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专题18.2 平行四边形（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·河北邯郸·八年级统考期末）用长分别为 的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形
的木框（接头忽略不记），则 的值是（ ）
A．5 B．7 C．2 D．12
2．（2021·四川南充·统考中考真题）如图，点O是 对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC
于点E，F．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022下·河北唐山·八年级统考期末）平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数 与另一个角的
度数 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北保定·统考二模）小明为了计算 的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线
段不能表示 的高的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，下列结论正确的是
（ ）A． B．
C． D． 与 大小关系无法确定A
6．（2022下·安徽合肥·八年级校考期中）如图，在平行四边形 中，点 在对角线 上，且
，连接 、 ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022上·四川绵阳·九年级校联考期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA
边在x轴上，点O为坐标原点，已知点 ， ，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·浙江温州·八年级校联考期中）如图，点 在 的边 上，连接 ，作
交 于点 ，点 是 的中点，且 ，若 ，则 的长为（ ）A．10 B．9 C． D．8
9．（2021下·河北承德·八年级统考期末）如图，AB CD，AD BE，点B、C、E在一直线上，连结
AC、AE，则图中与△AED面积相等的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，在 中， ， 相交于点 ， ， 分别为
， 的中点，连接 ， ， ， ．求证：四边形 是平行四边形．
证明：∵四边形 是平行四边形，
…
∴四边形 是平行四边形．
上面缺少的过程是打乱的：
①∵ ， 分别为 ， 的中点，②∴ ；③∴ ， ．
则正确顺序是（ ）
A．③①② B．①②③ C．①③② D．②①③
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·浙江宁波·九年级校考阶段练习）小宁不小心将一块平行四边形教具打碎成两部分，通
过测量，已经知道三个角的度数如图所示，则 的度数为 ．12．（2023下·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）平行四边形 的面积为 ，其
中 为锐角， 、 分别为 、 上的高，若 ， ，则 的长为
．
13．（2022·浙江台州·统考二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为 ， ，
，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移 个单位，再向上平移
个单位．
14．（2021下·浙江·八年级期中）如图， ，四边形 是平行四边形， 和 的
周长分别为5和10，则 的周长是 ．
15．（2023下·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）如图，将 先沿 折叠，再沿 折叠后，A
点落在线段 上的 处，C点落在E处，连接 ， ．若恰有 ，则 ．16．（2023上·山东临沂·九年级沂水县实验中学校考期末）已知如图， ． 为x轴上
一条动线段，D在C点右边且 ，当 的最小值为 .
17．（2022下·江苏常州·八年级统考期中）如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，分
别交边AG于点F，E，使BC＝DC，AC＝GD，∠BDC＝60°，若DB＝7，AE＝5，则AB的长为 ．
18．（2022下·北京海淀·八年级北京市师达中学校考期中）如图， 的对角线交于点O．点
M，N，P，Q分别是 四条边上不重合的点．下列条件能判定四边形 是平行四边形的有
（填序号）．
① ；② 均经过点O：③ 经过点O， ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023下·福建南平·八年级统考期中） 如图：在平行四边形 中， 的平分线
交 于 ，若 ， ，求 的长．
20．（8分）（2023上·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）如图，在 中， 平分
交 于点 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 是 的中点，连接 ，求证： 平分 ．
21．（10分）（2019下·四川资阳·八年级校联考期中）如图，在平行四边形 中，E，F分别是边和 上的点，且 ，连接 ， ．
求证：（1） ； （2）四边形 是平行四边形．
22．（10分）（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知，如图，把平行四边形纸片 沿
折叠，点 落在 处， 与 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，判断 与 的位置关系并且证明．
23．（10分）（2023下·江西赣州·八年级统考期末）【课本再现】已知：如图1，在 中，D，E分别是 的中点，求证： ，且
（1）如图2，过点C作 的平行线交DE的延长线于点F，请完成证明．
【知识应用】
（2）如图3，在四边形 中， ， ，E，F分别为 的中点，判断线段
之间的数量关系，并说明理由，（温馨提示：连接 并延长交 的延长线于点G．）
24．（12分）（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提
出了如下问题：
如图①， 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点E，使 ，连接 ．
请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 ，依据是_____．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是_____．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知
条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②， 是 的中线， 交 于E，交 于F，且 ．若 ，则线段
的长 _____．
【灵活运用】
如图③，在 中， ，D为 中点， 交 于点 交 于点F，连接 ，试猜想线段 三者之间的等量关系，并证明你的结论．
参考答案：
1．B【分析】根据平行四边形对边相等即可得到答案．
解：∵平行四边形的对边相等，用长分别为 的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等是解题的关键．
2．A
【分析】首先可根据平行四边形的性质推出 AEO≌△CFO，从而进行分析即可．
解：∵点O是 对角线的交点， △
∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴ AEO≌△CFO（ASA），
∴△OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，
则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若 ，则DO=DC，
由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由 AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则△∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；
故选：A．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
3．C
【分析】根据平行四边形邻角互补解答．
解：由题意可得
x+y=180°
即
故选：C．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．D
【分析】根据平行四边形的高的定义进行判断即可．
解： 从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的
高，由图可知， 并不垂直于 点的对边 ，
不能表示 的高，
故选： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的高的定义，熟练掌握从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条
垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高是解答本题的关键．
5．B
【分析】利用平行四边形对边平行的性质得到 ， ，再根据平行线的性质得到内错
角相等，即可得到结论．
解： 四边形ABCD是平行四边形
，
，
即
故选：B．
【点拨】本题考查平行四边形的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．C
【分析】根据平行四边形的性质、三角形的面积公式逐项判断即可得．
解：A、 与 同高，且 ，
，则此项正确，不符合题意；
B、 ， ，
，
，则此项正确，不符合题意；
C、 ，
，
即 ，则此项错误，符合题意；D、 ，
，则此项正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
7．D
【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得
CG=2EF，AG=2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C点坐标．
解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，
∴EF∥CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE=CE，
∴AG=2AF，CG=2EF，
∵A（4，0），E（3，1），
∴OA=4，OF=3，EF=1，
∴AF=OA-OF=4-3=1，CG=2，
∴AG=2，
∴OG=OA-OG=4-2=2，
∴C（2，2）．
故选：D．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，求解CG=2EF及AG的长是解题的关
键．
8．B
【分析】延长 交 于点 ，可推出四边形 是平行四边形，得 ；根据“点 是
的中点”可得 、 ，设 ，根据 即可求解．解：延长 交 于点 ，如图：
∵ ， ，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
∵点 是 的中点且 ，
，
∵点 是 的中点且 ，
，
，
设 ，
，
解得： ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、中位线定理、等腰三角形的性质等，熟记相关知识点
是解题关键．
9．C
【分析】根据等底等高或者同底等高，可以找到△AED面积相等的三角形．
解： AB CD，AD BE，
四边形 是平行四边形，
，
AD BE，
与 间的距离相等，
△AED面积 的面积，
△AED面积 的面积，
△AED面积相等的三角形有2个．故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行线间的距离相等，找到等底等高或者同底等高的三角形
是解题的关键．
10．A
【分析】由 的判断及性质，可得四边形 的对角线互相平分，由平行四边形的判定即可．
解：证明：∵四边形 是平行四边形，
， ,
， 分别为 ， 的中点，
，
∴四边形 是平行四边形，
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题关键熟悉掌握平行四边形的判定．
11．
【分析】先根据平行四边形对角相等，邻角互补求出 ， 的度数，再求出 的度数即可
利用五边形内角和定理求出答案．
解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，多边形内角和定理，正确求出 ， ， 的
度数是解题的关键．
12． /
【分析】如图，先利用平行四边形的面积公式求出 和 ，再利用勾股定理求出 和 ，即可
求解．
解：如图，作 ，垂足分别为E、F，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∵平行四边形的面积为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题关键是会利用面积公式求出各边的高，
再利用勾股定理求解．
13． 4 2
【分析】根据平行线的性质求得点 的坐标，然后即可求得平移方式，即可求解．
解：∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，
∴ ，
即 ，
将 平移到顶点 的位置，可以是先向右平移4个单位，再向上平移2个单位．
故答案为：4，2．
【点拨】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．14．15
【分析】根据平行四边形的对边相等可得DE=AF，DF=AE，再根据三角形周长的定义结合已知条件即
可求出△ABC的周长．
解：∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，DF=AE，
∵△CFD和△DEB的周长分别为5和10，
∴CF+DF+CD=5，DE+EB+DB=10，
∴CF+AE+CD=5，AF+EB+DB=10，
∴△ABC的周长=CF+AF+AE+EB+BD+CD=15．
故答案为：15．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
15． /126度
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，由折叠得 ，
， ，则 ，所以
，则 ，于是得 ，则 ，
，即可求得 ，于是得到问题的答案．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
由折叠得 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明 是解题的关键．
16． /
【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四边形的判定与性质、两点之间线段最
短等知识点，将点 向右平移1个单位长度得到点 构造平行四边形 是解题关键．
解：将点 向右平移1个单位长度得到点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接
，与 轴的交点即为点 ，此时 的值最小，如图所示：
∵ ，且
∴四边形 为平行四边形
∴
∵点 关于 轴的对称点为 ，
∴
∴
∵
∴ 的最小值为：
故答案为：
17．
【分析】根据平行四边形的性质证明△DGE≌△ACE，可得EG=CE=2，过点C作CM⊥EF于点M，利用
含30°角的直角三角形可得EM=1， ，再利用勾股定理即可求得AC的长，进而得到AB的长．
解：∵四边形ABDG是平行四边形，∴AB=DG，BD=AG=7，
∴AC=GD=AB，EG=AG-AE=7-5=2，
∵BC＝DC，∠BDC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=DC=BD=7，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AGD=∠ABD=60°+∠ABC，
∵∠ACE=60°+∠ACB，
∴∠AGD=∠ACE，
在△DGE和△ACE中，
，
∴△DGE≌△ACE（AAS），
∴EG=CE=2，
如图，过点C作CM⊥EF于点M，
∵AG∥BD，
∴∠CEF=∠CDB=60°，
∴∠ECM=30°，
∵CE=2，
∴EM=1， ，
∴AM=AE-EM=5-1=4，∴ ，
∴AB=AC= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是得到
△DGE≌△ACE．
18． /
【分析①】②①②根①据平行四边形的性质结合已知条件，证明 ， ，可得
， ，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中
心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③．
解：∵四边形 是平行四边形
， ,
①
∴
∴
又
四边形 是平行四边形
故①正确
② 四边形 的对角线交于点 , 均经过点O：
四边形 是平行四边形
故②正确
③ 经过点O， ， 的位置未知，不能判断四边形 是平行四边形
故③不正确
故答案为：①②【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
19．
【分析】根据平行四边形的性质，等角对等边确定 与 的关系，即可求出答案．
解：∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质是
解题的关键．
20．（1） ；（2）见分析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，等腰三角形的判定和性
质．
（1）依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到 ；
（2）依据平行四边形的性质证明 ， ，推出 ，由等边对等角结合平行线的
性质，推出 ，即可得出 平分 ．
（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
平分 ，
，
，
；
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ,
∵ 是 的中点，∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
平分 ．
21．（1）详见分析；（2）详见分析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与
判定是解题的关键．
（1）首先由平行四边形的性质得到 ， ，然后证明 即可；
（2）首先由平行四边形的性质得到 ， ，然后结合 得到 ，即可证
明四边形 是平行四边形．
解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
在 和 中，
．
（2） 四边形 平行四边形
，
，
四边形 是平行四边形．
22．（1）见分析；（2） ，理由见分析
【分析】（1）根据折叠的性质可得 ，再根据平行的性质可得 ，即有
，问题随之得证；
（2）结合平行四边形的性质以及（1）的结论可得 ，即有 ，再根据
， ，结合三角形内角和定理可得 ，问题得证．解：（1）由折叠可知： ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
；
（2） ．证明如下：
， ，
，
，
， ，
，
，得证．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质以及等边对等角，三角形内角和定理等知识，
掌握折叠的性质，是解答本题的关键．
23．（1）见分析；（2） ．理由见分析
【分析】（1）过点C作 的平行线交 的延长线于点F，先证明 ，然后证明四边形
是平行四边形，即可得出结论；
（2）连接 并延长交 的延长线于点G，先证明 ，推出 ， ，利
用（1）的结论即可求解．
解：（1）证明：过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F，即 ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ．在 和 中， ，
∴ ．
∴ ， ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2） ，理由如下：
连接 并延长交 的延长线于点G，
∵ ，
∴ ， ，
∵F是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵E是 的中点，F是 的中点，
∴ ，
∴ ．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的
关键．
24．（1）B；（2） ； ； ，理由见分析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形
的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定定理解答；
（2）根据三角形的三边关系计算；
初步运用 延长 到M，使 ，连接BM，证明 ，根据全等三角形的性质解
答；
灵活运用 延长 到点G，使 ，连结 ，证明 ，得到 ，根据
勾股定理解答．
解：（1）在 和 中，
，
∴ ，
故选B；
（2）∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴
∴ ，
故答案为 ；
【初步运用】延长AD到M，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵AD是 中线，
∴ ，
∵在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
【灵活运用】线段 之间的等量关系为： ．
证明：如图3，延长 到点G，使 ，连结 ，
∵ ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 中， ，
∴ ．
