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专题 18.7 正方形中的几何综合
◆ 典例分析
【典例1】在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，垂足为点E，
EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．
（1）如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是________．证明此猜想时，可取AB的中
点P，连接EP．根据此图形易证△AEP≌△EFC．则判断△AEP≌△EFC的依据是______
（2）点E在BC边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接AF，DF，若正方形ABCD的边长为4，求△AFD周长的取值范围．
【思路点拨】
（1）取AB的中点P，连接EP．先证AP=EC，再证∠APE=∠ECF，∠BAE=∠CEF，然后由ASA证
△AEP≌△EFC，即可得出结论；
（2）①在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，证△AEP≌△EFC(ASA)，即可得出结论；
②过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，证△DCH是等腰直角三角形，则点H与D关于CF
对称，得DF=HF，AF+DF=AF+FH，当A、F、H三点共线时，AF+FH即AF+DF最短，此时
AF+DF=AH，BH=BC+CH=2，再由勾股定理得AH=2❑√5，此时c=AD+AF+DF=2+2❑√5；当
DF=FH与CD相等时，即A、D、F三点共线，此时AD+AF+DF=2+4+2=8，则
c”“=”或“<”）；
（2）求证：∠APB=∠DFP；（3）用等式表示线段PA，PB，PF之间的数量关系，并证明．
26．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图1，正方形ABCD中，E, F分别为AB, AD上的点，AF=BE，
BF与CE交于点H．
（1）求证：BF⊥CE；
（2）如图2，连接AC, BF交AC于点M，O为AC的中点，OB交CE于点N，连接OH．
求证：CH−BH=❑√2OH；
（3）如图3，若正方形ABCD的边长为8，P, Q是AC上两动点，且PQ=❑√2，请直接写出
BQ+PQ+DP的最小值．
27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE=AB，
M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于O，MN交ED于H点．
（1）求证：AO=BO；
（2）求证：∠HEB=∠HNB；PE−PA
（3）过A作AP⊥ED于P点，连接BP，则 的值．
PB
28．（24-25八年级下·山东临沂·期中）在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上的任意一点，连接
AE，把线段AE绕着点E顺时针旋转90°得线段EF（即AE⊥EF，AE=EF），连接CF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求线段CF与BE的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在CB的延长线上时，在图2中补全图形，再探究线段CF与BE的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=1，BE=2，请直接写出BF的长度为________．
29．（24-25八年级下·福建莆田·期中）在正方形ABCD中，E是AB边上一点（不与点A，B重合），作点
D关于CE的对称点F，连接CF．
（1）如图1，连接EF，若EC=EF，求证：E是AB的中点；（2）如图2，连接BF，DF，作BG⊥DF于点G，M，N分别为BF，DG的中点，连接AN，MN．
①求∠GFB的大小；
②猜想线段AN与MN的关系，并证明．
30．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知四边形ABCD是正方形，点E是射线BC上一点，AE⊥EF
（点F在直线AE的右侧），AE=EF，FG⊥BC于点G．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△ABE≌△EGF；
（2）射线GF与射线BD交于点M，BM和AF交于点O．
①如图2，当点E在线段BC上时，求证：BM与AF互相平分；②连接AC，OC，若AB=4，CE=1，请直接写出△AOC的面积．
31．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知：正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，过点B作
BH⊥AP交边CD于H．
（1）如图1，求证：AP=BH；
（2）如图2，把线段BH沿BA向上平移到MN位置，连接BD，MN分别交AB、AP、BD、DC于点M、
E、F、N
①若E为AP中点，AB=6，BP=2，求EF的长；
②如图3，在EN上截取EQ=AE，连接CQ，G为CQ中点，连接DG，DE．若DG=3，求DE的长．32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，四边形ABCD为正方形，连接BD，BD上有一点E在
CF的垂直平分线上，连接AE，EF．
（1）如图1，求证：AE=EF；
（2）如图2，连接AF，求证：∠EAF=45°；
（3）如图3，射线AE交边CD于点H，交BC的延长线于点K，△FCH的周长为12，CK=2BC，连接
BH交AF于点P，求PH的长．33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形ABCD、正方形CEFG，连接AF，取AF的中
点H，连接CH、GH．
（1）【尝试探究】如图1，当点D落在CG上时，则AF=______CH；
（2）【深入探究】如图2，将正方形CEFG绕着点C旋转至点F落在AD的延长线上．求证：GH⊥AF；
（3）【拓展应用】如图3，继续将正方形CEFG绕着点C旋转，连接DH交CG于点P，连接DG，若点P
为CG的中点，△CDH的面积为2，则线段DG的长为______．34．（2025·黑龙江绥化·二模）已知正方形ABCD中，点E在边AB上，连接DE．
【尝试初探】
（1）当点G在边AD上时，作GF⊥DE，如图①，GF与边BC相交于点F，直接写出BF,AE,AG三条
线段的数量关系；
【深入探究】
（2）当点G在边DA的延长线上时，作GF⊥DE，如图②，GF与边BC相交于点F，试判断
BF,AE,AG三条线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）当点G与点D重合时，作GF⊥DE，如图③，GF与边BC的延长线相交于点F，连接EF，取EF的中点P，连接PC，试判断BE与PC的数量关系，并说明理由．
