠DEA=15°，∴BF=CF，∠ABF=∠BEF+∠BFE=105°，
∴∠CBF=∠ABF−∠ABC=60°，
∴△BCF是等边三角形，
∴BC=CF=DE．
（2）方法一：如图3，过点D作DH∥AB，且DH=AB，连接AH,EH，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴AH=BD，AH∥BD，
∴∠EAH=180°−∠C=90°，
∴∠CAB+∠FAH=90°，
∵AC=BD，
∴AC=AH，
∵AE=BC，∠EAH=∠C=90°，
∴△AEH≌△CBA(SAS)，
∴AB=EH，∠AHE=∠CAB，
∴EH=DH，∠AHE+∠FAH=90°，
∴∠AFH=90°，
∴∠HDE=45°，
∴∠AGE=∠HDE=45°；
方法二：如图4，过点A作AH∥ED，且AH=ED，连接BH,DH，
∴四边形AEDH是平行四边形，
∴AE=DH，AE∥DH，
∴∠BDH=180°−∠C=90°，∴∠HBD+∠BHD=90°，
∵AE=BC，
∴BC=DH，
∵AC=BD，∠BDH=∠C=90°，
∴△ABC≌△BHD(SAS)，
∴AB=BH，∠ABC=∠BHD，
∴∠ABC+∠HBD=90°，
∴∠ABH=90°，
∴∠BAH=45° ，
∴∠AGE=∠BAH=45°；
（3）如图5，过点B作BF∥AD，且BF=AD=3❑√5．连接AF,EF，作EM⊥AF于点M，
∴四边形ADBF是平行四边形．
∴AF=BD=5，AF∥BD，
∴∠MAE=∠C=45°，
❑√2
∴ME=AM= AE=3，
2
∴在Rt△EFM中，
由勾股定理，得EF=❑√FM2+EM2=❑√(5+3) 2+32=❑√73．
∵AD⊥BE于点H，
∴∠AHE=∠FBE=90°，
∴Rt△EBF中，有BE=❑√EF2−BF2=❑√73−(3❑√5) 2=2❑√7．
◆ 学霸必刷1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的格点处，AD与BC相交于点
O，若小正方形的边长为1，则AO的长为（ ）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的
关键．连接AE，证明四边形AECB是平行四边形得AE∥BC，由勾股定理得AD=5，从而有
AD=DE=5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE=∠DEA，再利用平行线的性质可得
∠DOC=∠DCO，进而可得DO=DC=3，从而可得答案．
【解题过程】
解：如图，延长DC至点E，使AB=EC，连接AE，
∵AB∥EC，AB=EC=2，
∴四边形AECB是平行四边形，
∴AE∥BC，
∵AD=❑√32+42=5，DE=5，
∴AD=DE=5，
∴∠DAE=∠DEA，
∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠DOC，∠DEA=∠DCO，
∴∠DOC=∠DCO，
∴DO=DC=3，
∴AO=AD−DO=5−3=2．
故选D
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC,E是AB的中点，EF⊥CD于点F，若EF=6，四边形ABCD的面积为24，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【思路点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
过点E作CD的平行线交BC于点G，交DA延长线于点F，则可证明△AEF≌△BEG(AAS)，继而
S =S ，可证明四边形FDCG是平行四边形，故四边形ABCD的面积与平行四边形FDCG的面积
△AEF △BEG
相等，即可求解．
【解题过程】
解：过点E作CD的平行线交BC于点G，交DA延长线于点F，
∴∠F=∠GEB
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
又∵∠AEF=∠BEG，
∴△AEF≌△BEG(AAS)，
∴S =S ，
△AEF △BEG
∵AD∥BC，FG∥CD，
∴四边形FDCG是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积与平行四边形FDCG的面积相等，
∴S =CD×EF=24，
▱FDCG
∵EF=6，
∴CD=4，故选：B．
3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，AB=AC=CD=DE，且BE=BD，则∠EBD=
（ ）
A．80° B．100° C．105° D．120°
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．设∠D=x，作出如图的
辅助线，证明△ACF是等边三角形，由CF∥DE，得到x+2x+60°=180°，据此求解即可．
【解题过程】
解：作CF∥DE，EF∥CD，CF与EF交于点F，连接AF，
则四边形CDEF是平行四边形，
∴DE=CF，EF=CD，
∵AB=AC=CD=DE，BE=BD，
∴AB−BE=CD−BD，
∴AE=BC，
设∠D=x，则∠BED=x，∠ABC=2x，∠ACB=∠ABC=2x，∠AEF=∠ABC=2x，
∵AE=BC，EF=AB，
∴△EFA=△BAC(SAS)，
∴AF=AC=AB，
∵AB=DE=CF，
∴AF=AC=CF，
∴△ACF是等边三角形，∴∠ACF=60°，
∵CF∥DE，∠D=x，∠ACB=2x，
∴x+2x+60°=180°，
解得x=40°，
∴∠EBD=180°−2x=100°，
故选：B．
4．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在周长为9的等边三角形ABC的内部有一点P，过点P作
PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC分别交三边于点D，E，F，则PD+PE+PF等于（ ）
A．9 B．8 C．4 D．3
【思路点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，延长EP交AC于点H，延长FP交
AB于点G，证明四边形AHPD、四边形BEPG均为平行四边形，得到BG=PE，AD=PH，再证明
△PDG和△PHF是等边三角形，得到PD=DG，PF=PH，进而推出AD=PF=PH，则
PE+PD+PF=BG+DG+AD=AB=3．
【解题过程】
解：延长EP交AC于点H，延长FP交AB于点G，
∵PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，
∴四边形AHPD、四边形BEPG均为平行四边形，
∴BG=PE，AD=PH．
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠A=60°，
∴∠DGP=∠B=60°，∠PDG=∠A=60°，
∴△PDG是等边三角形，
同理可得△PHF是等边三角形，
∴PD=DG，PF=PH，
∴AD=PF=PH，
∵△ABC的周长为9，
∴AB=3
∴PE+PD+PF=BG+DG+AD=AB=3，
故选D．
5．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一
个动点（不与点B重合），以BD,BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP∥BE,AP=BE（点P、E在直
1
线AB的同侧），如果BD= AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（ ）
4
1 3 1 3
A． B． C． D．
4 5 5 4
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，数来你掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．过点P作
PH∥BC交AB于H，连接CH,PF,PE，可证得四边形APEB，BFPH是平行四边形，再根据四边形
BDEF是平行四边形，设BD=a，可得PE=AB=4a，再根据S =S ，S :S =BH:AB即
△HBC △PBC △HBC △ABC
可求解．
【解题过程】
解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH,PF,PE，∵AP∥BE,AP=BE，
∴四边形APEB是平行四边形，
∴AB∥PE,AB=PE，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD,EF=BD，
∴EF∥AB，
∴P，E，F共线，
设BD=a，
1
∵BD= AB，
4
∴PE=AB=4a，
∴PF=PE−EF=3a，
∵PH∥BC，
∴S =S ，
△HBC △PBC
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形．
∴BH=PF=3a，
∵S :S =BH:AB=3a:4a=3:4，
△HBC △ABC
∴S :S =3:4．
△PBC △ABC
故选：D．
6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，N为BC中点，
AH⊥CD于点H，连接NH，若∠D=α，则∠CHN=（ ）1 1
A．30∘+ α B．α−22.5∘ C．45∘+α D．90∘− α
2 2
【思路点拨】
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所
求相关的等腰三角形是解决问题的关键．过N作NM∥AB交AD于M，根据平行四边形的性质得到
1
AD∥BC，求得AM=BN，得到BN=CN，AM=DM，根据已知条件得到MH= AD=DM，求得
2
∠D=∠MHD=α，根据平行线的性质得到∠NMH=∠MHD=α，得到MN=MH，于是得到结论．
【解题过程】
解：过N作NM∥AB交AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴AM=BN，
∵N为BC中点，
∴BN=CN，AM=DM，
∵AH⊥CD于H，M为AD的中点，
1
∴MH= AD=DM，
2
∴∠D=∠MHD=α，
∵MN∥AB，
∴∠NMH=∠MHD=α，1
又∵MN=AB= AD，
2
∴MN=MH，
1
∴∠MHN=(180∘−α)÷2=90∘− α，
2
1
∴∠CHN=180∘−∠DHM−∠MHN=90∘− α．
2
故选：D．
7．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=CD=10，
BC=AD=8，过O作直线EF分别交AB，CD于E，F两点，若∠ACB=90°，则四边形AEFD周长的最
小值为（ ）
A．24 B．16 C．22.8 D．18.2
【思路点拨】
本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．理解当EF最小时
C 最小，且当EF⊥CD时EF最小是解题关键．由题意易证四边形ABCD为平行四边形，从而可
四边形AEFD
证△EAO≌△FCO(AAS)，得出AE=CF，进而求出C =CD+EF+AD=18+EF，即说明当EF
四边形AEFD
最小时C 最小，且当EF⊥CD时EF最小．过点A作AG⊥CD，可知EF=AG，由勾股定理可
四边形AEFD
求得AC=6，最后根据等积法可求出AG=4.8，进而即可求解．
【解题过程】
解：∵AB=CD=10，BC=AD=8，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△EAO≌△FCO(AAS)，
∴AE=CF．
∴C =AE+EF+DF+AD=CF+DF+EF+AD=CD+EF+AD=18+EF，
四边形AEFD
∴当EF最小时C 最小，且当EF⊥CD时EF最小．
四边形AEFD
如图过点A作AG⊥CD，∵EF⊥CD，AG⊥CD，
∴EF=AG．
∵∠ACB=90°，
∴AC=❑√CD2−AD2=6．
1 1
∵S = AC⋅AD= AG⋅CD，
△ACD 2 2
∴AC⋅AD=AG⋅CD，即6×8=10AG，
∴AG=4.8，即EF最小值为4.8，
∴四边形AEFD周长的最小值为4.8+18=22.8．
故选C．
8．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延
长交AB点E，连接AF与DE相交于点P，若S =4cm2 ，S =64cm2 ，则阴影部分的面积为
△APD ▱ABCD
（ ）cm2．
A．28 B．26 C．24 D．20
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定．连接EF，先根据平行四边形的性质得
到AB=CD,AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，可得BE=CF，可判定四边形BCFE是平行四边形，从
1
而得到S = S ，再证明四边形ADFE是平行四边形，可得S =S =4cm2 ，最后根据阴影
△BEF 2 ▱BCFE △PEF △APD
部分的面积=S +S ，即可求解．
△BEF △PEF
【解题过程】
解：连接EF，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵Q是BF中点，
∴BQ=FQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BEQ=∠FCQ,∠BQE=∠FQC,BQ=FQ，
∴△BEQ≌△FCQ(AAS)，
∴BE=CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
1
∴S = S ，
△BEF 2 ▱BCFE
∵AB−BE=CD−CF，即AE=FD，
∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S =S =4cm2 ，
△PEF △APD
∴S =4S =16cm2 ，
▱ADFE △APD
∴S =S −S =64−16=48cm2 ，
▱BCFE ▱ABCD ▱ADFE
1 1
∴S = S = ×48=24cm2 ，
△BEF 2 ▱BCFE 2
∴阴影部分的面积为S +S =28cm2 ．
△BEF △PEF
故选：A
9．（23-24八年级下·海南儋州·期中）如图，四边形ABCD中，AG⊥BC交BC于点G，AB=CD=5，
AG=4，CG=2BG，点P在AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，AB∥CD，
连接EF，图中阴影部分的面积为（ ）A．24 B．20 C．18 D．16
【思路点拨】
用勾股定理求出BG=3，由CG=2BG得到CG=2BG=6，则BC=BG+CG=9，设AP交EF于点O，证
明四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，AD=BC，可证△ABC≌△CDA(SSS)，则
1
S =S = S ，再证四边形AEPF是平行四边形，得OA=OP,OE=OF，可证
❑△ABC ❑△ACD 2 ❑▱ABCD
1
△AOE≌△POF(SAS)，则S =S ,即可得到S = S =18．
❑△AEO ❑△PFO ❑阴影 2 ❑▱ABCD
【解题过程】
解：∵AG⊥BC交BC于点G，
∴∠AGB=90°，
在RtAGB中，∠AGB=90°，AB=5，AG=4，
∴BG=❑√AB2−AG2=❑√52−42=3，
∵CG=2BG，
∴CG=2BG=6，
∴BC=BG+CG=3+6=9，
设AP交EF于点O，
∵AB∥CD，AB=CD=5，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△CDA(SSS)，1
∴S =S = S ，
❑△ABC ❑△ACD 2 ❑▱ABCD
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴OA=OP,OE=OF，
∵∠AOE=∠POF，
∴△AOE≌△POF(SAS)，
∴S =S ,
❑△AEO ❑△PFO
1 1
∴S =S +S +S =S = S = ×9×4=18，
❑阴影 △AOF ❑△POF ❑四边形PCDF ❑△ACD 2 ❑▱ABCD 2
故选：C．
10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在△ABD中，∠A=90°，AD=AB=3，将△ABD沿射线
BD平移，得到△EGF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到△CBD，连接EC、GC，则(GC+EC) 2的最小
值为（ ）
A．27 B．45 C．18 D．36
【思路点拨】
连接DE、AE，作点D关于直线AE的对成点T，连接AT、ET、CT．利用平行四边形的判定和性质，三
角形不等式计算即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移，折叠，三角形不等式，
熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形不等式，勾股定理是解题的关键．
【解题过程】
解：如图，连接DE、AE，作点D关于直线AE的对成点T，连接AT、ET、CT．∵∠A=90°，AD=AB=3，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到
△CBD，
∴AD=AB=BC=3，∠ABC=90°，∠ABD=45°，
∵AB∥≥,AB=EG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AE∥BD，
∴∠EAD=∠ABD=45°，
∵D、T关于AE对称，
∴AD=AT=3，∠TAE=∠EAD=45°，
∴∠TAD=90°，
∵∠BAD=90°，
∴B、A、T共线，
∴CT=❑√BT2+BC2=❑√62+32=3❑√5，
∵AB∥≥,AB=EG，AB∥CD,AB=CD
∴EG=CD， EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴CG=DE，
∴EC+CG=EC+ED=EC+TE，
∵EC+TE≥TC，
∴GC+EC≥3❑√5，
∴（GC+EC）2≥45，
则(GC+EC) 2的最小值为45，
故选B．11．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，点E为BC上一动点，
DC⊥BC，连接AE，DE．DE与AC交于点F，∠DFC=45°，AC=2❑√15，CE=3❑√3，若
BE=DC，则AE=（ ）
A．❑√13 B．❑√15 C．6 D．5❑√13
【思路点拨】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．延长BA，过点E作
¿⊥ED，交BA的延长线于点G，证明△BEG≌△CDE(AAS)，得出EG=DE，BG=EC=3❑√3，证明四
边形ACDG为平行四边形，得出DG=AC=2❑√15，AG=CD，求出DE=❑√30，根据勾股定理求出
CD=❑√3，得出AG=BE=DC=❑√3，求出AB=BG−AG=2❑√3，根据勾股定理求出AE=❑√15即可．
【解题过程】
解：延长BA，过点E作¿⊥ED，交BA的延长线于点G，如图所示：
∵DC⊥BC，≥⊥ED，
∴∠B=∠DCE=∠DEG=90°，
∴∠BGE+∠BEG=∠BEG+∠CED=90°，
∴∠BGE=∠CED，
∵BE=DC，
∴△BEG≌△CDE(AAS)，
∴EG=DE，BG=EC=3❑√3，
1
∴∠EDG=∠EGD= ×90°=45°，
2
∵∠DFC=45°，∴∠DFC=∠GDE，
∴AC∥DG，
∵∠B+∠DCE=180°，
∴BG∥CD，
∴四边形ACDG为平行四边形，
∴DG=AC=2❑√15，AG=CD，
∵DE2+GE2=DG2，即2DE2=(2❑√15) 2 ，
解得：DE=❑√30或DE=−❑√30（舍去），
在Rt△CDE中根据勾股定理得：CD=❑√ED2−CE2=❑√(❑√30) 2 −(3❑√3) 2=❑√3，
∴AG=BE=DC=❑√3，
∴AB=BG−AG=2❑√3
∴AE=❑√AB2+BE2=❑√(2❑√3) 2+(❑√3) 2=❑√15．
故选：B．
12．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AM平分∠BAD交BC于
中点M，点N在边AB上，且CN∥AD，若BN=2AN，AB=6，则AD=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【思路点拨】
如图，设AM交CN于点O，取CN的中点J，连接MJ，证明OJ=ON=AN=2，推出CN=8，再证明
AD=CN即可．
【解题过程】
解：如图，设AM交CN于点O，取CN的中点J，连接MJ，∵BN=2AN，AB=6，
∴AN=2，BN=4，
∵M是BC的中点，J是CN的中点，
∴CM=MB，CJ=JN，
1
∴JM∥BN，JN= BN=2，
2
∴MJ=AN，
∵MJ∥AN，
∴∠OMJ=∠OAN，
在△AON和△MOJ中，
{∠AON=∠MOJ
)
∠OAN=∠OMJ ，
AN=MJ
∴△AON≌△MOJ(SAS)，
∴OJ=ON，
∵AD∥CN，CD∥AB，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴AD=CN，
∵AM平分∠DAB，
∴∠DAM=∠MAB，
∵AD∥CN，
∴∠DAM=∠AON，
∴∠MAB=∠AON，
∴ON=AN=2，
∴CJ=JN=4，
∴AD=CN=8．
故答案为：A．
13．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC和
∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，则EF=（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
设BE与FC的交点为H，过点A作AH∥FC，交BE于点O，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，
AB∥DC，AD=BC=8，即可得∠ABC+∠DCB=180°，再根据角平分线的定义可得BE⊥FC，根据
平行线的性质和等腰三角形的判定可得AB=AE=5，AB=BM=5，即可求得DE=3，MC=3，即可求
解．
【解题过程】
解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AH∥FC，交BE于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，AD=BC=8，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵FC平分∠DCB，BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，∠DCB=2∠FCB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC=∠ABE，
∴AB=AE=5，
∴DE=AD−AE=8−5=3，
∵AM∥FC，
∴∠AMB=∠FCB，
∵∠DAB=∠DCB=2∠FCB，
∴∠DAB=2∠AMB，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMB，
∴∠DAB=2∠DAM，
∴∠AMB=∠BAM，
∴AB=BM=5，
∴MC=BC−BM=8−5=3，
∵AD∥BC，AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，
∴MC=AF=3，
∴EF=AD−AF−ED=8−3−3=2，
故选：A．
14．（2024·安徽阜阳·二模）如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是边BC，AC上的点，且满足
1
BD=CE= BC，M是边AB上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造▱MDNE．若AB=12，
4
则MN的最小值为（ ）
A．6❑√3 B．4❑√3 C．6 D．4
【思路点拨】
本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定
理．作EF∥BC交AB于点F，证明四边形CDFE是平行四边形，推出△FEM≌△CDN(SAS)，得到
CN∥AB，点N在直线CN上，当MN⊥AB时，即MN有最小值，据此计算即可求解．
【解题过程】
解：作EF∥BC交AB于点F，连接DF，CN，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠B=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，∴AC−AE=AB−AF，
∴CE=BF，
∵BD=CE，∠B=60°，
∴△BDF为等边三角形，
∴∠BDF=∠BCA=60°，
∴DF∥CE，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴CD=FE，∠CDE=∠FED，
∵▱MDNE，
∴DN=EM，∠DEM=∠EDN，
∴∠DEM−∠FED=∠EDN−∠CDE，
∴∠FEM=∠CDN，
∴△FEM≌△CDN(SAS)，
∴∠AFE=∠BCN=60°=∠B，
∴CN∥AB，
∴点N在直线CN上，
当MN⊥AB时，即MN有最小值，根据平行线间的距离相等知MN的最小值就是等边三角形△ABC的高，
作CG⊥AB于点G，
1
∴AG= AB=6，
2
∴CG=❑√122−62=6❑√3，
∴MN的最小值为6❑√3，
故选：A．
15．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边
△ABD和△ACE,F为AB中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若∠BAC=30°，下列结论：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4 AG；⑤△AOG
与△EOG的面积比为1∶4，其中正确的结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
利用等边三角形的性质，直角三角形的特征，等边三角形的三线合一性质，可判定①；利用直角三角形性
质，斜边大于直角边，可判定②；利用全等三角形的性质，可判定③；利用平行四边形的性质，直角三角
形的性质，可判定④；利用三角形面积特点，可判定⑤．
本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行四
边形的性质和判定等知识点的综合运用．
【解题过程】
解：设BC=x，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2x,AC=❑√AB2−BC2=❑√3x，
∵△ABD是等边三角形，F为AB中点，
∴DA=DB=AB=2x,BF=AF=x,DF⊥AB,DF=❑√DB2−BF2=❑√3x，
∠DBF=60°，
∴BF=FA,DF=CA，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∴∠FAE=90°，AE=FD，
∴∠FAE=∠BFD=90°，
∴△DBF≌△EFA；
故①正确；
∵DA=DB=AB,AC=AE=DF，∠ACB=90°，
∴DA=DB=AB＞AC=AE=DF，故②错误；
∵△DBF≌△EFA，
∴∠DBF=∠EFA=60°，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOF=90°，
∴EF⊥AC，
故③正确；
∵△DBF≌△EFA，
∴DB=EF，
∴DA=EF，
∵AE=DF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
1 1 1
∴AG=GF= AF= × AB，
2 2 2
∴AB=4AG，
∴AD=4 AG，
故④正确；
∵∠BAC=30°，∠AOF=90°，
1
∴OF= AF=AG，
2
∵EF=AB=4AG，
∴OE=3AG，
∵AG=GF，
∴S =S ，
△AOG △FOG
∴S :S =S :S =OF:OE=AG:3AG=1:3，
△AOG △EOG △FOG △EOG
故⑤错误，
故选B．
16．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD,M是AB的中点，连
接DM,MC．下列结论：①DM⊥CM；②AD+BC=CD；③MC平分∠DCB；④若DM=3,CM=4，
则平行四边形ABCD的面积为24．其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，根据CD=2AD，得出
AD+BC=CD，即可判断②正确；取CD的中点N，连接MN，证明四边形ADNM为平行四边形，得出
MN=AD，证明MN=DN=CN，根据等腰三角形的性质得出∠NDM=∠NMD，∠NMC=∠NCM，
求出∠DMN+∠CMN=90°，即可判断①正确；根据平行线的性质得出∠NCM=∠BMC，根据
BM=BC，得出∠BMC=∠BCM，证明∠NCM=∠BCM，即可判断③正确；求出
1 1
S = CM×DM= ×3×4=6，根据平行四边形的性质得出S =2S =2×6=12，判断④错
△CDM 2 2 ▱ABCD △CDM
误．
【解题过程】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵CD=2AD，
∴AD+BC=CD，故②正确；
取CD的中点N，连接MN，如图所示：
1
则DN=CN= CD，
2
∵M为AB的中点，
1
∴AM=BM= AB，
2
∴AM=DN，
∵DN∥AM，∴四边形ADNM为平行四边形，
∴MN=AD，
1
∵AD= CD，
2
∴MN=DN=CN，
∴∠NDM=∠NMD，∠NMC=∠NCM，
∵∠NDM+∠NMD+∠NMC+∠NCM=180°，
∴∠DMN+∠CMN=90°，
∴DM⊥CM，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠NCM=∠BMC，
1 1
∵AD=BC，BM= AB，AD= AB，
2 2
∴BM=BC，
∴∠BMC=∠BCM，
∴∠NCM=∠BCM，
∴CM平分∠DCB，故③正确；
∵CM⊥DM，DM=3,CM=4，
1 1
∴S = CM×DM= ×3×4=6，
△CDM 2 2
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S =2S =2×6=12，故④错误；
▱ABCD △CDM
综上分析可知：正确的有3个，故C正确．
故选：C．
17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边△ABC中，AB=3，点M，N分别在边AC,BC上，
且AM=CN，则线段MN的最小值为 ．
【思路点拨】
本题主要考查等边三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与平行四边形的性质与判定是解题的关键；过点C，M分别作MN,BC的平行线，并交于点P，作射线AP，然后可得四边
形CPMN是平行四边形，则有AM=MP，∠CAP=∠MPA=30°，进而可得MN=PC，所以可知当当
PC⊥AP时，PC有最小值，最后问题可求解
【解题过程】
解：如解图，过点C，M分别作MN,BC的平行线，并交于点P，作射线AP．
∵CP∥MN,MP∥NC，
∴四边形CPMN是平行四边形，
∴MP=NC，
又∵AM=CN，
∴AM=MP，
∴∠CAP=∠MPA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠PMC=∠ACB=60°，
∴∠CAP=∠MPA=30°．
∵四边形CPMN是平行四边形，
∴MN=PC，
1 1 3
∴当PC⊥AP时，PC有最小值，此时PC= AC= AB= ，
2 2 2
3
∴MN最小值是 ．
2
3
故答案为
2
18．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，
∠BAC=2∠ACD，E是BC边上一点，连接AE，过点E作EF⊥AB于点F，且CE=EF．若AC=6，
AB=10，则CD的长为 ．【思路点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，角平分线的判定，先证明AD∥CE，再由角平分线
1
的判定定理得到∠EAC=∠ACD= ∠BAC，进而证明四边形AECD是平行四边形得到AD=CE；利用
2
勾股定理求出BC，进而利用等面积法求出CE的长，进而利用勾股定理求出CD的长．
【解题过程】
解：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD∥CE，
∵∠BAC=2∠ACD，
∵EF⊥AB，∠ACB=∠CAD=90°，CE=EF，
∴AE是∠BAC的平分线，
1
∴∠EAC=∠ACD= ∠BAC，
2
∴AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE．
∵∠ACB=90°，AC=6，AB=10，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√102−62=8，
∵S =S +S ，
△ABC △ABE △ACE
1 1 1
∴ AC⋅BC= AB⋅EF+ AC⋅CE，即6×8=10CE+6CE，
2 2 2
解得CE=3，
∴AD=3，
∴CD=❑√AC2+AD2=3❑√5
故答案为：3❑√5．
19．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，点E、G分别是 ▱ABCD边AD、AB上的点，
AE:ED=3:2，BG:GA=1:3，作EF∥AB交BC于点F，GH∥AD交CD于点H，连接FH，若S =50，则图中阴影面积为 ．
▱ABCD
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．先证四边形AEOG，四边形
AEFB，四边形DEFC，四边形EDHO，四边形HCFO，四边形BGOF都是平行四边形，由面积的和差
关系可求解．
【解题过程】
解：如图，设EF与HG的交点为O，连接AO,CO,DO,BO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AD∥BC，
又∵EF∥AB，GH∥AD，
∴AB∥CD∥EF,GH∥AD∥BC，
∴四边形AEOG，四边形AEFB，四边形DEFC，四边形EDHO，四边形HCFO，四边形BGOF都是平
行四边形，
1
∴S = S ，S =S ，
△AGO 2 ▱AEOG △HOF △OHC
∵AE:ED=3:2，S =50，
▱ABCD
∴S =30,S =20，
▱ABFE ▱DEFC
∴S =15,S =10，
△AOB △DOC
∵BG:GA=1:3=CH:DH，
45 5
∴S = ， S = ，
△AOG 4 △COH 2
45 5
∴阴影面积=2× + =25，
4 2故答案为：25．
20．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线
上，∠ECF=60°，AE∥BD，EF⊥BC，EF=2❑√3，则AB的长是 ．
【思路点拨】
由直角三角形的两个锐角互余可得∠CEF=90°−∠ECF=30°，由含30度角的直角三角形的性质可得
CE=2CF，利用勾股定理可得CF2+EF2=CE2，即CF2+(2❑√3) 2=(2CF) 2，进而可求出CF=2，则
CE=4，由已知条件可证得四边形ABDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AB=CD=DE，
于是得解．
【解题过程】
解：∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵∠ECF=60°，
∴∠CEF=90°−∠ECF=90°−60°=30°，
∴CE=2CF，
∵CF2+EF2=CE2，
∴CF2+(2❑√3) 2=(2CF) 2，
∴CF=2，
∴CE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD，
∴AB∥DE，
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴AB=CD=DE，1 1
∴AB= CE= ×4=2，
2 2
故答案为：2．
21．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在四边形ABCD中，
AC=BD,AC⊥BD,∠BAD=105°,AD=4❑√2，CD=13，则AB= ．
【思路点拨】
本题考查的是平行四边形的判定与性质，旋转的性质及勾股定理，将△ADB绕点D顺时针旋转90°得到
△≝¿，连接AE,AF，作AH⊥EF于点H，先求出AE,EH，证明四边形ACDF是平行四边形，从而求
出FH，进而求出答案．
【解题过程】
解：如下图，将△ADB绕点D顺时针旋转90°得到△≝¿，连接AE,AF，作AH⊥EF于点H，
∵AD=DE=4❑√2,∠ADE=90°，
∴AE=❑√AD2+DE2=❑√(4❑√2) 2+(4❑√2) 2=8,∠AED=∠DAE=45°，
∵∠≝=∠BAD=105°，
∴∠AEF=60°，
∵AH⊥EF，
∴∠EAH=30°1
∴EH= AE=4,AH=❑√3EH=4❑√3，
2
∵AC⊥BD,DF⊥BD，
∴AC∥DF，
∵AC=BD,BD=DF，
∴AC=DF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AF=CD=13，
∴FH=❑√AF2−AH2=❑√132−(4❑√3) 2=11，
∴EF=FH+EH=11+4=15，
∴AB=EF=15，
故答案为：15．
22．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，∠BAD的平分线与DC的延
长线交于点E，与BC交于点F，且点F为边BC的中点，过点C作CG⊥AE，垂足为G，若CG=2，则
AE的长为 ．
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质结合等
腰三角形的判定，可得CE=CF=BF=4，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求EG=GF=2❑√3，即可
求解．
【解题过程】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠BFA，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=8，AB∥CD，
∴∠BAF=∠E，
∵∠BFA=∠EFC，
∵∠BAD的平分线与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，
∴∠BAF=∠EAD=∠BFA=∠E，
∴∠E=∠EFC
∴CE=CF，
∵点F为边BC的中点，
∴CE=CF=BF=4，
又∵CG⊥AE，
∴EG=GF，
∵CG=2，
∵GF=❑√CF2−CG2=❑√42−22=2❑√3，
∴EG=GF=2❑√3，
∴AF=EF=4❑√3，
∴AE=8❑√3，
故答案为：8❑√3．
23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，CD边的垂直平分
线分别交边CD，AD于G，E，连接CE，若CE∥AB，AB=4❑√3，CE=10，则AE的长为 ．
【思路点拨】
本题考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，延长GE，BA
交于点F，由线段垂直平分线的性质得出ED=EC，∠DGE=90°，证明四边形CEFB是平行四边形，得
出CE=BF=10，推出AF=10−4❑√3，证明∠F=∠AEF，即可得出AE=AF=10−4❑√3，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．【解题过程】
解：如图，延长GE，BA交于点F，
，
∵GE是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，∠DGE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DGE=90°，
∴GE∥CB，
∵CE∥AB，
∴四边形CEFB是平行四边形，
∴CE=BF=10，
∵AB=4❑√3，
∴AF=BF−AB=10−4❑√3，
∵CE∥AB，
∴∠CEG=∠F，
∵ED=EC，EG⊥CD，
∴∠CEG=∠DEG，
∵∠DEG=∠AEF，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF=10−4❑√3，
故答案为：10−4❑√3．
24．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，AC平分
∠DAB，∠DCA=30°，DC=3cm，则∠BCA= °，梯形ABCD的周长为 cm．【思路点拨】
此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形中30°
所对直角边与斜边的关系等知识，根据题意得出AB的长是解决问题的关键．根据∠DAC=∠CAB，以及
DC∥AB得出∠DCA=∠CAB，从而得出DC=AD=BC，进而得出∠ACB=90°，AB=2BC=6cm，
即可得出答案．
【解题过程】
解：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=30°，∠DAC=30°，∠D+∠DAB=180°，
∴AD=DC=3cm，∠DAB=30°+30°=60°，
∵AD=BC，
∴CB=3cm，
过点C作CE∥AD，如图所示：
则∠CEB=∠DAB=60°，
∵DC∥AB，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴CE=AD，
∵AD=BC，
∴CE=BC，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠ACB=180°−30°−60°=90°，
∴AB=2BC=6cm，∴梯形ABCD的周长为：3+3+3+6=15cm．
故答案为：90；15．
25．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，点D,点E分别为△ABC的边BC,AC上的点，连接DE，
将△CDE沿DE翻折，点C落在点F处，连接BF,CF．若EF∥AB，BF⊥CF，AB=DF=3❑√5，
FC=12，DE=5，则AE的长为 ．
【思路点拨】
本题考查了折叠的性质、平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定
理是解题的关键．延长ED交FC于G，延长BA，DE交于点M，根据折叠的性质得EG⊥CF，由勾股定
理求出DG=❑√DF2−FG2=3，EF=❑√EG2+FG2=10，再证明四边形BFEM是平行四边形，再根据平
行四边形的性质及等角对等边即可得出AE=AM=10−3❑√5．
【解题过程】
解：如图，延长ED交FC于G，延长BA，DE交于点M，
∵将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，
∴EF=EC，DF=DC，∠FED=∠CED，EG⊥CF；
1
∴DF=DC=AB=3❑√5，GF=GC=FC= ×12=6，
2
∴DG=❑√DF2−FG2=❑√ (3❑√5) 2 −62=3，
∴EG=ED+DG=5+3=8，
∴EF=❑√EG2+FG2=❑√82+62=10，
又∵BF⊥CF，∴BF∥EG，
∵AB∥EF，
∴四边形BFEM是平行四边形，
∴BM=EF=10，
∴AM=BM−AB=10−3❑√5，
∵AB∥EF，
∴∠M=∠FED，
∴∠M=∠CED=∠AEM，
∴AE=AM=10−3❑√5．
故答案为：10−3❑√5．
26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D,E
是边AB上两动点，连接CD，CE．若DE=2，则△CDE周长的最小值为 ．
【思路点拨】
作点C关于线段AB的对称点C′交于点H，连接DC′和CC′，过点C′作C′F∥AB，且DE=C′F，连接
EF，则DC′=FE，根据轴对称得DC′=DC和CH=C′H，那么DC=FE，△CDE周长为
DC+DE+EC=FE+EC+DE≥FC+DE，当点C、点E和点F三点共线时，△CDE周长最小为
FC+DE，利用勾股定理求得AB，等面积法求得CH，则有CC′，在Rt△CC′F中求得CF即可．
【解题过程】
解：作点C关于线段AB的对称点C′交于点H，连接DC′和CC′，过点C′作C′F∥AB，且DE=C′F，连
接EF，如图，
则四边形DC′FE为平行四边形，∴DC′=FE，
∵点C关于线段AB的对称点C′，
∴DC′=DC，CH=C′H，
∴DC=FE，
则△CDE周长为DC+DE+EC=FE+EC+DE≥FC+DE，
当点C、点E和点F三点共线时，△CDE周长最小为FC+DE，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
1 1
∵S = AB·CH= AC·CB，
△ABC 2 2
12
∴CH= ，
5
24
∴CC′=
，
5
∵DE=2，
∴C′F=2
在Rt△CC′F中，CF=❑√CC′2+C′F2=❑
√ (24) 2
+22=
26
，
5 5
26 36
则，△CDE周长最小为DC+DE+EC≥FC+DE= +2= ，
5 5
36
故答案为： ．
5
27．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4❑√3，BC=3❑√7，∠ABC=60°，
E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=CF，连接BE，AF，则AF+BE的最小值为 ．
【思路点拨】
本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相应辅助线，
综合运用这些知识点是解题关键．
连接EC，作点C关于AD的对称点H，连接BH,EH，根据平行四边形的性质及判定得出四边形AECF为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， AF+BE的最小值为BH的长，然后结
合图形利用勾股定理求解即可．
【解题过程】
解：连接EC，作点C关于AD的对称点H，连接BH,EH，如图所示：
∵平行四边形ABCD，AB=4❑√3，BC=3❑√7，∠ABC=60°，
∴AB=CD=4❑√3，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∵AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=EC，
∵点C、H关于AD对称，
∴EH=EC,CN=HN,AD⊥CH，
∴EC=AF=EH，
∴AF+BE=BE+EH，
当点B、E、H三点共线时， AF+BE的最小值为BH的长，
∵∠ADC=60°,AD⊥CH，
∴∠DCN=30°，
1
∴DN= CD=2❑√3，CN=❑√CD2−DN2=❑√3DN=6，
2
∴CH=12，
∴BH=❑√BC2+CH2=❑√63+144 =3❑√23，
故答案为：3❑√23．
28．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、
△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为 ．【思路点拨】
根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆
定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解
答．
【解题过程】
解：∵在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
¿
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=3，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=4，
∴四边形DAEF是平行四边形．
∴∠FDA=180°−∠DAE=30°，
如图，过点F作FH⊥AD，交AD于点H，1 3
∴FH= DF= ，
2 2
3
∴S =AD⋅FH=4× =6．
▱AEFD 2
即四边形AEFD的面积是6．
故答案为6．
29．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BD⊥CD于点
D，BD=24，CD=7，在BD右侧的平面内有一点F，△BDF的面积是96，当FA+FC的最小值是30
时，那么AB= ．
【思路点拨】
设△BDF的BD上的高为ℎ，先证明点F在平行于BD，且到BD边的距离等于8的直线MN上，延长DC交
MN于点M，并在射线DC上取CM=MG，连接AG交直线MN于点F，连接CF，过点A作AH⊥CD于
H，求得点C、G关于直线MN对称时， FA+FC=AG =30，再证四边形ABDH是平行四边形，得
AH=BD=24，DH=AB，最后利用勾股定理即可得解．
【解题过程】
解：设△BDF的BD上的高为ℎ，
∵△BDF的面积是96，BD=24，
1
∴ ×24ℎ =96，
2
解得ℎ =8，
∴点F在平行于BD，且到BD边的距离等于8的直线MN上，延长DC交MN于点M，并在射线DC上取CM=MG，连接AG交直线MN于点F，连接CF，过点A作
AH⊥CD于H，
∵BD⊥CD，MN∥BD，
∴∠NMG=∠BDC=90°，
∴MN⊥CG，
∵CM=MG，
∴点C、G关于直线MN对称，
∵当FA+FC的最小值是30，
∴点C、G关于直线MN对称时FA+FC=AG=30，
∵AH⊥CD，BD⊥CD，
∴AH∥BD，
∴∠H=∠BDC=90°，
∵AB∥CD，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴AH=BD=24，DH=AB，
∴HG= ❑√AG2−AH2=18，
∵DM=
ℎ
=8，CD=7，
∴MG=CM=8−7=1，
∴AB=DH=HG−DM−MG=9．
故答案为：9
30．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，▱ABCD中，∠B=45°，AB=2❑√2，BC=6，点E为AB边上
的中点，F，G为边AD上的两个动点，且FG=1，则五边形BCGFE的周长最小值为 ．【思路点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角的性质和判定，轴对
称等．过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于AD的对称点P，连接PF,PA,PQ,PE，并延长PE
交BC于点M，则PF=EF,PA=AE，可得五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+BE+PQ，再根据
平行四边形的性质可得∠EAP=90°，从而得到△BEM是等腰直角三角形，进而得到PM=3，
QM=BQ−BM=4，再由勾股定理可得PQ=❑√PM2+MQ2=5，即可求解．
【解题过程】
解：如图，过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于AD的对称点P，连接PF,PA,PQ,PE，并延长
PE交BC于点M，则PF=EF,PA=AE，
∵AF=AF，
∴△AFP≌△AFE，
∴∠PAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∴四边形CGFQ是平行四边形，
∴CQ=FG=1,FQ=CG，
∴五边形BCGFE的周长为BC+CG+FG+EF+BE=BC+FQ+FG+PF+BE≥BC+FG+BE+PQ，
∴五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+BE+PQ，
∵点E为AB边上的中点，∠B=45°，
1
∴AP=AE=BE= AB=❑√2，∠PAF=∠BAD=135°，
2
∴∠EAP=90°，
∴∠APE=∠AEP=∠BEM=45°，PE=❑√2AE=2，
∴∠PMB=∠PMQ=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴EM=BM=1，
∴PM=3，∵BQ=BC−CQ=5，
∴QM=BQ−BM=4，
∴PQ=❑√PM2+MQ2=5，
∴BC+FG+BE+PQ=6+1+❑√2+5=12+❑√2，
即五边形BCGFE的周长最小值为12+❑√2．
故答案为：12+❑√2．
31．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处，当A′P与Rt△ABC的边
平行时，线段AP的长为 ．
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，分
A′P∥BC平行和A′P∥AC平行两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题
的关键．
【解题过程】
解：当A′P∥BC时，则∠A′=∠BCD，如图，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴∠A=90°−30°=60°，AB=2AC=4，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√42−22=2❑√3，
由折叠的性质得∠A′=∠A=60°，A′C=AC=2，A′P=AP，
∴∠BCD=60°，
∴∠BDC=180°−∠A−∠BCD=180°−30°−60°=90°，1 1
∴∠A′DP=90°，CD= BC= ×2❑√3=❑√3，
2 2
∴A′D=A′C−CD=2−❑√3，
在Rt△A′DP中，∠A′=60°，
∴∠A′PD=90°−60°=30°，
∴AP′=2A′D=4−2❑√3，
∴AD=4−2❑√3；
当A′P∥AC时，则∠Á′=∠A=60°，如图，
∵∠ACB=90°，A′P∥AC，
∴∠A′DC=∠ACB=90°，
∴∠A′CB=90°−60°=30°，
∴∠A′CB=∠B，
∴A′C∥AB平行，
∴四边形APA′C是平行四边形，
∴AP=A′C,
由折叠的性质得A′C=AC=2，
∴AP=2；
综上，线段AP的长为4−2❑√3或2，
故答案为：4−2❑√3或2
32．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如题图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC边上的点，
且AB=16，BD=CE=3，M是AB边上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造平行四边形
MDNE，则MN的最小值为 ．【思路点拨】
作EF∥BC交AB于点F，证明四边形CDFE是平行四边形，推出 △FEM≌△CDN(SAS)，得到
CN∥AB，点N在直线CN上, 当 MN⊥AB时， 即MN有最小值，据此计算即可求解．
【解题过程】
解：作EF∥BC交AB于点F，连接DF，CN，
∴ ∠AFE=∠B
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠BCA=60°，
∴∠AFE=∠B=60°
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，
∴AC−AE=AB−AF，
∴CE=BF，
∴BD=CE，∠B=60°，
∴△BDF为等边三角形，
∴∠BDF=∠BCA=60°，
∴DF∥CE，∴四边形CDFE是平行四边形，
∴CD=FE，∠CDE=∠FED，
∵四边形MDNE是平行四边形，
∴DN=EM，∠DEM=∠EDN，
∴∠DEM−∠FED=∠EDN−∠CDE，
∴∠FEM=∠CDN，
∴△FEM≌△CDN(SAS)，
∴∠AFE=∠BCN=60°=∠B，
∴CN∥AB，
∴点N在直线CN上，
当MN⊥AB时，即MN有最小值，根据平行线间的距离相等知MN的最小值就是等边△ABC的高，
作CG⊥AB于点G，
1
∴AG= AB=8，
2
∴CG=❑√AC2−AG2=❑√162−82=8❑√3，
∴MN的最小值为8❑√3，
故答案为：8❑√3．
33．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在▱ABCD中，G，H分别是AC的三等分点，GE∥BC交
AB于点E，HF∥AD交CD于点F．（1）求证：△AEG≌△CFH；
（2）若EG=2，∠ACB=60°，∠BAC=45°，求AC的长．
【思路点拨】
本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等．
（1）根据三等分点可得AG=HC，依据平行线的性质可得EG∥HF，∠EGH=∠FHG，即可证明全
等；
（2）证明四边形EHFG为平行四边形，得到∠EGA=∠ACB=60°，过点E作EM⊥AC于点M，根据
含30度角直角三角形的性质即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵G，H分别是AC的三等分点，
∴AG=HC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAG=∠FCH，
∵GE∥BC，HF∥AD，且AD∥BC，
∴EG∥HF，
∴∠EGH=∠FHG，
∴∠AGE=∠CHF，
∴△AEG≌△CFH(ASA)
（2）由（1）知，EG∥FH且EG=FH，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∵≥∥BC，
∴∠EGA=∠ACB=60°，
过点E作EM⊥AC于点M，∵∠BAC=45°，∠EGM=60°，EG=2，
∴∠GEM=30°，∠AEM=45°，
∴GM=1，EM=AM=❑√3，
∴AG=GM+AM=1+❑√3，
又∵G，H分别是AC的三等分点，
∴AC=3AG=3+3❑√3
34．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BF交AD于点F，
∠BCD的角平分线CG交AD于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接PE，PE=BE．
（1）求证：点E是BC中点；
（2）若AB=4，PE=6，则GF的长为 ___．
【思路点拨】
（1）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ABC+∠BCD=180°，根据角平
1 1 1
分线的定义得出∠3+∠4= ∠ABC+ ∠BCD= ×180°=90°，根据等腰三角形的性质得出
2 2 2
∠3=∠BPE，根据余角的性质得出∠EPC=∠4，根据等腰三角形的判定得出PE=CE，即可证明结论；
（2）证明四边形ABEH为平行四边形，得出EH=AB=4，求出PH=PE−EH=6−4=2，证明
∠PFH=∠BPE，∠PGF=∠EPC，得出FH=PH=2，GH=PH=2，最后求出结果即可．
【解题过程】
（1）证：如图：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BF、CG分别平分∠ABC和∠BCD，
1 1
∴∠3= ∠ABC,∠4= ∠BCD，
2 2
1 1 1
∴∠3+∠4= ∠ABC+ ∠BCD= ×180°=90°，
2 2 2
∴∠BPE+∠EPC=90°，
∵PE=BE，
∴∠3=∠BPE，
∴∠EPC=∠4，
∴PE=CE，
∴BE=CE，
∴E为BC的中点；
（2）解：根据解析（1）可知：∠1=∠3，∠3=∠BPE，
∴∠1=∠BPE，
∴AB∥PE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABEH为平行四边形，
∴EH=AB=4，
∴PH=PE−EH=6−4=2，
∵AD∥BC，
∴∠PFH=∠3，∠PGF=∠4，
∵∠3=∠BPE，∠4=∠EPC，
∴∠PFH=∠BPE，∠PGF=∠EPC，
∴FH=PH=2，GH=PH=2，∴GF=FH+GH=4．
故答案为：4．
35．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角均为120°，分别延
长CB、FA交于点G，得到△ABG．
（1）请判断△ABG的形状，并证明你的结论．
（2）若AB=4，BC=6，CD=5，DE=2，直接写出六边形ABCDEF的周长为________．
【思路点拨】
（1）根据∠ABC=∠BAF=120°，得出∠ABG=180°−∠ABC=60°，
∠BAG=180°−∠BAF=60°，证明∠ABG=∠G=∠BAG，即可证明结论；
（2）延长CD，FE交于点H，根据等边三角形的性质得出∠G=∠H=60°，AB=AG=BG=4，
DE=DH=EH=2，证明四边形CGFH为平行四边形，得出GF=CH=7，FH=CG=10，求出
AF=GF−AG=7−4=3，EF=FH−EH=10−2=8，最后求出结果即可．
【解题过程】
（1）解：△ABG为等边三角形．
理由如下：
∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°，
∴∠ABC=∠BAF=120°，
∴∠ABG=180°−∠ABC=60°，∠BAG=180°−∠BAF=60°，
∴∠G=180°−60°−60°=60°，
∴∠ABG=∠G=∠BAG，
∴△ABG为等边三角形．
（2）解：延长CD，FE交于点H，如图所示：根据（1）知，△ABG是等边三角形，同理△DEH也是等边三角形
∴∠G=∠H=60°，AB=AG=BG=4，DE=DH=EH=2，
∴CG=BC+BG=6+4=10，CH=CD+DH=5+2=7，
∵∠C=120°，
∴∠C+∠G=180°，∠C+∠H=180°，
∴CH∥GF，CG∥FH，
∴四边形CGFH为平行四边形，
∴GF=CH=7，FH=CG=10，
∴AF=GF−AG=7−4=3，EF=FH−EH=10−2=8，
∴六边形ABCDEF的周长为：4+6+5+2+8+3=28．
36．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，
满足DE=EF，且∠≝=60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．
（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；
（2）如图2，当ADAG，说明这与AN=AG矛盾，假设不成立，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：四边形EABC是平行四边形，理由如下：
∵全等的△ABC和△≝¿，
∴AB=EC，EA=BC，
∴四边形EABC是平行四边形.
（2）解：由题可得：∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，∠A=90°−30°=60°，
由平移的性质可知：AC∥DF，∴∠AGF=∠EFD=90°，∠BHF=∠ACB=90°，
∴∠AFG=90°−60°=30°，
设AG=x，
则AF=2AG=2x，GF=❑√3x，
若GF=HF=❑√3x，则BF=2HF=2❑√3x，
∴2x+2❑√3x=4，
解得：x=❑√3−1，
∴AF=2x=2❑√3−2，
即平移的距离是2❑√3−2时，GF=HF．
（3）解：平移过程中MN不会平分∠CNF，理由如下：
过点N作NG⊥AB于G，延长EF交AB于H，如图所示：
由平移的性质可知：NF∥GH，
∴∠AHE=∠DFE=90°，
∴∠AHE=∠AGN=90°，
∴NG∥FH，
∴四边形NGHF是平行四边形，
∴FN=GH，
假设平移过程中MN可能平分∠CNF，
则有：∠CNM=∠FNM，
∵∠NCM=∠NFM=90°，NM=NM，
∴△CNM≌△FCM，
∴CN=FN，
∵AN=AC−CN，AG=AH−GH=AH−FN，
由题意可知：AC=AH，
∴AN=AG，
∵∠AGN=90°，∴AN>AG这与AN=AG矛盾，
∴假设不成立，
综上所述，平移过程中MN不能平分∠CNF．
40．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，点P是CD边上
一点，连接AP、BP，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）如图1，求∠APB的度数；
（2）如图2，如果AD=5,AP=8，求△APB的周长．
（3）如图3，点E、F在线段AB上，连接PE、PF，若∠EPF=60°,AE=BF,PE=20,PF=12，求
DC的长度．
【思路点拨】
（1）先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质得出角之间的关系，再
根据角平分线的意义求解即可；
（2）根据角平分线的意义和平行四边形的性质进而得出∠DAP=∠APD,∠CBP=∠BPC，
AD=PD=5=CB=CP，再由勾股定理得出BP长度，进而求解即可；
（3）在AD上截取AM=AE，连接MP，在BC上截取BN=BF，连接NP，连接MN，过点M作
MQ⊥NP，交NP延长线于点Q，先证明四边形ABNM是平行四边形，继而得出MN=AB，再证明
△APE≌△APM,△BPF≌△BPN，继而得出∠MPN=120°，再利用含30度的直角三角形的性质及勾
股定理求出MN长度，再由平行四边形的性质求解即可．
【解题过程】
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°,∠BAP=∠APD,∠ABP=∠BPC，
∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，1 1
∴∠BAP= ∠DAB,∠ABP= ∠ABC，
2 2
1 1 1
∴∠APD+∠BPC=∠BAP+∠ABP= ∠DAB+ ∠ABC= (∠DAB+∠ABC)=90°，
2 2 2
∴∠APB=180°−(∠APD+∠BPC)=90°
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=5，AB=CD，
∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠BAP=∠DAP,∠ABP=∠CBP，
∵∠BAP=∠APD,∠ABP=∠BPC，
∴∠DAP=∠APD,∠CBP=∠BPC，
∴AD=PD=5=CB=CP，
∴AB=CD=DP+CP=5+5=10，
∵∠APB=90°，
∴BP=❑√AB2−AP2=6，
∴△APB的周长为10+6+8=24；
（3）如图，在AD上截取AM=AE，连接MP，在BC上截取BN=BF，连接NP，连接MN，过点M作
MQ⊥NP，交NP延长线于点Q，
∴∠MQP=90°，
∵AE=BF，
∴AM=BN，
∵AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴MN=AB，
∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠BAP=∠DAP,∠ABP=∠CBP，
又∵AP=AP,BP=BP，
∴△APE≌△APM,△BPF≌△BPN，
∴PE=PM=20,PF=PN=12,∠APE=∠APM,∠BPF=∠BPN，
∵∠APB=90°，∠EPF=60°，
∴∠APE+∠BPF=90°−60°=30°=∠APM+∠BPN，
∴∠MPN=120°，
∴∠MPQ=60°，
∴∠QMP=90°−∠MPQ=30°，
1
∴PQ= PM=10，
2
∴MQ=❑√M P2−PQ2=❑√202−102=10❑√3，NQ=NP+PQ=12+10=22，
∴MN=❑√MQ2+NQ2=❑√(10❑√3) 2+222=28，
∵AB=CD，
∴MN=CD=28．
41．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）已知▱ABCD.
（1）如图1，若BC=4，以BC为边作等边△BCE，且点E恰好在边AD上，直接写出此时▱ABCD的面
积_____；
（2）如图2，若以BC为斜边作等腰直角△BCF，且点F恰好在边AD上，过C作CG⊥CD交BF于G，连
接AG.
①依题意将图2补全；
②用等式表示此时线段CD，CG，AG之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，若BC=4，以BC为边作▱BCMN，且∠CMN=60°，BN=6.若NA⊥BD，用等式表示
此时BD与NA的数量关系.
【思路点拨】
（1）作EI⊥BC于点I，利用等边三角形的性质求得BI的长，再利用勾股定理求得EI的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可；
（2）①依照题意补全图形即可；
②延长CF交BA的延长线于点H，延长CG交BA的延长线于点J，利用ASA证明△HBF≌△GCF，推出
GC=BH，FG=FH，再证明△AFG≌△AFH(SAS)，推出AG=AH，即可证明CG=CD+AG；
（3）连接BM,MD，作BK⊥MN并交MN的延长线于点K，推出四边形ADMN是平行四边形，得到
△BMD是直角三角形，BD2+DM2=BD2+N A2=BM2，求得BM即可解决问题．
【解题过程】
（1）解：解：作EI⊥BC于点I，
由题意得，△BCE是边长为4的等边三角形，
1
∴BI=IC= BC=2，
2
∴EI=❑√BE2−BI2=2❑√3，
∴此时▱ABCD的面积为BC×EI=4×2❑√3=8❑√3，
故答案为：8❑√3；
（2）解：①补全图形如图，
②CG=CD+AG；理由如下，
延长CF交BA的延长线于点H，延长CG交BA于点J，∵△BCF是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∴BF=CF，∠BFC=∠BFH=90°，∠FBC=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AFB=∠FBC=45°=∠AFH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵CG⊥CD，
∴∠BJG=∠GCD=∠GFC=90°，
∴∠HBF=90°−∠BGJ=90°−∠FGC=∠GCF，
在△HBF和△GCF中，
{∠HFB=∠GFC=90°
)
BF=CF ，
∠HBF=∠GCF
∴△HBF≌△GCF(ASA)，
∴GC=BH，FG=FH，
又∵∠AFB=∠AFH，FA=FA，
∴△AFG≌△AFH(SAS)，
∴AG=AH，
∴CG=BH=BA+AH=CD+AG；
（3）解：BD2+N A2=76．
连接BM,MD，作BK⊥MN并交MN的延长线于点K，
∵▱BCMN,▱ABCD，
∴MN=AD=BC=4，MN∥AC∥BC，
∴四边形ADMN是平行四边形，
∴MD=AN，MD∥NA，
∵NA⊥BD，
∴MD⊥BD，即△BMD是直角三角形，∵四边形BCMN是平行四边形，且∠CMN=60°，
∴∠CBN=∠CMN=60°，
∵MN∥BC，BK⊥MN，
∴BK⊥BC，
∴∠KBN=90°−60°=30°，
∵BN=6，
1
∴KN= BN=3，BK=❑√BN2−K N2=3❑√3，
2
∴KM=KN+MN=7，
∴BM=❑√BK2+K M2=2❑√19，
∴BD2+DM2=BM2=76，即BD2+N A2=76．
42．（23-24八年级下·四川成都·期末）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D是BC中点，AD平分∠BAC，求证：AB=AC．
【深入探究】
（2）如图2，在△ABD中，∠ADB>90°，点C在线段BD的延长线上，且BD=DC．在射线DA上取点
E，若AB=CE，请写出∠BAD与∠CED的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AC=4，BC=5，∠ACB=30°，点E在
边BC上，连接EO,EO的延长线交AD于点F，点G在对角线AC上，若FG=AE，且△AEO的面积是
△GOF面积的2倍，求线段BE的长．
【思路点拨】
（1）延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，证明△ABD≌△ECD，可得AB=CE,∠BAD=∠E，再
由AD平分∠BAC，可得∠CAD=∠E，从而得到AC=CE，即可；
（2）延长AD至点K，使DK=DE，连接BK，证明△BDK≌△CDE，可得BK=CE，∠K=∠CED，
从而得到AB=BK，然后根据等腰三角形的性质可得∠K=∠BAD，即可；（3）连接CF，过点F作FP⊥AC于点P，△AOF≌△COE，可得到四边形AECF是平行四边形，从而
得到CF=AE，S =S ，进而得到FG=FC，再由△AEO的面积是△GOF面积的2倍，可得
△AOE △COF
1 5
AG=OG= OC=1，从而得到AP= ，然后根据直角三角形的性质可得AF=2FP，最后根据勾股定理
2 2
5❑√3
可求出FP= ，即可求解．
6
【解题过程】
（1）证明：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
∵AD=DE，∠ADB=∠CDE，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=CE,∠BAD=∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴AC=AB；
（2）解：∠CED=∠BAD，理由如下：
如图，延长AD至点K，使DK=DE，连接BK，∵BD=DC，∠BDK=∠CDE，
∴△BDK≌△CDE，
∴BK=CE，∠K=∠CED，
∵AB=CE，
∴AB=BK，
∴∠K=∠BAD，
∴∠CED=∠BAD；
（3）如图，连接CF，过点F作FP⊥AC于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC=5,OA=OC=2，
∴∠ACB=∠CAF=30°,∠AFO=∠CEO，
∴△AOF≌△COE，
∴OE=OF,AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF=AE，S =S ，
△AOE △COF
∵FG=AE，
∴FG=FC，
1
∴PC=PG= CG，
2∵△AEO的面积是△GOF面积的2倍，
∴S =2S ，
△FOC △GOF
1
∴AG=OG= OC=1，
2
∴CG=3，
3
∴PG= ，
2
5
∴AP= ，
2
∵∠CAF=30°，
∴AF=2FP，
∵AF2−FP2=AP2，
5❑√3
∴FP= ，
6
5❑√3
∴CE=AF= ，
3
5❑√3
∴BE=BC−CE=5− ．
3
43．（23-24九年级上·山东青岛·期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角
形”
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且
S =S ．
△ACD △BCD
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE
交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面
1
积的 ，请直接写出△ABC的面积．
4
【思路点拨】
应用：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根
据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，
根据S =S −2S 即可求解．
四边形CDOF 矩形ABCD △ABF
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，
根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，再求出△A′DC的面积，即可求出△ABC的面积．
【解题过程】
解：应用：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
1
∴S =S ，AE=ED= AD=6，
△AOE △DOE 2
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S =S ，OB=OE，
△AOB △AOE
在△AOE与△FOB中，
{
AE=BF
)
∠AEO=∠OBF ，
OB=OE
∴△AOE≌△FOB(SAS)，
∴S =S ，
△AOE △FOB
∴S =S ，
△AOD △ABF
1
∴S =S −2S =8×12−2× ×8×6=48；
四边形CDOF 矩形ABCD △ABF 2
探究：解：分为两种情况：①如图1所示，
∵S =S ．
△ACD △BCD
1
∴AD=BD= AB，
2
∵沿CD折叠A和A′重合，
1 1
∴AD=A′D= AB= ×4=2，
2 2
1
∵△△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
4
1 1 1 1
∴S = S = S = S = S ，
△DOC 4 △ABC 2 △BDC 2 △ADC 2 △A′DC
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
1
∴BM= AB=2=BC，
2
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=❑√42−22=2❑√3，
1 1
∴△ABC的面积是 ×BC×AC= ×2×2❑√3=2❑√3，
2 2
②如图2所示，∵S =S ．
△ACD △BCD
1
∴AD=BD= AB，
2
∵沿CD折叠A和A′重合，
1 1
∴AD=A′D= AB= ×4=2，
2 2
1
∵ △A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
4
1 1 1 1
∴S = S = S = S = S ，
△DOC 4 △ABC 2 △BDC 2 △ADC 2 △A′DC
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C=BD=2，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
1
∴CQ= A′C=1，
2
1 1
∴S =2S =2S =2× ×A′D×CQ=2× ×2×1=2；
△ABC △ADC △A′DC 2 2
即△ABC的面积是2或2❑√3．
44．（23-24八年级下·广东深圳·期末）问题背景：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE．（1）问题探究：连接BD与CE，BD与CE交点为F．
①如图1，BD与CE的数量关系是 （填“相等”或“不相等”），BD与CE的位置关系是 （填“平行”
或“垂直”）；
②如图2，M、N分别是BD与CE的中点，∠ANM= °；
（2）问题拓展：当等腰直角△ABC旋转到如图3位置，连接BE,CD，点H为BE中点，当B、C、D三点
共线时，若AB=4，AD=4❑√5，请求出线段AH的长．
【思路点拨】
（1）①可证得△CAE≌△BAD，从而BD=CE,∠ACE=∠ABD，进一步得出结果；②连接AM，可证
得△ACN≌△ABM，从而AN=AM,∠CAN=∠BAM，进一步得出结果；
（2）当C在BD上时，作AR⊥BC于R，延长AH至W，使HW =AH，结合勾股定理可求得
CD=DR−CR=4❑√2，再证四边形ABWE是平行四边形，可得EW=AB=AC,∠AEW+∠BAE=180°，
可得∠AEW =∠CAD，可证得△AEW≌△ADC，从而AW =CD=4❑√2，即可得出AH的值；当点C在
DB的延长线上时，同样的方法得出AH的值．
【解题过程】
（1）解：①如图1，设AB与CE交于点O，∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE．
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BAD(SAS)，
∴BD=CE,∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，
∴∠BFO=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
②如图2，连接AM，
由①知，∠ACE=∠ABD,CE=BD，
∵M、N分别是BD与CE的中点，
1 1
∴CN= CE,BM= BD，
2 2
∴CN=BM，∵AC=AB，
∴△ACN≌△ABM(SAS)，
∴AN=AM,∠CAN=∠BAM，
∴∠CAN−∠BAN=∠BAM−∠BAN，∠ANM=∠AMN，
∴∠MAN=∠BAC=90°，
∴∠ANM=∠AMN=45°，
故答案为：45；
（2）解：如图3，当C在BD上时，作AR⊥BC于R，延长AH至W，使HW=AH，
∴∠ARD=90°，
∵∠ACB=45°,∠ARC=90°，
❑√2
∴AR=CR= AC=2❑√2，
2
∴DR=❑√AD2−AR2=❑√(4❑√5) 2 −(2❑√2) 2=6❑√2，
∴CD=DR−CR=6❑√2−2❑√2=4❑√2，
∵H是BE的中点，
∴四边形ABWE是平行四边形，
∴EW=AB=AC,∠AEW+∠BAE=180°，
∵∠BAC+∠DAE=90°+90°=180°，
∴∠CAD+∠BAE=180°，
∴∠AEW=∠CAD，
∵AD=AE，
∴△AEW≌△ADC(SAS)，∴AW =CD=4❑√2，
∴AH=2❑√2，
如图4，当点C在DB的延长线上时，作AR⊥BC于R，
同理CD=DR+CR=6❑√2+2❑√2=8❑√2，
1
∴AH= CD=4❑√2，
2
综上所述：AH的长为 2❑√2或4❑√2．
