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专题 2-2 勾股定理（考题猜想，巧用勾股定理解决折叠问题）
折叠问题是中考的热点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一
定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。
【方法总结】
利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：
1.运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
2. 在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为 x，将此直角三角形的三边长用数
或含有x的代数式表示出来；
3.利用勾股定理列方程求出 x；
4.进行相关计算解决问题
技巧1：巧用对称法求折叠中线段的长
【例题1】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）已知如图，折叠长方形的一边 ，点D落在 边的点
F处，已知 ， ，则 （ ）cm
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质等知识．由折叠的性质可知 ， ，
，由勾股定理得到 ，则 ，在 中，由勾股定
理列方程，解方程即可求解．【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ， ，
∵折叠长方形的一边 ，点D落在 边的点F处，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得到 ，
即 ，
解得 ．
∴ ，
故选：A
【变式1】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，折叠长方形纸片 的一边，使点D落在 边的
处， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合
思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
由四边形 为矩形， ， ，即可求得 与 的长，又由折叠的性质，即可得
，然后在 中，利用勾股定理求得 的长，即可得 的长，然后设 ，在
中，由勾股定理即可得方程： ，解此方程即可求得 的长．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
又∵ 是由 折叠得到，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，即 ．
【变式2】．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，长方形纸片 中， ，将纸片折叠，
使顶点 落在边 上的 点处，折痕的一端 点在边 上．
(1)如图（1），当折痕的另一端 在 边上且 时，求 的长
(2)如图（2），当折痕的另一端 在 边上且 时，
①求证： ．②求 的长．
【答案】(1)
(2)①详见解析；②6
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、平行线的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键．
（1）由折叠的性质可得 ，然后利用 表示 ，最后利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）①由折叠的性质可得 ，由平行线的性质可得 ，即可得出
，从而得证；②由折叠的性质可得 ，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，
纸片折叠后顶点 落在边 上的 点处，
，
，
，
在 中， ，即 ，
解得 ；
（2） 证明：如图 ，纸片折叠后顶点 落在边 上的 点处，
，
长方形纸片 的边 ，
，
，
；
解： 纸片折叠后顶点 落在边 上的 点处，
，
，
在 中， ，
．
【变式3】（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图，将矩形纸片 折叠，点A与点D重合，点C与点
B重合，将纸片展开，折痕为 ，在 边上找一点P，沿 将 折叠，得到 ，点D的对应
点为点Q.
问题提出：
（1）若点Q落在EF上， ，连接 .
① 是 三角形；
②若 是等边三角形，则 的长为 .
深入探究：
（2）在（1）的条件下，当 时，判断 的形状并证明；
拓展延伸；
（3）若 ， ，其他条件不变，当点Q落在矩形 内部（包括边）时，连接 ，直接写
出 的取值范围.【答案】（1）①等腰，②4
（2） 是等边三角形，证明见解析
（3）
【分析】（1）①由折叠性质可知 垂直平分 ，推出 ，得到 是等腰三角形；②由折叠
性质得到 ，根据等边三角形性质得到 ，根据矩形性质得到， ；
（2）根据（1）结论得到 ，根据矩形性质得到 ，推出 ，得到
是等边三角形；
（3）连接 ，以点C为圆心， 长为半径作圆交 于点G，交 于点H，交 于点I，连接 、
、 ， 得到 ，根据矩形性质得到 ， ， ，
根据勾股定理得到 ，推出 ，根据折叠性质得到 ，根据勾股定理得到
，推出 ，根据勾股定理得到 ，根据 和勾股定理得到 ，根据点Q在
上运动， 推出 ．
【详解】（1）①如图1，
∵将矩形纸片 沿 折叠，点A与点D重合，点C与点B重合，
垂直平分 ，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰；
②由折叠知， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为：4；
（2）解： 是等边三角形，证明如下：如图1，由（1）得 ，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（3）解：如图2，连接 ，以点C为圆心， 长为半径作圆交 于点G，交 于点H，交 于点
I，连接 、 、 ，
则 ，
， ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∵点Q在 上运动，
∴ ，
的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查了矩形，轴对称，等腰三角形，等边三角形，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌
握矩形的性质，轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定
和性质，勾股定理解直角三角形
技巧2：巧用方程思想求折叠中线段的长【例题2】（22-23八年级下·四川德阳·期中）如图，矩形 如图放置在平面直角坐标系中，其中
，若将其沿着 对折后， 为点A的对应点，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定．根据平行线的性质得到
，由折叠的性质得到 ，求得 ，设 ，则 ，根据
勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵长方形 中， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
由折叠的性质得， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故选：B
【变式1】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在 中， ， ， 是
边上的动点，点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于 ，当 为直角三角形时， 的
长是 ．【答案】5或2
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质．当 时，先求
出 及 的长，再在 中利用勾股定理求出 ；当 时，作 ，证明出
为等腰直角三角形即可求出 即可．
【详解】解：当 时，如图，
， ，
，
，
，
由折叠得 ， ，
，
设 ，
，
在 中， ，
，即 ；
当 时，如图，作 ，
， ，
，
，
，
．
故答案为：5或2【变式2】（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图（1），已知直线 与x轴、y轴分别交于
点A，C，以 为边在第一象限内作矩形 ．
(1)求点A，C的坐标；
(2)如图（2），将 对折，使得点A与点C重合，折痕分别交 于点D，E，求直线 的解析
式；
(3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得 与 全等？若存在，请求出所有符合条件
的点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)满足条件的点 有三个，分别为 或 或 ．
【分析】本题主要考查对于一次函数图象的应用以及勾股定理的运用和全等三角形的判定，解题的关键是
掌握以上知识点．
（1）已知直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，即可求得 和 的坐标；
（2）根据题意可知 是等腰三角形，由折叠的性质和勾股定理可求出 长，即可求得 点坐标，最
后即可求出 的解析式；
（3）将点 在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点
的坐标．
【详解】（1）解：当 时， ，
；
当 时， ，解得 ，
；
∴ ； ；
（2）解：由折叠知： ．
设 ，则 ， ，
根据题意得： ，解得： ，
此时， ， ，
设直线 为 ，
∴ ，解得 ，
直线 解析式为 ；
（3）解：①当点 与点 重合时，显然 ，此时 ；
②当点 在第一象限时，如图，
由 得 ，
则点 在直线 上．过 作 于点 ，
由（2）得 ， ， ，
由 得： ，
，
，把 代入 得 ，
此时 ，
③当点 在第四象限时，如图，
由（2）同理可求得： ，根据勾股定理 ，
，
此时 ．
综合得，满足条件的点 有三个，分别为 或 或
【变式3】．（21-22八年级下·广东佛山·期末）如图，把矩形纸片 放入直角坐标系中，使 ，
分别落在 轴， 轴的正半轴上，连接 ，且 ， ．
(1)求 所在直线的解析式；
(2)将纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，求折叠后纸片重叠部分的面积；
(3)若过一定点 的任意一条直线总能把矩形 的面积分为相等的两部分，则定 的坐标为 ．
【答案】(1)
(2)折叠后重叠部分的面积为10
(3)
【分析】（1）设 ，则 ，在 中，根据勾股定理得到 ，则 ，解得
，得到 ， ，然后利用待定系数法确定直线 的解析式；
（2）设 ，根据折叠的性质得 ， ，则 ，再根据勾股定理
得到 ，解得 ，即 ，接着利用 得到 ，则 ，
所以 ，然后根据三角形面积公式计算 ；
（3）先确定 和 点的坐标，然后利用待定系数法确定直线 的解析式；
（4）根据重心的性质得到经过矩形 的对角线的交点的直线总能够把矩形 的面积平均分为两部
分，然后根据线段中点坐标公式求解．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
在 中， ，，解得 ，
， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ．
所在直线解析式为 ；
（2）设 ，
纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，
， ，
，
在 中， ，
，解得 ，
即 ，
，
，
，
，
，
即折叠后重叠部分的面积为10；
（3）经过矩形 的重心的直线总能够把矩形 的面积平均分为两部分，而矩形 的重心为对
角线的交点，即线段 的中点，
， ，
线段 的中点坐标为 ．
定点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题属于一次函数综合题，考查了折叠的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次
函数解析式，以及矩形的性质，熟练掌握待定系数法以及折叠的性质是解本题的关键
技巧3：巧用折叠探究线段之间的数量关系
【例题3】（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着
丰富的数学知识．(1)折一折、猜想计算：
如图①：把边长为8的正方形纸片 对折，使边 与 重合，展开后得到折痕 ．
如图②：将正方形纸片 沿经过点A的直线折叠，使点 落在 上的点 处，展开后连接 ，
图②中， 为_________三角形，线段 _________；
(2)折一折、类比探究：如图③将正方形纸片 折叠，使点 落点 处，折痕与 边交于点 ，与
边交于点 ，展开后连接 ．
①猜想线段 与线段 之间的关系_________；
② _________；
(3)折一折、探究证明：如图④：将正方形纸片 沿经过点A的直线 折叠，使点 落在正方形纸片
内部的点 处，折痕与 边交于点 ，展开后延长 交 于点 ．
猜想 与 的数量关系并证明；若 ，则 _________．
【答案】(1)等边，
(2)①垂直、相等；②3
(3) ，证明见解析；
【分析】（1）由折叠性质得， 是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形，
由等边三角形的性质可得 ， ， ， ，因此 是等边
三角形， ．
（2）①过点N作 ，证得 ，即可解答．
②设 , ，则 ， ，由勾股定理得 ，解得x的值，即可解答 ．
（3）连接 ，易知 ，所以 ，设 ，则 ， ， ，由勾股定理得 ，解得x的值，再由三角形面积
公式即可解答．
【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下；
由第一次折叠知， 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）①垂直、相等；
若 ，
则 ；
过点N作 ，
即 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵正方形 中， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴
②设 , ，
则 ， ，
由勾股定理得 ，
解得： ，
∴ ．
（3）证明：连接 ，
由折叠性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ， ，
∴由勾股定理得 ，
∴解得： ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的
关键
【变式1】（20-21八年级上·福建泉州·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片 ．
(1)操作发现： 如图2，将图1中的矩形纸片沿对角线 折叠，使点B落在点 处， 交 于点M，
若 ， ，则 ____．
(2)如图3，将图2中的纸片展平，再次折叠，使点A与点C重合，折痕为 ，然后展平，则以点A，F，
C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．
(3)实践探究：如图4，将图3中的EF隐去，点G为边 上一点，且 ，将纸片沿 折
叠，使点B落在点 处，延长 与 的延长线交于点H，则 与 有何数量关系？并说明理由．
【答案】(1)5
(2)以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）利用折叠的性质和角平分线定义以及勾股定理解答即可得出结论；
（2）利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论；
（3）先判断出 ，进而判断出 ，得出 ，最后判断出
即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠知， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
由折叠性质得出， ， ， ，
设 为x， ，
由勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ．故答案为：5．
（2）解：菱形，理由：如图3，连接 ，设 与 的交点为M，
由折叠知， ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ （ASA），
∴ ，
∴ ，
∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形；
（3）解： ，理由：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
由折叠知， ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，菱
形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活应用所学知识解决问题是解本题的关键【变式2】（21-22八年级下·全国·单元测试）在 中， ， ，M是 边的中点，
过点M作 交 于点P，交 于点Q，试求 三者之间的数量关系，并证明你的
结论．
【答案】 ．证明见解析.
【分析】将 沿着 翻折得到 ，连接 ，由翻折可知 ， ，
，再利用 证出 ，从而得出 ， ，最后利用勾
股定理和等量代换即可证出结论．
【详解】解： ．证明如下：
如图，将 沿着 翻折得到 ，连接 ．
由翻折可知， ， ， ，
∴P，M， 三点共线．
∵M为 边中点，
∴ ．
在 和 中
∴ ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
在 中，
∵ ，∴ ．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠问题，掌握全等三角形的判定及性质、
利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键
【变式3】（22-23八年级下·江西宜春·期末）课本再现：
（1）如图1， 是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且 ．要修建两条路 和 ，这
两条路等长吗？它们有什么位置关系？ 和 的数量关系是：___________； 和 的位置关系是
___________；（无需证明）
知识应用：
（2）如图2， 是一个正方形草地，现要在内部修建两条路 ，且 ，
①请问这两条路 还相等吗？为什么？
②如图3，将边长为12的正方形纸片沿 折叠，点D落在 边上的点N处，若折痕 的长为13，求
此时 的长；
拓展延伸：
（3）如图4，将边长为12的正方形纸片沿 折叠，点D落在 边上的点N处， 与 交于点P，取
的中点M，连接 ，则 的最小值为___________，此时 的长度是___________．
【答案】（1） ， ；（2）① ，见解析，② ；（3） ；
【分析】（1）根据正方形性质可得， ，又有 ，因此可以得到 ，因此可以
证明得到 ，从而证明得到 ， ，根据三角形内角和定理可以得到
，等量代换即可得到 ，因此证明得到 ，从而证明得到
结论；
（2）①过F点作 于点P，过点M作 于点Q， 与 相交于点H，同（1），证明
，即可得到 ；
②连接 ，在 中，利用勾股定理求得 的长，设 ，则 ，在
中，利用勾股定理列式计算即可求解；
（3）当点P、M、C三点共线时， 的值最小，即 的长，利用勾股定理可求得 的长，再证
明 ，即可求解 的长．
【详解】解：猜想 ， ，理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ ，∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）① ，理由如下：
过F点作 于点P，过点M作 于点Q， 与 相交于点H，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∵ 于点P， 于点Q，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②连接 ，由折叠可得 ， ，由①中的结论得 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴在 中， ，
∴设 ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
（3）当点P、M、C三点共线时， 的值最小，即 的长，
根据勾股定理可求得 ，
由折叠的性质得 ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
同理 ．
∴由（2）得 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题
