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专题18.36 平行四边形题型分类专题（动点问题）（分层练习）
一、单选题
1．如图，长方形 中， ， ， ，点E为
射线 上的一个动点，若 与 关于直线 对称，当 为直角三角形时， 的长为
（ ）
A．2 B．18 C．2或18 D．以上都不正确
2．如图，在正方形 中， ，点 是 边上的一个动点（点 不与点 重合）．点 ，
分别是 ， 的中点，则线段 （ ）
A． B． C．11 D．6
3．如图，在 中， ，P是BC上一动点（与B、C点不重合）， 于E，则
等于（ ）A．155° B．145° C．135° D．125°
4．如图，正方形ABCD的边长为5，E是AD边上一点，AE＝3，动点P由点D向点C运动，速度为
每秒2个单位长度，EP的垂直平分线交AB于M，交CD于N．设运动时间为t秒，当PM∥BC时，t的值
为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，正方形 的对角线相交于点O，点E为 上一动点．连接 ，作 交 于
点F，已知 ，则四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
6．如图，已知 ， 是线段 上的动点，分别以 、 为边，在线段 的同侧作等边
和 ，连接 ，设 的中点为 ，当点 从点 运动到点 时，则点 移动路径的长是
（ ）A．4 B．4.5 C．5 D．6
7．如图，在矩形 中， ， ，点M，N分别在 ， 上，且 ，
，E为 边上一动点，连接 ，将 沿 所在直线折叠得到 ，当 点恰好落
在线段 上时， 的长为（ ）
A． 或2 B． C． 或2 D．
8．如图，在 中，对角线 、 交于点 ，并且 ．点 是 边
上一动点，延长 交 于点 ．当点 从 点向 点移动过程中（点 与点 不重合），则四边形
的形状变化依次是（ ）
A．平行四边形 矩形 平行四边形 菱形 平行四边形
B．平行四边形 矩形 平行四边形 正方形 平行四边形
C．平行四边形 菱形 平行四边形 矩形 平行四边形
D．平行四边形 矩形 菱形 正方形 平行四边形
9．如图，点 是 的边 的延长线上一点，点 是边 上的一个动点（不与点B重合）．以
、 为邻边作平行四边形 ，又 平行且相等于 （点P、E在直线 的同侧），如果，那么 的面积与 面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，边长为2的正方形 的对角线相交于点O，点E是 边上的动点，连接 并延长交
的延长线于点P，过点O作 交CD于点F，交 延长线于点Q，连接 ．若点E恰好是
中点时，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
11．如图，在矩形 中， ， ， 是 上一个动点， 是 上一点 点 不与点
重合 ．连接 ，将 沿 翻折，使点 的对应点 落在边 上，连接 ，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．矩形 中， ， ，点 是边 上一动点，沿 翻折，若点 的对称点 恰好落在矩形的对称轴上，则折痕 的长是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F分别为边AD，BC上的一个动点，连接EF，以
EF为对称轴折叠四边形CDEF，得到四边形MNFE，点D，C的对应点分别为M，N，当点N恰好落在AB
的三等分点时，CF的长为 ．
14．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、
BP的中点，则线段EF的长为
15．如图，在矩形 中， ，P是 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别
作 和 的垂线，垂足分别为E、F．求 ．16．如图，在平面直角坐标系中， 是 的中点，已知 ， ， ， ，点
是线段 上的一个动点，当 的长为 时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．
17．如图，长方形 中， ，点E为射线 上一动点（不与点D重合），将
沿 翻折得到 ，连接 ，若 为直角三角形，则 的长为 ．
18．如图，在长方形 中， ， ，点E为 上一点， ，点F为长方形边上
一动点，将 沿直线EF翻折，当点A的对应点 恰好落在 边上时，折痕 的长度为 ．
19．在矩形 中， ， ，点P是直线 一动点，若将 沿 折叠，使点B落在
点E处，若P、E 、D三点在同一条直线上，则 ．20．如图，已知菱形 ， ， ，点 ，点 分别是边 ， 上的动点，
，则四边形 的面积为 ．
21．如图，在矩形 中， ， ，点E是 边上一动点（不与A，D重合），
与 关于 成轴对称，过点F作 于点G，当点F落在矩形 的内角平分线上时， 的
长为 ．
22．如图， 中． 若动点P从点C开始，按 的路径运
动，且速度为每秒 ，设出发的时间为t秒．
（1）若 为直角三角形，则t的取值是 ；
（2）若 为等腰三角形．则t的值是 ．
23．如图，等边三角形 中， ， 、 分别是边 、 上的动点，且 ，则的最小值为 ．
24．如图，正方形 ，点 是射线 上的动点，过点 作 ，交直线 于点 ，连接
，取 中点 ，连接 并延长交直线 于点 ，若 ， ，则 的长为 ．
三、解答题
25．如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点， ，点 ， 的坐标分别为 ，
，动点 从点A沿 以每秒 个单位的速度运动；动点 从点 沿 以每秒 个单位的速
度运动 ， 同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为 秒．
（1）在 时， 点坐标______， 点坐标______．
（2）当 为何值时，四边形 是矩形？26．如图，C是直线l上的点， ，点B是直线l上的一个动点，且在C点右侧，以 为边在直
线l的上方作 ，若 ， ， ．
（1）若四边形 为矩形时，求 的长；
（2）若四边形 为菱形时，求 的长．
27．在 中， ，点D为射线 上一动点（点D不与B，C重合），以 为边作菱形
，使 ，连接 ．
（1）如图1，当点D在线段 上时，直接写出线段 与 的数量关系；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且 时，求证： ．
28．如图①，在矩形 中，动点 从点 出发，以 的速度沿 向终点 移动，设移动时
间为 ，连接 ，以 为一边作正方形 ，连接 ，设 的面积为 与 之间
的函数关系如图②所示．
（1） _______ _______ ；
（2）当 为何值时， 为等腰三角形？请简要说明理由．
29．在菱形 中， ，点 是平面内一动点，以 为边作等边 ，其中 ， ，
按逆时针方向排列．（1）如图①，当点 在线段 上，点 在菱形 内部时，连接 ，则线段 与 的数量关
系是 ； 与 的夹角度数是 ；
（2）如图②，当点 在线段 上，点 在菱形 外部时，连接 ，求证： ；
（3）如图③，当点 在线段 的延长线上时，连接 ，请直接用等式表示线段 ， ， 之
间的数量关系： ．
30．如图，在 中， 为对角线 的中点， ， ， ．动点 从点
出发，以每秒2个单位的速度沿折线 向终点 匀速运动，连结 并延长交折线 于点 ，
将线段 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，连结 ，设点 的运动时间为 （s）．
（1）用含 的代数式表示 的长．
（2）当点 在边 上运动时，求证： ．
（3）当点 在 内部时，求 的取值范围．
（4）当 与 的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出 的值．参考答案：
1．C
【分析】分点 在线段 上，点 在线段 的延长线上两种情况讨论，由题意可得
根据勾股定理和全等三角形的性质，可求 的长.
解：若点 在线段 上，
∵若 与 关于直线BE对称，
为直角三角形，
，
，
，
，
∴点 , 点 , 点 共线，
在 中, ,
，
∴ ,
若点 在线段 的延长线上，且点 在 上,
,在 中,
，
， ,
，
在 和 中,
，
，
，
∴ ,
综上, 的长度为 或 ,
故选: .
【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关
键.
2．A
【分析】连接 ，根据中位线定理即可求解．
解：连接 ，如图所示：
由题意得：
∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴
故选：A【点拨】本题考查了中位线定理、勾股定理等知识点．掌握定理内容是解题关键．
3．B
【分析】先根据平行四边形的性质求出∠B的度数，再根据垂线的定义求出∠PEB的度数，即可利用
三角形外角的性质求出∠CPE的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴∠B=180°-∠A=55°，
∵PE⊥AB，即∠PEB=90°，
∴∠CPE=∠B+∠PEB=145°，
故选B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形外角的性质，垂线的定义熟知相关知识是解题的
关键．
4．B
【分析】连接ME，根据已知MN垂直平分PE，故根据垂直平分线定理可得ME=MP，当MP∥BC时，
四边形BCPM是矩形，BC＝MP＝5，在直角△AEM中可求得AM=4，即DP=4，即可解出本题.
解：如图，连接ME，
∵MN垂直平分PE，
∴MP＝ME，
当MP∥BC时，四边形BCPM是矩形，
∴BC＝MP＝5，
∴ME＝5，
又∵AE＝3，
∴AM＝4＝DP，
∴t＝4÷2＝2（s），
故选B．
【点拨】本题考查了正方形中的简单动点问题，解决本题的关键是灵活利用垂直平分线的性质求线段长度，从而求得动点运动的路程及时间.
5．A
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明 得到
，进而得到 即可求解．
解：∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为1．故选：A．
6．C
【分析】如图，分别延长 、 交于点 ，易证四边形 为平行四边形，根据平行四边形的
性质可得 与 互相平分，可得G正好为 中点，即在 的运动过程中， 始终为 的中点，所以
的运行轨迹为 的中位线 ．由此即可求解
解：如图，分别延长 、 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 与 互相平分．
∵ 为 的中点，
∴ 正好为 中点，即在 的运动过程中， 始终为 的中点，所以 的运行轨迹为 的中
位线 ．
∴ ，即 的移动路径长为 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点
移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
7．B
【分析】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，由矩形和折叠
的性质结合勾股定理列出方程是解题关键．设 ，则 ，先证明四边形 是矩形，然后由
折叠可知 ，结合题意可求 和 ，最后由勾股定理解答即可．
解：设 ，则 ，∵矩形 中， ，
∴ ．
∵点M，N分别在 上，且 ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠知， ，
∴ ，
∴ ．
，
在 中， ，即 ，
解得： ，即 ．
故选B．
8．C
【分析】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形的判定的应用，熟练掌握行四边形，矩形，菱形的判
定是解题的关键．先判断出点 在移动过程中，四边形 始终是平行四边形，再得出当 ，
是菱形，当 时，是矩形，即可得到结论．
解： 对角线 、 交于点 ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，当 时， ，
，
，
四边形 是菱形，
当 时，四边形 是矩形，
，
，
，
即当 时，四边形 是矩形，
综上所述，当点 从 点向 点移动过程中（点 与点 不重合），则四边形 的形状变化依
次是平行四边形 菱形 平行四边形 矩形 平行四边形．
故选：C．
9．C
【分析】首先过点 作 交 于 ，连接 ， ，易得四边形 ， 是平行四边
形，又由四边形 是平行四边形，设 ，则 ，可得 ，又由 ，
，即可求得 的面积与 面积之比．
解：如图：过点 作 交 于 ，连接 ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
即 ，
， ， 共线，设 ，
，
，
则 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
．
故选：C．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确
作出辅助线，掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比是关键．
10．D
【分析】作 于 ，由正方形的性质可以证明 得到 ，因此
是等腰直角三角形，由平行线分线段成比例定理求出 的长，由等腰直角三角形的性质得到
的长，由勾股定理求出 的长，即可得到 的长．
解：作 于 ，
∵四边形 是正方形，
∴ 和 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，关键是证明
，得到 是等腰直角三角形．
11．B
【分析】由折叠可知 ， ，设 则 在 中，利用勾股定理可建立方程 ，解得 ，则 ， ，再根据等腰三角
形的性质得到 ，进而算出 ，设 则 在 中，利用
勾股定理可建立方程 ，解得 ，则 ，再利用三角形面积公式计算即可求解．
解：如图，过点 作 于点 ，
四边形 为矩形， ， ，
， ， ，
由折叠可知， ， ，
，
，
设 则
在 中， ，
，
解得： ，
， ，
，
四边形 为矩形，
，
， ，
，
，
设 则
在 中， ，
，解得： ，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性
质以及勾股定理是解题的关键．
12．C
【分析】分两种情况，根据折叠的性质和勾股定理进行解答即可．
解：分两种情况：
①如图1所示：
当 恰好在矩形的对称轴 上时，
又∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
由折叠的性质得： ， ，
∵ ，
∴点 与点 重合，点 与点 重合，
∴ ；
②如图2所示：
当 恰好在矩形的对称轴 上时，过 作 交 于 ，交 于 ，∴ ， ， ， ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质得： ， ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，即 ，
∴ ；
综上所述，当点 恰好在矩形的对称轴上时，折痕 的长是 或 ，
故选：C．
【点拨】本题考查翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识；熟练掌握翻折变
换和勾股定理是解题的关键．
13． 或
5 .
【分析】分AN= AB=2与AN= AB=4两种情况讨论，设CF=NF=x，在Rt NBF中利用勾股定理，可分
△别求出x的值，即CF的长度．
解：由翻折知，CF=NF，
设CF=NF=x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，
当AN= AB=2时，
在Rt NBF中，NF=x，BF=BC-CF=8-x，BN=AB-AN=4，
∵NF2△=NB2+BF2，
∴x2=42+（8-x）2，
解得，x=5，
∴CF=5；
当AN= AB=4时，
在Rt NBF中，NF=x，BF=BC-CF=8-x，BN=AB-AN=2，
∵NF2△=NB2+BF2，
∴x2=22+（8-x）2，
解得，x= ，
∴CF= ．
故答案为5或 ．
【点拨】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是能够运用分类讨论的思想，
弄清楚线段的三等分点有两个．
14．2【分析】如图连接BD．首先证明△ADB是等边三角形，可得BD＝4，再根据三角形的中位线定理即可
解决问题．
解：如图连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵点E、F分别是DP、BP的中点，，
∴EF＝ BD＝2．
故答案为2.
【点拨】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明△ADB是等边三角形．
15．
【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，连接 ，利用勾股定理列式求出 ，再利用三角形
的面积表示 ，然后根据 求出 即可．
解：连接 ，如图所示：
∵矩形 的两边 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
16． 或
【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质，解题关键是熟练运用平行四边形的性质．
求出 点坐标后，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可得 ，据此即可求解．
解：依题得： ，
， ，
且 是 的中点，
，
是 上的动点，
，
又 以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
，
设 ，则 ，
，
解得 或 ，
或 ，
即 或 ．
故答案为： 或 ．
17．8或
【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确进行分类讨论．分为两
种情况，一种是点 在线段 上，另一种是点 在 的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
解：∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ， ，①如图1，当点 在线段 上时，
，
， ， 三点共线，
，
，
，
；
②如图2，当点 在 的延长线上时，
， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
解得 ，
，
综上， 的值为8或 ．故答案为：8或 ．
18．4
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质等知
识，熟知相关定理，根据题意画出图形并添加合适辅助线是解题关键．作 ，垂足为G．先证明
，得到 ，根据勾股定理求出 ，再证明四边形 为矩形，得到
，进而得到 ，得到 为线段 的垂直平分线，即可求出 ．
解：如图，作 ，垂足为G．
∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ 直线EF翻折得到 ，且点 在 边上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为线段 的垂直平分线，
∴ ．
故答案为：4
19．1或9/9或1【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定．根据题意分情况讨论，
由勾股定理可以求出 的长，设 ，在直角三角形 中，有勾股定理列方程即可，另一种情况先
证明 ，再利用勾股定理即可．
解：根据题意分情况讨论：
①当点 在线段 上时，
，
根据折叠性质： ， ， ，
在 中， ，
设 ，则 ，
在 中， ，解得： ，
②当点 在线段 的延长线上时，
，
根据折叠性质： ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，综上： 的长为1或9，
故答案为：1或9．
20．
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，将四边形 的面积转化为 是
解题的关键．连接 ，证明 ，得出 ，再利用四边形 的面积
即可得出答案．
解：连接 ，如图，
四边形 为菱形，
和 都是等边三角形，
， ，
在 和 中
，
，
四边形 的面积
故答案为： ．
21． 或 或
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理；根据点 在不同的矩形内角的平分线上分情况讨论
计算即可；准确的画出图形并利用勾股定理列方程求解是关键．解：如图，由题意得： 点在以点 为圆心， 长为半径的圆弧上；
（1）当点 在 的平分线上时；
（2）当点 在 的平分线上时；
为等腰直角三角形
；
（3）当点 在 的平分线上时；延长 交 于 点；
由矩形的性质可知：
为等腰直角三角形设 ，则 ，
由勾股定理得：
解得，
故答案为： 或 或
22． 或 3或5.4或6或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识的综合应用，熟
练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键；解题时注意，需要作辅助线构造直角
三角形；
（1）求出 的长，当点 在线段 上，或 时，满足条件；
（2）分四种情形：如图2，当 时， 为等腰三角形，如图3，当 时，
为等腰三角形，如图4，若点 在 上， ，如图5，当 时，分别求解即可；
解：（1）∵ ，
∴ ，动点 从点 开始，按 的路径运动，速度为每秒 ，
∴当点 在线段 上时， ．
∵ ，动点 从点 开始，按 的路径运动，且速度为每秒 ，
∴ 在 上运动时， 为直角三角形，
∴ ，
当 在 上时， 时， 为直角三角形（如图1中），解得： ，
∵速度为每秒 ，
综上所述：当 或 为直角三角形；
故答案为： 或 ；
（2）如图2，当 时， 为等腰三角形，
若点 在 上，则 ．
如图3，当 时， 为等腰三角形，
如图4，若点 在 上， ，作 于 ，
则根据面积法求得 ，
在 中，由勾股定理得， ，
此时 ．
如图5，当 时， 为等腰三角形，作 于 ，则 ，∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 为3或5.4或6或 时， 为等腰三角形；
故答案为：3或5.4或6或 ．
23．
【分析】取 中点 ， 中点 ， ，在 的外侧作 ， 的长度即为所求，
本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三
角形中位线， 角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位线和全等三角形，将 进行转化．
解：取 中点 ， 中点 ，作 ，使 ，作 ，交 延长线于点 ，
点 是 中点，点 是 中点，
， ，
，，
又 等边三角形 ，
，
，
又 ，
，
，
，当点 在线段 上时 取最小值，长度为线段 的长，
， ，
， ， ，
，
故答案为： ．
24． 或 / 或
【分析】当点 在线段 上时，作 于 ，由正方形的性质可得 ， ，
，证明 是等腰直角三角形， ， ，证明
得出 ，证明 是等腰直角三角形得出 ，
，最后由勾股定理 ，计算即可得出答案；当点 在射线 上
时，同样的方法即可求解．
解：点 在线段 上时，如图，作 于 ，四边形 是正方形， ，
， ， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，；
当点 在射线 上时，如图，作 于 ，
四边形 是正方形， ，
， ， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股
定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
25．（1） ； ；（2）
【分析】本题考查了矩形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
（1）根据点 、 的坐标求出 、 、 ，再根据路程 速度 时间求出 、 ，然后求出
，即可得出结论；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当 时，四边形 是矩形，然后列出方
程求解即可．
（1）解：∵ ， ，
， ， ，
当 时， ， ，
，
点 ， ；
故答案为： ； ；
（2）解：根据题意： ， ，
则 ，
当四边形 是矩形时， ，
，
解得： ，
时，四边形 是矩形．
26．（1） ；（2） ．【分析】（1）利用矩形的性质，得到 ，利用勾股定理列式计算即可求解；
（2）由菱形 ，得 ，利用勾股定理列式计算即可求解．
（1）解：∵矩形 ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得：
，
解得 ，
∴ ；
（2）解：∵菱形 ，
∴ ，
设 ，
由勾股定理得：
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ．
27．（1） ；（2）见详解
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，利用已知条件
证明 是解题的关键．
（1）由已知 得 ，再根据菱形的性质得 ，再由 ，证明
≌ ；
（2）同（1）可得 ≌ ，得 ，再由 ， 证得 ，所以
．
解：（1）证明： 四边形 是菱形，
，
，
，，
≌ ，
．
（2）证明： 四边形 是菱形，
，
，
，
，
≌ ，
，
， ，
∴由勾股定理，得 ，
，
．
28．（1） ， ；（2）当 或 或 时， 为等腰三角形．
【分析】（1）根据图②三角形 的面积，可得矩形的长和宽；
（2）当 为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算 和 的长，
可得 的值．
（1）解：由图②知： ，
当 时， 与 重合， ，
，
，
∵四边形 是矩形，∴ ，
故答案为 ， ；
（2）解：当 为等腰三角形时，分三种情况：
①当 时，如下图所示，过 作 于 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
②当 时，如下图所示， 在 的延长线上，此时正方形 是正方形，
∴③当 时，如下图所示，过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
同理得： （ ），
∴ ，
∴ ，
综上，当 或 或 时， 为等腰三角形．
【点拨】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，等
腰三角形的判定及性质，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度
适中．
29．（1） ； ；（2）见分析；（3）
【分析】（1）连接 ，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明 即可证得结论；
（2）同（1）的方法得出 ，再用含30度角的直角三角形得出 ，即可得出结论；
（3）结合（1）（2）的方法，即可得出结论．
（1）解：如图①，连接 ，延长 交 于点 ， 与 的交点为 ，
四边形 是菱形，，
，
是等边三角形，
， ；
是等边三角形，
， ，
，
，
；
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
四边形 为菱形，
，
为菱形 的对角线，
，
；
故答案为： ， ；
（2）证明：如图②中，连接 ，交 于 ，菱形 ， ，
和 都是等边三角形，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
菱形 的对角线 与 相交于 ，
， ，
在 中， ，
；
（3）解： ．
理由：如图③，连接 ，交 于 ，
同（2）的方法得， ，
同（1）的方法得 ，
．故答案为： ．
【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角
三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
30．（1） 或 ；（2）见分析；（3） ；（4）1或 ．
【分析】（1）利用含 角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可；
（2）连接 ，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点 的临界值时的 值，从而得到 的取
值范围；
（4）画出符合题意的图形，利用 的长度列出关于 的方程解答即可．
（1）解： ， ， ，
，
，
．
四边形 为平行四边形，
．
①当 时， ，
②当 时，
（2）证明：连接 ，如图，
在 中， 为对角线 的中点，
经过点 ， ，
四边形 为平行四边形，
，
．
在 和 中，，
，
（3）解：①当点 与点 重合时，如图，
由题意得： 为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
②当点 落在 边上时，如图，
由题意得： 为等边三角形，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
， ，．
．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
当点 在 内部时， 的取值范围为：
（4）①当点 在边 上运动时， 经过点 时， 与 的重叠部分图形是轴对称的三角
形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②当点 在边 上运动时，如果 ，则， 与 的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，
，
，
．
综上，当 与 的重叠部分图形是轴对称的三角形时， 的值为1或 ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性
质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解
答是解题的关键．
