文档文本内容
专题 18.7 正方形中的几何综合
◆ 典例分析
【典例1】在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，垂足为点E，
EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．
（1）如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是________．证明此猜想时，可取AB的中
点P，连接EP．根据此图形易证△AEP≌△EFC．则判断△AEP≌△EFC的依据是______
（2）点E在BC边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接AF，DF，若正方形ABCD的边长为4，求△AFD周长的取值范围．
【思路点拨】
（1）取AB的中点P，连接EP．先证AP=EC，再证∠APE=∠ECF，∠BAE=∠CEF，然后由ASA证
△AEP≌△EFC，即可得出结论；
（2）①在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，证△AEP≌△EFC(ASA)，即可得出结论；
②过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，证△DCH是等腰直角三角形，则点H与D关于CF
对称，得DF=HF，AF+DF=AF+FH，当A、F、H三点共线时，AF+FH即AF+DF最短，此时
AF+DF=AH，BH=BC+CH=2，再由勾股定理得AH=2❑√5，此时c=AD+AF+DF=2+2❑√5；当
DF=FH与CD相等时，即A、D、F三点共线，此时AD+AF+DF=2+4+2=8，则
c<AD+AF+DF=8；即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：（1）如图1，取AB的中点P，连接EP．1
则AP=BP= AB，
2
∵点E是BC的中点，
1
∴BE=CE= BC，
2
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∴AP=EC，∠BAE+∠AEB=90°，BP=BE，∠DCG=90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，
∴∠APE=180°−∠BPE=180°−45°=135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=∠GCF=45°，
∴∠ECF=180°−∠GCF=180°−45°=135°，
∴∠APE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AEP和△EFC中，
{∠PAE=∠CEF
)
AP=EC ，
∠APE=∠ECF
∴△AEP≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF，
故答案为：AE=EF，ASA；
（2）解：①成立，理由如下：
如图2，在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，
则AP=EC，由（1）得：∠PAE=∠CEF，
∵BP=BE，∠B=90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，
∴∠APE=180°−∠BPE=180°−45°=135°，
∴∠APE=∠ECF，
在△AEP和△EFC中，
{∠PAE=∠CEF
)
AP=EC ，
∠APE=∠ECF
∴△AEP≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF；
②如图3，过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，
∵∠DCF=45°，
∴∠CDH=45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴点H与D关于CF对称，
∴DF=HF，
∴AF+DF=AF+FH，
当A、F、H三点共线时，AF+FH即AF+DF最短，
此时AF+DF=AH，BH=BC+CH=4，
在 中，由勾股定理得： ，
Rt△ABH AH=❑√AB2+BH2=❑√22+42=2❑√5
此时c=AD+AF+DF=2+2❑√5；
当DF=FH与CD相等时，即A、D、F三点共线，
此时AD+AF+DF=2+4+2=8，
则c<AD+AF+DF=8；
∴△AFD的周长c的取值范围是2+2❑√5≤c<8．◆ 学霸必刷
1．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD
上的动点，且BE=CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．2❑√5 D．4
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，裁剪出一正方形纸片ABCD，若AB=4，且E为BC的中点，
将△ABE沿着AE所在直线折叠，使点B落在正方形内点F处，连接CF，请你探究求出△ECF的面积为
（ ）
4❑√5 8❑√5 8 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
3．（2025·重庆·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为20,AG=CH=16,BG=DH=12，连接GH，
则线段GH的长为（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．4 D．4❑√2
4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=3，M，
N分别为边CD，AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ）A．4 B．2❑√3 C．2❑√5 D．2❑√6
5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，连接BE，过点C作
CF⊥BE于点G，交AB于点F，连接AG并延长交BC于点H．若∠BAH=∠ACF，AG=2，则AE的长
为（ ）
❑√10
A．❑√2 B． C．❑√3 D．❑√5
2
6．（24-25九年级下·重庆江津·期中）如图，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接AE，过点E
作EF⊥AE，交BC于点F，己知DE=2，AE=2❑√5，则BF的长为（ ）
❑√2 3❑√2
A． B．❑√2 C． D．2❑√2
2 2
7．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，折叠正方形纸
片，使AD落在AC上，点D恰好与AC上的点F重合，展开后折痕AE分别交CD，BD于点E、G，连结
EF、GF，则下列结论错误的是（ ）A．∠AED=67.5° B．CE=❑√2DE
C．四边形DEFG是菱形 D．S =2S
△GEF △OGF
8．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过
点A作AE的垂线交DE于点P，连接BP．若AE=AP=1，PB=❑√5．下列四个结论中：①
；② ；③点 到直线 的距离为 ；④ ．其中正确结论
△APD≌△AEB EB⊥ED B AE ❑√2 S =4+❑√6
正方形ABCD
的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接
DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结
论：①矩形DEFG是正方形；②CE+CG=❑√2CD；③∠GCF=45°；④CE=CF．下列正确的选项是
（ ）
A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④
10．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）在正方形ABCD中，G为BC边上一点，连接AG交BD于点H，过
点H作AG．的垂线交CD于点E，连接AE、EG，若∠DAE=α，则∠EGC的度数是（ ）A．90°−2α B．90°−α C．2α D．67.5°−α
11．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为CD上
一点，BF⊥AE，CG⊥BF，垂足分别为F、G，连接OG、OF，AO与BF交于点H，在下列结论中：
①AF=BG；②△GOF是等腰三角形；③BG+FH=GH；④HG2+H F2=2HO2；⑤OG平分∠FGC
正确个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（2025·浙江杭州·一模）如图，E是正方形ABCD的边CD上一动点（不与C，D重合），连结AE，
以AE为边作正方形AEFG，点M是AF的中点，连结CM．给出下列结论：①2CM=❑√2AE；②点B，
M，D三点共线，则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
13．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点E是正方形ABCD内一点，且BE⊥CE，垂足为E，连接DE，点P，
Q分别是AD，DE的中点，若BC=10，则PQ的最小值是 ．14．（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，E是DC延长线上一
个动点，点G在射线CB上（不与点C重合），H是DF的中点，连接GH．若AD=8，则GH的最小值为
．
15．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知△ABC中，AB=4，AC=2，以AB、AC为边作正方形
ABDE、正方形ACFG，连接EG，取BC和EG中点N、M，连接MN，则MN的最大值为 ．
16．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，
BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=3GB，
1
则OM+ FG的最小值是 ．
2
17．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG, CF, BF，下列结论：①
1
AG垂直平分BF；②∠BFC=90°；③S =17；④∠GAE= ∠D，其中正确的是 ．
△AGE 2
18．（2025九年级下·江苏南通·专题练习）正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OH⊥BC于点
EH
H，点E是AB上一点且2∠AOE=∠EHB，则 的值为 ．
CD
19．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，正方形ABCD的边长为❑√2，点E，G分别为边AD，BC的中点，
连接BE，将△ABE沿BE翻折至同一平面得到△FBE．边CD上有一点H，连接GH，又将△CGH沿GH
翻折至同一平面得到△PGH，若点P恰好落在BF上，则此时折痕GH的长为 ．
20．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，已知F、E分别是边长2为的正方形ABCD的边AB,BC的
动点，且AF=BE，AE与DF交于点G，连接CG、BG，则下列结论：①∠AGD=90°，②BG的最小值
为❑√5−1，③若点E，F分别为CB、AB边上的中点，则CG=AB，④若点E，F分别为CB、AB边上的中
点¿+GF=❑√2GB．其中正确结论的有 ．21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动
点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接BE，下列结论：①BE=DE；②
CE=CF；③△BEF是等腰三角形；④AB=CF+❑√2CE．其中结论正确的序号有 ．
22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AD，BC上，
将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形EFNM，点A的对应点M恰好落在直线CD上．若DM=1，则线段
BF的长度为 ．
23．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的点，连
接DE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求证：△ADE≌△CDG；
（3）当五边形DEFCG为轴对称图形时，若AB=❑√2，直接写出BF的长．24．（2025·江苏扬州·二模）在正方形ABCD中，点E是射线BD上的一个点，以CE为边向右侧作正方形
CEFG．
（1）如图1，当点E在线段BD上时，求证：BD=DG+DE；
（2）如图2，当点E在线段BD的延长线上时，猜想线段BD、DG、DE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点M为线段EF的中点，连接AM，若AB=4，则AM的最小值为________．
25．（24-25八年级下·北京密云·期中）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点（不与B，C重合），
点D关于直线AE的对称点是点F，连接AF，BF，直线AE，BF交于点P，连接DF．
（1）在图1中补全图形，∠AFD_____∠BAP（填“>”“=”或“<”）；
（2）求证：∠APB=∠DFP；（3）用等式表示线段PA，PB，PF之间的数量关系，并证明．
26．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图1，正方形ABCD中，E, F分别为AB, AD上的点，AF=BE，
BF与CE交于点H．
（1）求证：BF⊥CE；
（2）如图2，连接AC, BF交AC于点M，O为AC的中点，OB交CE于点N，连接OH．
求证：CH−BH=❑√2OH；
（3）如图3，若正方形ABCD的边长为8，P, Q是AC上两动点，且PQ=❑√2，请直接写出
BQ+PQ+DP的最小值．
27．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图1，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE=AB，
M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于O，MN交ED于H点．
（1）求证：AO=BO；
（2）求证：∠HEB=∠HNB；PE−PA
（3）过A作AP⊥ED于P点，连接BP，则 的值．
PB
28．（24-25八年级下·山东临沂·期中）在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上的任意一点，连接
AE，把线段AE绕着点E顺时针旋转90°得线段EF（即AE⊥EF，AE=EF），连接CF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求线段CF与BE的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在CB的延长线上时，在图2中补全图形，再探究线段CF与BE的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=1，BE=2，请直接写出BF的长度为________．
29．（24-25八年级下·福建莆田·期中）在正方形ABCD中，E是AB边上一点（不与点A，B重合），作点
D关于CE的对称点F，连接CF．
（1）如图1，连接EF，若EC=EF，求证：E是AB的中点；（2）如图2，连接BF，DF，作BG⊥DF于点G，M，N分别为BF，DG的中点，连接AN，MN．
①求∠GFB的大小；
②猜想线段AN与MN的关系，并证明．
30．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知四边形ABCD是正方形，点E是射线BC上一点，AE⊥EF
（点F在直线AE的右侧），AE=EF，FG⊥BC于点G．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△ABE≌△EGF；
（2）射线GF与射线BD交于点M，BM和AF交于点O．
①如图2，当点E在线段BC上时，求证：BM与AF互相平分；②连接AC，OC，若AB=4，CE=1，请直接写出△AOC的面积．
31．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知：正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，过点B作
BH⊥AP交边CD于H．
（1）如图1，求证：AP=BH；
（2）如图2，把线段BH沿BA向上平移到MN位置，连接BD，MN分别交AB、AP、BD、DC于点M、
E、F、N
①若E为AP中点，AB=6，BP=2，求EF的长；
②如图3，在EN上截取EQ=AE，连接CQ，G为CQ中点，连接DG，DE．若DG=3，求DE的长．32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，四边形ABCD为正方形，连接BD，BD上有一点E在
CF的垂直平分线上，连接AE，EF．
（1）如图1，求证：AE=EF；
（2）如图2，连接AF，求证：∠EAF=45°；
（3）如图3，射线AE交边CD于点H，交BC的延长线于点K，△FCH的周长为12，CK=2BC，连接
BH交AF于点P，求PH的长．33．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形ABCD、正方形CEFG，连接AF，取AF的中
点H，连接CH、GH．
（1）【尝试探究】如图1，当点D落在CG上时，则AF=______CH；
（2）【深入探究】如图2，将正方形CEFG绕着点C旋转至点F落在AD的延长线上．求证：GH⊥AF；
（3）【拓展应用】如图3，继续将正方形CEFG绕着点C旋转，连接DH交CG于点P，连接DG，若点P
为CG的中点，△CDH的面积为2，则线段DG的长为______．34．（2025·黑龙江绥化·二模）已知正方形ABCD中，点E在边AB上，连接DE．
【尝试初探】
（1）当点G在边AD上时，作GF⊥DE，如图①，GF与边BC相交于点F，直接写出BF,AE,AG三条
线段的数量关系；
【深入探究】
（2）当点G在边DA的延长线上时，作GF⊥DE，如图②，GF与边BC相交于点F，试判断
BF,AE,AG三条线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）当点G与点D重合时，作GF⊥DE，如图③，GF与边BC的延长线相交于点F，连接EF，取EF的中点P，连接PC，试判断BE与PC的数量关系，并说明理由．
