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专题 2-2 勾股定理（考题猜想，巧用勾股定理解决折叠问题）
折叠问题是中考的热点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一
定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。
【方法总结】
利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：
1.运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
2. 在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为 x，将此直角三角形的三边长用数
或含有x的代数式表示出来；
3.利用勾股定理列方程求出 x；
4.进行相关计算解决问题
技巧1：巧用对称法求折叠中线段的长
【例题1】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）已知如图，折叠长方形的一边 ，点D落在 边的点
F处，已知 ， ，则 （ ）cm
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，折叠长方形纸片 的一边，使点D落在 边的
处， ， ，求 的长．【变式2】．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，长方形纸片 中， ，将纸片折叠，
使顶点 落在边 上的 点处，折痕的一端 点在边 上．
(1)如图（1），当折痕的另一端 在 边上且 时，求 的长
(2)如图（2），当折痕的另一端 在 边上且 时，
①求证： ．②求 的长．
【变式3】（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图，将矩形纸片 折叠，点A与点D重合，点C与点
B重合，将纸片展开，折痕为 ，在 边上找一点P，沿 将 折叠，得到 ，点D的对应
点为点Q.问题提出：
（1）若点Q落在EF上， ，连接 .
① 是 三角形；
②若 是等边三角形，则 的长为 .
深入探究：
（2）在（1）的条件下，当 时，判断 的形状并证明；
拓展延伸；
（3）若 ， ，其他条件不变，当点Q落在矩形 内部（包括边）时，连接 ，直接写
出 的取值范围.
技巧2：巧用方程思想求折叠中线段的长
【例题2】（22-23八年级下·四川德阳·期中）如图，矩形 如图放置在平面直角坐标系中，其中
，若将其沿着 对折后， 为点A的对应点，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5【变式1】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在 中， ， ， 是
边上的动点，点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于 ，当 为直角三角形时， 的
长是 ．
【变式2】（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图（1），已知直线 与x轴、y轴分别交于
点A，C，以 为边在第一象限内作矩形 ．
(1)求点A，C的坐标；
(2)如图（2），将 对折，使得点A与点C重合，折痕分别交 于点D，E，求直线 的解析
式；
(3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得 与 全等？若存在，请求出所有符合条件
的点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式3】．（21-22八年级下·广东佛山·期末）如图，把矩形纸片 放入直角坐标系中，使 ，
分别落在 轴， 轴的正半轴上，连接 ，且 ， ．
(1)求 所在直线的解析式；
(2)将纸片 折叠，使点 与点 重合（折痕为 ，求折叠后纸片重叠部分的面积；(3)若过一定点 的任意一条直线总能把矩形 的面积分为相等的两部分，则定 的坐标为 ．
技巧3：巧用折叠探究线段之间的数量关系
【例题3】（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着
丰富的数学知识．
(1)折一折、猜想计算：
如图①：把边长为8的正方形纸片 对折，使边 与 重合，展开后得到折痕 ．
如图②：将正方形纸片 沿经过点A的直线折叠，使点 落在 上的点 处，展开后连接 ，图②中， 为_________三角形，线段 _________；
(2)折一折、类比探究：如图③将正方形纸片 折叠，使点 落点 处，折痕与 边交于点 ，与
边交于点 ，展开后连接 ．
①猜想线段 与线段 之间的关系_________；
② _________；
(3)折一折、探究证明：如图④：将正方形纸片 沿经过点A的直线 折叠，使点 落在正方形纸片
内部的点 处，折痕与 边交于点 ，展开后延长 交 于点 ．
猜想 与 的数量关系并证明；若 ，则 _________．
【变式1】（20-21八年级上·福建泉州·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”
为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片 ．
(1)操作发现： 如图2，将图1中的矩形纸片沿对角线 折叠，使点B落在点 处， 交 于点M，
若 ， ，则 ____．
(2)如图3，将图2中的纸片展平，再次折叠，使点A与点C重合，折痕为 ，然后展平，则以点A，F，
C，E为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．
(3)实践探究：如图4，将图3中的EF隐去，点G为边 上一点，且 ，将纸片沿 折
叠，使点B落在点 处，延长 与 的延长线交于点H，则 与 有何数量关系？并说明理由．
【变式2】（21-22八年级下·全国·单元测试）在 中， ， ，M是 边的中点，
过点M作 交 于点P，交 于点Q，试求 三者之间的数量关系，并证明你的
结论．【变式3】（22-23八年级下·江西宜春·期末）课本再现：
（1）如图1， 是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且 ．要修建两条路 和 ，这
两条路等长吗？它们有什么位置关系？ 和 的数量关系是：___________； 和 的位置关系是
___________；（无需证明）
知识应用：
（2）如图2， 是一个正方形草地，现要在内部修建两条路 ，且 ，
①请问这两条路 还相等吗？为什么？
②如图3，将边长为12的正方形纸片沿 折叠，点D落在 边上的点N处，若折痕 的长为13，求
此时 的长；
拓展延伸：
（3）如图4，将边长为12的正方形纸片沿 折叠，点D落在 边上的点N处， 与 交于点P，取
的中点M，连接 ，则 的最小值为___________，此时 的长度是___________．
