文档内容
专题20 分式的条件求值技巧（原卷版）
第一部分 典例剖析+变式训练
技巧一 见比设K
题型一 设K法
x y z 2x+ y−z
典例1（2023春•叙州区月考）已知 = = ≠0，则 = ．
2 3 4 3x−2y+z
变式训练
a+b x y z x−y+3z
1．（2023春•江都市期末）若3a＝2b，则 的值为 ；若 = = ，则 = ．
b 4 3 2 x
2x−3 y+5z
2．已知x、y、z是三个非零实数，且x：y：z＝4：3：1，求分式 的值．
x+ y+z
法
题型二 设
3 4 5 xyz
典例2 已知 = = ，求代数式 的值．
x+ y y+z z+x (x+ y)(y+z)(z+x)
变式训练
1．（2021秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题：
x y z
题目：已知 = = （a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
a−b b−c c−a
x y z
解：设 = = =k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
a−b b−c c−a
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
y+z z+x x+ y x+ y−z
已知： = = ，其中x+y+z≠0，求 的值．
x y z x+ y+z技巧二 整体代入法
题型一 直接应用整体代入法
典例3（龙岩中考）若a、b满足a b ，则 a2+ab+b2 的值为 ．
+ =2
b a a2+4ab+b2
变式训练
1 1 4x+5xy−4 y
1．（2022秋•永川区期末）若分式 − =2，则分式 的值等于（ ）
x y x−3xy−y
3 3 4 4
A．− B． C．− D．
5 5 5 5
题型二 型式子的整体代入
典例4（2021春•婺城区校级期末）如果x 1 3，则 x2 的值等于
+ =
x 3x4+x2+3
变式训练
1．（2022春•江干区校级期中）（1）已知x﹣3y＝0（y≠0），求分式x2−3xy+ y2的值．
x2+ y2
1 1 1
（2）已知x− =3，求x2+ 和x4+ 的值．
x x2 x4
技巧三 倒数法
ab 1 bc 1 ca 1
典例 5 （2023 春•洛宁县期中）已知 a、b、c 为实数，且 = ， = ， = ．求
a+b 3 b+c 4 c+a 5
abc
的值．（提示：倒数）
ab+bc+ca针对训练
1．（2022秋•仓山区校级期中）阅读下面的解题过程：
已知： x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解： = 知x≠0，所以 =3，即x+ =3．
x2+1 3 x x
所以x4+1 x2 1 （x 1）2﹣2＝32﹣2＝7．
= + = +
x2 x2 x
故 x2 的值为1．
x4+1 7
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知： a 1，求 a2 的值．
=
a2−5a+1 4 a4+3a2+1
题型二 倒数法与整体法的综合运用
典例6（2021秋•嘉鱼县期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知： x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = 知x≠0，∴ =3，即x+ =3①
x2+1 3 x x
∴x4+1 x2 1 （x 1）2﹣2＝32﹣2＝7②，故 x2 的值为1．
= + = +
x2 x2 x x4+1 7
x2+1 1
（1）第①步由 =3得到x+ =3逆用了法则： ；
x x
1 1
第②步x2+ =(x+ ) 2−2运用了公式： ；
x2 x
（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知 x ，求 x2 的值；
=−1
x2−3x+1 x4−7x2+1
【拓展延伸】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc
（3）已知 + = ， + = ， + = ，求 的值．
a b 6 b c 9 a c 15 ab+bc+ac第二部分 专题提优训练
1 1 2a−5ab+4b
1．（2015春•茅箭区月考）已知 + =3，则代数式 的值为（ ）
a 2b 4ab−3a−6b
1 1
A．3 B．﹣2 C．− D．−
3 2
2．设3x−2y 2，则(3x+2y) 2−(x−3 y) 2 （ ）
= =
x+ y (4x−y) 2−(2x+2y) 2
39 39 39 39
A． B．− C． D．−
25 25 20 20
3．若x2﹣4x﹣1＝0，则 3x2 （ ）
=
x4−7x2+1
3 1 3
A． B．﹣1 C． D．−
11 3 5
{3x−4 y−z=0) x2+ y2+z2
4．（2021春•射洪市月考）已知 ，则 的值是 ．
2x+ y−8z=0 xy−yz+2xz
5．阅读下面的解题过程：
已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 2 x4+1
x 1
解：由 = 知x≠0，
x2+1 2
x2+1 1
所以 =2，即x+ =2，
x x
所以x4+1 x2 1 （x 1）2﹣2＝22﹣2＝2，
= + = +
x2 x2 x
所以 x2 的值为1
x4+1 2
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：已知，求的值．
