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专题20 分式的条件求值技巧（解析版）
第一部分 典例剖析+变式训练
技巧一 见比设K
题型一 设K法
x y z 2x+ y−z 3
典例1（2023春•叙州区月考）已知 = = ≠0，则 = ．
2 3 4 3x−2y+z 4
x y z
【思路引领】设 = = =k，根据比例的性质求出x＝2k，y＝3k，z＝4k，再代入求出答案即可．
2 3 4
x y z
【解答】解：设 = = =k，
2 3 4
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
2x+ y−z 4k+3k−4k 3
∴ = = ．
3x−2y+z 6k−6k+4k 4
3
故答案为： ．
4
a c
【总结提升】本题考查了比例的性质，能求出x＝2k，y＝3k，z＝4k是解此题的关键，注意：如果 = ，
b d
那么ad＝bc．
变式训练
a+b 5 x y z x−y+3z 7
1．（2023春•江都市期末）若3a＝2b，则 的值为 ；若 = = ，则 = ．
b 3 4 3 2 x 4
a 2 a+b
【思路引领】（1）由已知可得 = ，再根据比例的性质即可解得 的值；
b 3 b
x y z
（2）先设 = = =t，用t表示出x、y、z，再代入要求的式子即可．
4 3 2
【解答】解：（1）∵3a＝2b，
a 2
∴ = ，
b 3
a+b a 2 5
∴ = +1= +1= ；
b b 3 3
x y z
（2）设 = = =t，
4 3 2则x＝4t，y＝3t，z＝2t，
4t−3t+6t 7
所以 = ．
4t 4
5 7
故答案为： ， ．
3 4
【总结提升】本题主要考查了比例的性质，是基础题，比较简单．
2x−3 y+5z
2．已知x、y、z是三个非零实数，且x：y：z＝4：3：1，求分式 的值．
x+ y+z
【思路引领】设参数分别表示x、y、z，代入计算即可．
【解答】解：设z＝k，由于x：y：z＝4：3：1，因此x＝4k，y＝3k，
将x＝4k，y＝3k，z＝k代入得，
2x−3 y+5z 8k−9k+5k 4k 1
= = = ．
x+ y+z 4k+3k+k 8k 2
【总结提升】本题考查分式的值，设参数分别表示x、y、z，再代入计算是常用的方法．
法
题型二 设
3 4 5 xyz
典例2 已知 = = ，求代数式 的值．
x+ y y+z z+x (x+ y)(y+z)(z+x)
3 4 5 3 4 5 1
【思路引领】根据 = = ，可设 = = = ，从而可以得到x+y，y+z，z+x，
x+ y y+z z+x x+ y y+z z+x k
xyz
以及x，y，z的值，从而可以求得代数式 的值．
(x+ y)(y+z)(z+x)
3 4 5 1
【解答】解：设 = = = ，
x+ y y+z z+x k
则x+y＝3k，y+z＝4k，z+x＝5k．
∴（x+y）+（y+z）+（z+x）＝3k+4k+5k＝12k．
即，x+y+z＝6k．
∴x＝2k，y＝k，z＝3k．
xyz 2k×k×3k 1
∴ = = ．
(x+ y)(y+z)(z+x) 3k×4k×5k 10
xyz 1
即代数式 的值是 ．
(x+ y)(y+z)(z+x) 10
【总结提升】本题考查分式的化简求值，解题的关键巧设比的值，建立各个量之间的关系．变式训练
1．（2021秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题：
x y z
题目：已知 = = （a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
a−b b−c c−a
x y z
解：设 = = =k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
a−b b−c c−a
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
y+z z+x x+ y x+ y−z
已知： = = ，其中x+y+z≠0，求 的值．
x y z x+ y+z
【思路引领】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后
把x+y＝2z代入所求代数式．
y+z x+z x+ y
【解答】解：设 = = =k，
x y z
{y+z=kx(1)
)
则： ，
x+z=ky(2)
x+ y=kz(3)
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
2z−z z 1
∴原式= = = ．
2z+z 3z 3
【总结提升】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法．
技巧二 整体代入法
题型一 直接应用整体代入法
典例3（龙岩中考）若a、b满足a b ，则 a2+ab+b2 的值为 1 ．
+ =2
b a a2+4ab+b2 2
a2+b2
【思路引领】对已知代数式整理得 =2，即a2+b2＝2ab，则将此等式代入所求代数式即可求出其
ab
值．
a b
【解答】解：∵ + =2，
b aa2+b2
∴ =2，
ab
即a2+b2＝2ab，
3ab 1
则将此等式代入代数式得，原式= = ．
6ab 2
【总结提升】此题考查分式的化简与计算，解决这类题目关键是把握好通分与约分，同时注意整体代入
的方法．
变式训练
1 1 4x+5xy−4 y
1．（2022秋•永川区期末）若分式 − =2，则分式 的值等于（ ）
x y x−3xy−y
3 3 4 4
A．− B． C．− D．
5 5 5 5
1 1 4x+5xy−4 y
【思路引领】根据已知条件，将分式 − =2整理为y﹣x＝2xy，再代入则分式 中求值
x y x−3xy−y
即可．
【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；
∴x﹣y＝﹣2xy
将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得
4x+5xy−4 y 4(x−y)+5xy
=
x−3xy−y (x−y)−3xy
4×(−2xy)+5xy
=
−2xy−3xy
−3xy
=
−5xy
3
= ．
5
故选：B．
【总结提升】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可．
题型二 型式子的整体代入
典例4（2021春•婺城区校级期末）如果x 1 3，则 x2 的值等于 1
+ =
x 3x4+x2+3 221 1
1 1 1 = =
【思路引领】由x+ =3得x2+2+ =9，即x2+ =7，整体代入原式 3 1 ，
x x2 x2 3x2+1+ 3(x2+ )+1
x2 x2
计算可得．
1
【解答】解：∵x+ =3，
x
1 1
∴（x+ ）2＝9，即x2+2+ =9，
x x2
1
则x2+ =7，
x2
∵x≠0，
1
=
∴原式 3
3x2+1+
x2
1
=
1
3(x2+ )+1
x2
1
=
3×7+1
1
= ，
22
1
故答案为： ．
22
【总结提升】本题主要考查分式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用及利用分式的基本性
质对分式变形．
变式训练
1．（2022春•江干区校级期中）（1）已知x﹣3y＝0（y≠0），求分式x2−3xy+ y2的值．
x2+ y2
1 1 1
（2）已知x− =3，求x2+ 和x4+ 的值．
x x2 x4
【思路引领】（1）已知x﹣3y＝0，则x＝3y，将x＝3y代入求值的代数式，消去y即可；
1 1 1
（2）将x− =3左右两边分别平方，即可求得x2+ 的值，同理求得x4+ 的值．
x x2 x4
【解答】解：（1）∵x﹣3y＝0（y≠0），
∴x＝3y，∴x2−3xy+ y2
x2+ y2
(3 y) 2−3⋅3 y⋅y+ y2
=
(3 y) 2+ y2
y2
=
10 y2
1
= ；
10
1
（2）∵x− =3，
x
1
∴（x− ）2＝9，
x
1
∴x❑ 2−2+ =9，
x2
1
∴x2+ =11；
x2
1
∴（x2+ ）2＝121，
x2
1
∴x4+ +2＝121，
x4
1
∴x4+ =119．
x4
【总结提升】本题考查了代数式求值，代数式求值题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给
代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简．
技巧三 倒数法
ab 1 bc 1 ca 1
典例 5 （2023 春•洛宁县期中）已知 a、b、c 为实数，且 = ， = ， = ．求
a+b 3 b+c 4 c+a 5
abc
的值．（提示：倒数）
ab+bc+ca
abc ab 1 bc 1 ca 1
【思路引领】要求 的值，可先求出其倒数的值，根据 = ， = ， = ，分
ab+bc+ca a+b 3 b+c 4 c+a 5
别取其倒数即可求解．a+b b+c c+a
【解答】解：将已知三个分式分别取倒数得： =3， =4， =5，
ab bc ca
1 1 1 1 1 1
即 + =3， + =4， + =5，
a b b c c a
1 1 1
将三式相加得； + + =6，
a b c
ab+bc+ca
通分得： =6，
abc
abc 1
即 = ．
ab+bc+ca 6
【总结提升】本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是通过先求其倒数再进一步求解．
针对训练
1．（2022秋•仓山区校级期中）阅读下面的解题过程：
已知： x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解： = 知x≠0，所以 =3，即x+ =3．
x2+1 3 x x
所以x4+1 x2 1 （x 1）2﹣2＝32﹣2＝7．
= + = +
x2 x2 x
故 x2 的值为1．
x4+1 7
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知： a 1，求 a2 的值．
=
a2−5a+1 4 a4+3a2+1
【思路引领】根据题意给出的倒数法即可求出答案．
a 1
【解答】解：∵ = ，
a2−5a+1 4
a2−5a+1
∴ =4，
a
1
∴a+ −5＝4，
a1
∴a+ =9，
a
1
∴a2+2+ =81，
a2
1
∴a2+ =79
a2
∴a4+3a2+1
a2
1
＝a2+ +3
a2
＝79+3
＝82，
∴ a2 1 ．
=
a4+3a2+1 82
【总结提升】本题考查分式的值，解题的关键是正确理解倒数法，本题属于基础题型．
题型二 倒数法与整体法的综合运用
典例6（2021秋•嘉鱼县期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知： x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = 知x≠0，∴ =3，即x+ =3①
x2+1 3 x x
∴x4+1 x2 1 （x 1）2﹣2＝32﹣2＝7②，故 x2 的值为1．
= + = +
x2 x2 x x4+1 7
x2+1 1 b c b+c
（1）第①步由 =3得到x+ =3逆用了法则： + = ；
x x a a a
1 1
第②步x2+ =(x+ ) 2−2运用了公式： a 2 + b 2 ＝（ a + b ） 2 ﹣ 2 a b ；
x2 x
（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知 x ，求 x2 的值；
=−1
x2−3x+1 x4−7x2+1【拓展延伸】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc
（3）已知 + = ， + = ， + = ，求 的值．
a b 6 b c 9 a c 15 ab+bc+ac
【思路引领】（1）观察解答过程的两步，分别确定出法则及公式即可；
1
（2）求出已知等式的倒数，变形后求出x+ 的值，原式变形后代入计算即可求出值；
x
1 1 1
（3）已知三个等式左右两边相加求出 + + 的值，原式变形后代入计算即可求出值．
a b c
x2+1 1 b c b+c
【解答】解：（1）第①步由 =3得到x+ =3逆用了法则： + = ；
x x a a a
1 1
第②步x2+ =（x+ ）2﹣2运用了公式：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
x2 x
b c b+c
故答案为： + = ；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
a a a
x
（2）∵ =−1，
x2−3x+1
x2−3x+1 1
∴ =−1，即x+ −3＝﹣1，
x x
1
∴x+ =2，
x
1 1 1 1
= = = =−
则原式
x2+
1
−7 (x+
1
) 2−9
22−9 5；
x2 x
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（3）∵ + = ， + = ， + = ，
a b 6 b c 9 a c 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31
∴ + + + + + = + + ，即2（ + + ）= ，
a b b c a c 6 9 15 a b c 90
1 1 1 31
∴ + + = ，
a b c 180
1 180
= =
则原式 1 1 1 31 ．
+ +
a b c
【总结提升】此题考查了分式的加减法，倒数，完全平方公式，以及分式的乘除法，熟练掌握公式及法则
是解本题的关键．
第二部分 专题提优训练1 1 2a−5ab+4b
1．（2015春•茅箭区月考）已知 + =3，则代数式 的值为（ ）
a 2b 4ab−3a−6b
1 1
A．3 B．﹣2 C．− D．−
3 2
【思路引领】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理得到 a+2b＝6ab，代入原式计
算即可得到结果．
1 1 a+2b
【解答】解： + = =3，即a+2b＝6ab，
a 2b 2ab
2(a+2b)−5ab 12ab−5ab 1
则原式= = =− ，
−3(a+2b)+4ab −18ab+4ab 2
故选：D．
【总结提升】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2014春•泰兴市校级期中）设3x−2y 2，则(3x+2y) 2−(x−3 y) 2 （ ）
= =
x+ y (4x−y) 2−(2x+2y) 2
39 39 39 39
A． B．− C． D．−
25 25 20 20
【思路引领】根据已知求出x＝4y，代入后进行约分，求出分式的值即可．
3x−2y
【解答】解： =2，
x+ y
∴3x﹣2y＝2x+2y，
∴x＝4y，
∴原式 (12y+2y) 2−(4 y−3 y) 2 39．
= =
(16 y−y) 2−(8 y+2y) 2 25
故选：A．
【总结提升】本题考查了约分、分式的化简求值的应用，关键是求出x＝4y，注意代入时要细心．
3．（2017秋•文登区期中）若x2﹣4x﹣1＝0，则 3x2 （ ）
=
x4−7x2+1
3 1 3
A． B．﹣1 C． D．−
11 3 5
【思路引领】依据x2﹣4x﹣1＝0，x≠0，即可得到x﹣4 1 0，进而得出x2 1 18，再将 3x2
− = + =
x x2 x4−7x2+13
化成 1 ，即可得到结果．
x2−7+
x2
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，x≠0，
1 1
∴x﹣4− =0，即x− =4，
x x
1 1
∴x2﹣2+ =16，即x2+ =18，
x2 x2
3x2 3 3 3
= = =
∴x4−7x2+1
x2−7+
1 18−7 11，
x2
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了分式的化简求值问题，解决问题的关键是利用整体代入法进行计算．
{3x−4 y−z=0) x2+ y2+z2 7
4．（2021春•射洪市月考）已知 ，则 的值是 ．
2x+ y−8z=0 xy−yz+2xz 5
【思路引领】先解三元一次方程组，求出x＝3z，y＝2z，然后代入式子中进行计算即可解答．
{3x−4 y−z=0①)
【解答】解： ，
2x+ y−8z=0②
②×4得：8x+4y﹣32z＝0③，
①+③得：11x﹣33z＝0，
解得：x＝3z，
把x＝3z代入①得：9z﹣4y﹣z＝0，
解得：y＝2z，
∴ x2+ y2+z2 9z2+4z2+z2
=
xy−yz+2xz 6z2−2z2+6z2
14z2
=
10z2
7
= ，
5
7
故答案为： ．
5
【总结提升】本题考查了分式的值，解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．
5．阅读下面的解题过程：已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 2 x4+1
x 1
解：由 = 知x≠0，
x2+1 2
x2+1 1
所以 =2，即x+ =2，
x x
所以x4+1 x2 1 （x 1）2﹣2＝22﹣2＝2，
= + = +
x2 x2 x
所以 x2 的值为1
x4+1 2
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：已知 x 1，求 x2
=
x2−3x+1 5 x4+x2+1
的值．
【思路引领】首先根据解答例题可得x2−3x+1 5，进而可得x 1 8，再求 x2 的倒数的值，
= + =
x x x4+x2+1
进而可得答案．
x 1
【解答】解：∵ = ，
x2−3x+1 5
x2−3x+1
∴ =5，
x
1
∴x+ =8，
x
∵x4+x2+1
x2
1
＝x2+ +1
x2
1
＝（x+ ）2﹣2+1
x
＝82﹣1
＝63，∴ x2 1 ．
=
x4+x2+1 63
【总结提升】此题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题
方法解答．
