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专题 18.2 矩形、菱形、正方形的性质与判定之九大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 利用矩形的性质求角度】................................................................................................................1
【考点二 利用矩形的性质求线段长】............................................................................................................3
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】........................................................................................................6
【考点四 利用菱形的性质求角度】..............................................................................................................10
【考点五 利用菱形的性质求线段长】..........................................................................................................11
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】......................................................................................................14
【考点七 利用正方形的性质求角度】..........................................................................................................18
【考点八 利用正方形的性质求线段长】......................................................................................................20
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】..................................................................................................23
【过关检测】............................................................................................................................................................30
【典型例题】
【考点一 利用矩形的性质求角度】
【考点一 利用矩形的性质求角度】
例题：（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考阶段练习）如图，在矩形 中，对角线
相交于点 ，如果 ，那么 的度数为 ．
【变式训练】
1．（2022上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考开学考试）如图，在矩形 中， 、 交于点 ，
于点 ，若 ，则 ．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于
点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为 ．
3．（2023上·浙江温州·九年级校联考开学考试）如图，在矩形 中，点 ， 均在对角线 上，
， 交边 于点 ．若 ，则 的度数为 ．
【考点二 利用矩形的性质求线段长】
例题：（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，矩形 中，对角线 相交于点 ，过
点 作 交 于点 ，已知 ， 的面积为5，则 的长为 ．
【变式训练】
1．（2024上·江西鹰潭·九年级统考期末）如图，矩形 中，对角线 ， 相交于O，E，F分别是
， 的中点．若 ，求 的长．2．（2023上·陕西榆林·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，边 上有一点
E，连接 ， ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的度数．
【考点三 矩形的性质与判定综合问题】
例题：（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，四边形 是平行四边形，点 在边 的延长线上，
且 ， ， ， 相交于点O，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图， 的对角线相交于点 ，且
．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)点 在 上，连接 ，若 ，求 的面积．
2．（2023上·广东深圳·九年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， 是 的平分线，
是 外角 的平分线， ，垂足为点E．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ，求 的长．
【考点四 利用菱形的性质求角度】
例题：（2023上·福建三明·九年级统考期末）如图， 是菱形 的对角线，若 ，则
的度数为 ．
【变式训练】
1．（2024上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，菱形 中， 交 于点 ， 于点 ，连
接 ，若 ，则 ．2．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在菱形 中，对角线 相交于点O，点P是
上一点，连接 ，若 ， ，则 °．
【考点五 利用菱形的性质求线段长】
例题：（2024上·四川成都·九年级四川省成都市玉林中学校考期末）如图，四边形 是菱形，连接
， 交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长度为 ．
【变式训练】
1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如下图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点
为 的中点．若菱形 的周长为20，则 的长为 ．
2．（2023上·江西吉安·九年级校考阶段练习）如图，在边长为 的菱形 中， ，连接 ，
P为图中任意线段上一点，若 ，则 的长为 ．
【考点六 菱形的性质与判定综合问题】例题：（2024上·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，已知在平行四边形 中， 平分 交 于
点E，点F在 上， ，连接 交 于点O，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（2022上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考开学考试）如图，在四边形 中， ， ，
对角线 ， 交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，已知点M是线段 上一点，且 ，则 的长为_______．
2．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 为矩形， 为 中点，过点 作 的垂线分
别交 、 于点 、 ，连接 、 ．(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若 ， ，求 的长．
【考点七 利用正方形的性质求角度】
例题：（2024上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，正方形 的对角线 ， 交于点O，P为边
上一点，且 ，则 的度数为 ．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在正方形 的外侧，作等边 ，则 的
度数是 ．
2．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）如图，在正方形 中，连接 为边 上一点，连接
交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为 ．
【考点八 利用正方形的性质求线段长】
例题：（2023下·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，正方形 的两条对角线相交
于点O， ，则 ．【变式训练】
1．（2024上·山西太原·九年级统考期末）如图，在正方形 中，点 是 边的中点， 的垂直平
分线分别交 ， 边于点 ， ，垂足为点 ．若 ，则 的长为 ．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在正方形 中，边长为6，点 为 的中点，点
在正方形的一边上，且 ，连接 ，则 的长为 ．
【考点九 正方形的性质与判定综合问题】
例题：（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践
【问题情境】
如图1，正方形 中，点E为其内一点，以点E为直角顶点，以 为斜边构造直角三角形 ，使
得 ，将 绕点B按顺时针方向旋转 ，得到△ （点A的对应点为C），延长
交 于点F，连接 ．
【解决问题】请根据图1完成下列问题：
（1）若 ，则∠ = 度；
（2）试判断四边形 的形状，并给予证明；
【拓展探究】
（3）如图2，若 ，请写出线段 与 的数量关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图1，正方形 的边长为5，点E为正方形 边上
一动点，过点B作 于点P，将 绕点A逆时针旋转 得 ，延长BP交 于点F，连
接 ．
(1)判断四边形的 的形状，并说明理由；
(2)若 ，求 的长度；
(3)在（2）的条件下，求 ．
2．（2023上·山东·九年级专题练习）在正方形 中，点 为射线 上一点，连接 ，过点 作
交射线 于点 ，以 为邻边作矩形 ，连接 ．(1)如图 ，当点 在线段 上时．
求证：矩形 是正方形；
求证： ；
(2)如图 ，当点 在线段 的延长线上时，正方形 的边长为 ， ，请直接写出 的长．
【过关检测】
一、单选题
1．（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）如图，在 中, 为 的中点，
则 的长为（ ）
A．5 B． C．6 D．
2．（2024上·河南郑州·九年级校考期末）如图，四边形 是周长为 的菱形，其中对角线 长
为 ，则菱形 的面积为（ ） ．A． B． C． D．
3．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，矩形 中， ，E是 的中点， ，
则 长为（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，正方形 的边长为6，点 是对角线 上一点，且
，则 的长度为（ ）
A．4 B． C． D．
5．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，菱形 的对角线 相交于O点，E，F分别是
边上的中点，连接 ．若 ， ，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①四边形 是平行四边形；②菱形 的周长为 ；
③ 与 互相垂直平分；④ 的面积是 ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2022下·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）如图，菱形 中，对角线 、 相交于点O，不
添加任何辅助线，要使四边形 是正方形，则需要添加一个条件是 ．（填一个即可）
7．（2024下·八年级课前预习）如图，矩形 中， ，对角线 ， 相交于点O， 垂直平
分 于点E，则 的长为 ．
8．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在菱形 中，点E在对角线 上 ，
，则 ．
9．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）已知：如图， 为正方形 的
边 上一点， 的平分线交 于点 ，若 ，则正方形 的边长为 ．10．（2024上·黑龙江佳木斯·九年级校考期末）已知矩形 中， ．点 为 上一个动点，连接
，将 沿 折叠，点 落在点 处，当点 为线段 的三等分点时， 长为 ．
三、解答题
11．（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在四边形 中， ， ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)点E是 上一点，点F是 的中点，连接 ，若 ， ，求 的长．
12．（2023下·广东中山·八年级统考期中）如图，在平行四边形 中， ， ，垂足分
别为E，F，且 ．
(1)求证：平行四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
13．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形 中，延长 至点E，使得，连接 ， ， 交 于点F．
(1)试探究 的形状；
(2)求 的度数．
14．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，四边形 是菱形，对角线 、 交于点O，点
D、B是对角线 所在直线上两点，且 ，连接 、 、 、 ， ．
(1)求证：四边形 是正方形：
(2)若正方形 的面积为72， ，求点F到线段 的距离．
15．（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形 中， ， ，点 是 边
的中点．点 是 边上一动点（不与点 重合），延长 交射线 的延长线于点 ，连接 ， ．(1)求证： ；
(2)当点 在什么位置时，四边形 是矩形？请证明你的结论．
16．（2024下·八年级单元测试）如图，△ABC中，点 O 是边 上一个动点，过 O 作直线 ，
设 交 的平分线于点 E，交 的外角平分线于点 F．
(1)求证： ；
(2)当点 O 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？并说明理由．
(3)若 边上存在点 O，使四边形 是正方形，猜想 的形状并证明你的结论．
17．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， 于点 ，
， ，点 从点 出发，以 的速度向点 运动；同时点 从点 出发，以
的速度向点 运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 ．(1)当 _______ 时，四边形BMNC为矩形；
(2)当 时，求 的值；
(3)当 _____ ，在点 、 运动过程中，四边形 能构成菱形．
18．（2024上·江西南昌·九年级校考期末）【特例感知】如图 ，点 是正方形 对角线 上一点，
于点 ， 于点 .
（1）求证：四边形 是正方形；
（2） = ；
【规律探究】将正方形 绕点 旋转得到图 ，连接 ， ， .
（3） 的比值是否会发生变化？说明理由；
【拓展应用】如图 ，在图 的基础上，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点；
（4）四边形 是否是正方形?说明理由.
