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专题 2-3 勾股定理（考题猜想，利用勾股定理判定直角的六种常用方法）
方法1：利用三边的数量关系证明直角
【例题1】（22-23八年级下·湖北十堰·阶段练习）a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上
的高．有下列说法：
① 能组成三角形；② 能组成三角形；
③ 能组成直角三角形；④ 能组成直角三角形
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（22-23八年级下·湖南湘西·期中）如上图所示， 中，
，斜边上的高 ，以 的长为三角形的三边构造一个新
，若按角分类， 是 三角形．
【变式2】（22-23八年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）已知如图，在四边形 中，已知 ， ，
， ，若 ，求证 ．【变式3】（22-23八年级下·浙江·期中）如图，平行四边形 的对角线 与 交于点 ，若
， ， ．
(1)猜想 的度数，并证明你的猜想；
(2)求平行四边形 的周长．
方法2：利用转换为三角形法构造直角三角形
【例题2】（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形 中，对角线 ， 相交于 ，过
点 作 交 于点 ，若 ， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，， ，求四边形 的面积．
【变式3】（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，
B，C，D是网格线的交点．
(1)探索 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求四边形 的面积．
方法3：利用倍长中线法构造直角三角形
【例题3】（22-23八年级下·重庆巴南·期中）如图，在 中，点 是边 的中点，且 ， ，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，在 中，点D为 的中点，
，则：（1） 的度数为 ；
（2） 的面积是 ．
【变式2】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知直角 ， ，D是斜边 的中点，
E、F分别是 、 边上的点，且 ，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图1，求证： ；
(3)如图2，当 ，若 ， ，求 的面积．
【变式3】（20-21八年级下·辽宁大连·期中）如图，四边形 、 都是正方形， 是 的中点，
连接 、 ．
(1)当 、 、 三点共线时，求证： ，且 ．
(2)当 、 、 三点不共线时，（1）中的结论是否成立，并加以证明．方法4：利用化分散为集中法构造直角三角形
【例题4】（20-21八年级上·广东惠州·期末）如图， 中， ，在斜边 上取点 ，
（不包含 、 两点），且 ，设 ， ， 则以下结论能成立的
是( )
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角 的斜边 上任取两点 ，
使 ，记 ，则以 为边长的三角形的形状是 ．
【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期中）若 的三边 ， ， 满足
，则 的面积是 ．
【变式3】（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）定义：如图1，点 把线段 分割成 和
，若以 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 是线段 的勾股分割点．
(1)如图1，已知点 是线段 的勾股分割点，且线段 是线段 和 中最长的，若
，则线段 的长为____________ ；
(2)如图2，已知点 在线段 上，且 ，点 在 上，且 ， 是线段 的勾股分割点，求线段 的长；
(3)如图3，在 中， ，点 在斜边 上，且 ，求证：点
是线段 的勾股分割点．
方法5：利用“三线合一”法构造直角三角形
【例题5】（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图， 中， ， 交 于E，C为
上一点， ．若 ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式1】（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，等腰三角形 的底边 长为 ，腰 的长
为 ，腰 的垂直平分线 分别交 ， 边于 点．若点 为 边的中点，点 为线段
上一动点，则 周长的最小值为 .
【变式2】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·阶段练习）在等腰直角三角形 中， ，
点 为 的中点，以 为斜边作直角三角形 ，连接 ．
(1)当点 在 的内部时，如图①，求证： ；(2)当点 在 的外部时，如图②、图③，线段 之间又有怎样的数量关系？请直接写出猜
想，不需要证明．
(3)若 则 _________， _________．
【变式3】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图1， 和 都是等腰直角三角形， ，
， 的顶点 在 的斜边 上，连接 ， 交 于点 ， ，垂足为 ，
的延长线交 于点 ．
(1)填空：① ______ （填写“＞”“＜”或“ ”）；② ______ ；
(2)证明： ；
(3)①记四边形 ， ， ， ， 的面积依次为 ， ， ， ， ，若满足
， ，求 的值；
②在线段 上取一点 ，连接 ， ，如图2，当 平分 时，求 的值．方法6：利用旋转法构造直角三角形
【例题6】（22-23八年级下·广东河源·期中）如图，在 中， ， ， 为 的中
点，将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，使点 落在边 上，点 落在 的延长线上，连接
， ， ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 是等边三角形 D． 垂直平分
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，已知正方形 的边长为2，点E是边 的中点，
连接 ，将线段 绕点E旋转得到线段 ，连接 ，当 时， 的长为 ．
【变式2】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，P是等边三角形ABC内一点，且 ， ，
．若将△APB绕点B按逆时针方向旋转后得到△CQB，求∠APB的度数．
【变式3】（22-23八年级下·广东佛山·期末）已知，在 中， ，点 为 边上一点，连接
，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ．(1)如图 ，当 时，
①求证： ；
②当 的周长取最小值为 时，求 的周长；
(2)如图 ，当 ， 时，若 ，求 的值．
