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专题21.27 一元二次方程（中考常考考点分类专题）（基础练）
一、单选题
【考点1】一元二次方程定义★★一元二次方程的解★★整体思想
1．（2022·青海·统考中考真题）已知关于x的方程 的一个根为 ，则实数m的值为（
）
A．4 B． C．3 D．
2．（2022·四川遂宁·统考中考真题）已知m为方程 的根，那么
的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【考点2】解一元二次方程★★配方法及其运用
3．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负
责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（
）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点3】解一元二次方程★★公式法与因式分解解一元二次方程
5．（2020·四川凉山·统考中考真题）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C． ， D． ，
6．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（
）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【考点4】一元二次方程定义★★根的判别式
7．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【考点5】一元二次方程的解★★根与系数关系★★整体思想
9．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数
式 的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
10．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m、n是一元二次方程 的两个根，则
的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【考点6】根与系数关系★★分式的化简★★整体思想
11．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则
的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
12．（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【考点7】根的判断式★★根与系数关系★★整体思想
13．（2023·湖北省直辖县级单位·校联考二模）已知关于 的一元二次方程 的两个
实数根为 、 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）下列关于 的一元二次方程 的命题
中，真命题有
①若 ，则 ；
②若方程 两根为 和 ，则 ；
③若方程 有一个根是 ，则 ．
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【考点8】一元二次方程的解★★几何问题
15．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）在 中， ， 三边
长为整数，且两直角边的长为关于 的一元二次方程 的两实数根，其中 为正整
数，则 的面积是( )
A． B． C． 或 D． 或
16．（2021秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）若菱形对角线的长是方程 的根，则菱
形的面积等于（ ）
A．15 B． C．8 D．4
【考点9】一元二次方程的解★★函数问题17．（2022·江苏苏州·苏州草桥中学校考一模）已知一元二次方程 有两个实数根 ， ，
直线经过点 和点 ，则直线 的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·山东威海·统考一模）函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程
的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【考点10】一元二次方程的解➽➼增长率★★图形问题
19．（2023春·山东济南·八年级统考期末）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关
密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相
同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2020秋·广东中山·九年级中山市华侨中学校考阶段练习）如图，在一张长宽分别为 和
的长方形纸板上剪去四个边长为 的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若
要使长方体盒子的底面积为 ，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ）A． B．
C． D．
【考点11】一元二次方程的解➽➼利润问题
21．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈
利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆
每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆
增加 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2023·全国·九年级假期作业）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经
调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要
获利1200元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
【考点12】一元二次方程的解➽➼其他问题
23．（2018·内蒙古赤峰·中考真题）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队
之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·重庆·模拟预测）某班级前年“五一”将勤工俭学挣得的班费中2000元按一年定期存入银
行，去年“五一”到期后取出1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期
存入该银行（年利率不变），今年“五一”全部捐给了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若该银行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期数＝利息，本息和＝本金+利息），
则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
【考点1】一元二次方程定义★★一元二次方程的解★★整体思想
25．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若 是关x的方程 的解，则 的值为
．
26．（2022·江苏连云港·统考中考真题）若关于 的一元二次方程 的一个解是
，则 的值是 ．
【考点2】解一元二次方程★★配方法及其运用
27．（2023·山东聊城·统考一模）将一元二次方程 化成 （a，b 为常数）的形
式，则ab＝ ．
28．（2022·湖北荆州·统考中考真题）一元二次方程 配方为 ，则k的值是
．
【考点3】解一元二次方程★★公式法与因式分解解一元二次方程
29．（2020·江苏扬州·中考真题）方程 的根是 ．
30．（2019·西藏·统考中考真题）一元二次方程 的根是 ．
【考点4】一元二次方程定义★★根的判别式
31．（2013·甘肃兰州·中考真题）若 ，且一元二次方程 有实数根，则
的取值范围是 ．
32．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 没有实数根，那么a的取值 范围是 ．
【考点5】一元二次方程的解★★根与系数关系★★整体思想
33．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a、b是方程 的两根，则
．
34．（2023·四川达州·统考中考真题）已知 是方程 的两个实数根，且
，则 的值为 ．
【考点6】根与系数关系★★分式的化简★★整体思想
35．（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考二模）已知a，b是一元二次方程
的两根，则 的值是 ．
36．（2023·四川成都·统考二模）已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的
值为 ．
【考点7】根的判断式★★根与系数关系★★整体思想
37．（2023·全国·九年级假期作业）关于 的一元二次方程 两个实数根 、 且
，则m的取值范围是 ；
38．（2023·江苏·模拟预测）一元二次方程 的两根是 和 ，则 的最大值为
．
【考点8】一元二次方程的解★★几何问题
39．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）菱形的两条对角线长分别是方程 的两实根，
则菱形的面积是 ．
40．（2021春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知 两直角边的长度恰好是一元二次方程
的两个实数根，那么 的面积是 ．【考点9】一元二次方程的解★★函数问题
41．（2023·山东东营·统考二模）关于 的函数 的图象与 轴有两个交点，则 的
取值范围是 ．
42．（2022·江苏南京·统考二模）若函数y=−x+6与y= （k为常数，且k≠0）的图像没有交点，则k
1 2
的 值可以为 （写出一个满足条件的k的值）．
【考点10】一元二次方程的解➽➼增长率★★图形问题
43．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈
利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的
平均增长率是 ．
44．（2023·上海·八年级假期作业）如图，有长为 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度
为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为 的花圃， 的长是 ．
【考点11】一元二次方程的解➽➼利润问题
45．（2023春·浙江·八年级专题练习）深秋时节，甜糯的板栗深受人们的喜爱，某商贩购进时的价格
是40元/千克．根据调查：在一段时间内，销售单价 （元/千克）与销售量 （千克）之间满足的
关系如图所示．
（1）写出 关于 的函数关系式 ；
（2）要使该商店销售这种板栗获得8000元的销售利润且让利于顾客，则该板栗的销售单价应定为
．46．（2023·上海·八年级假期作业）某商店销售一批保暖衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，
为了扩大销售增加盈利，商店采取适当的降价措施，经调查发现，在一定的范围内，保暖衬衫的单
价每降1元，商店平均每天可多售出2件，如果商店通过销售这批保暖衬衫每天要盈利1200元，尽
量减少库存，保暖衬衫的单价应降 元．
【考点12】一元二次方程的解➽➼其他问题
47．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程 时，发现用配方法和公式法计算量都比
较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
第①步
第②步
第③步
第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填
序号）．
48．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数
根
， ，若 ，则k的值为 ．参考答案
1．B
【分析】根据方程根的定义，将 代入方程，解出m的值即可．
解：关于x的方程 的一个根为 ，
所以 ，
解得 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入
方程求解．
2．B
【分析】根据题意有 ，即有 ，据此即可作答．
解：∵m为 的根据，
∴ ，且m≠0，
∴ ，
则有原式= ，
故选：B．
【点拨】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为 得到
是解答本题的关键．
3．D【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即 计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4．D
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．
解：
∴
解得： ,
丁同学是错的，
故选：D．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
5．D
【分析】首先移项，将方程右边 移到左边，再提取公因式x，可得 ，再根据“两式相乘
值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
解： ，
移项得： ，
因式分解得： ，∴ 或 ，
解得： ， ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键在于要根据方程的特点灵活选用合适的方法，
本题运用的是因式分解法．
6．B
【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方
程的方法是解题的关键.
7．A
【分析】对于 ，当 ,方程有两个不相等的实根，当 ,方程有两个相等的
实根， ,方程没有实根，根据原理作答即可．
解：∵ ，
∴ ，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
8．D
【分析】由于关于 的一元二次方程 有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可
知 ，且 ，据此列不等式求解即可．
解：由题意得， ，且 ，解得， ，且 .
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 与根的关系，熟练
掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当
时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．
9．A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
故选A
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与
系数的关系是解题的关键．
10．A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，
代入即可求解．
解：∵m、n是一元二次方程 的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴ =5－5=0，
故选：A．
【点拨】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与
系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
11．D
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到 ，再化简分式代值求解即可．
解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，∴
，
故选：D．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系、分式的化简求值，解答的关键是正确化简分式，熟知
一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程 的两个根为 、 ，则 ，
．
12．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，然后将分式化简，代入 即可求
解．
解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ，
∴
，
故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
13．C
【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
解：由题意可知： ，
，
， ，
，
，
，
故选： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别
式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
14．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念判断即可．
解：①当 时， ，
则 ，故①是假命题；
② 程 两根为 和 ，
，
，故②是真命题；
③ 方程 有一个根是 ，
，
，
，
，故③是真命题；
故选：C．【点拨】本题考查的是命题的真假判断，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次
方程根的概念是解题的关键．
15．B
【分析】首先利用根的判别式求出 的取值范围，进而分别得出符合题意的值；
解：∵ ，
解得 ，
为正整数，
或
当 时， ，
解得： ， ，
此时 不为整数，故舍去，
当 时， ，
解得： ， ，
故 ， ，则 ；
的面积是 ，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，根的判别式，勾股定理，分类讨论是解题关键．
16．B
【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积等于两条对角线的积的一半求解即可．
解： ，，
则 或 ，
解得 ， ，
菱形的面积等于 ，
故选：B．
【点拨】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到
的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积等于两条对角线的积的一半．
17．A
【分析】利用根与系数的关系可得出a+b ，ab=﹣3，进而可得出点A，B的坐标，由点A，B的坐
标，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式，此题得解．
解：∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，
∴a+b ，ab=﹣3，
∴点A的坐标为( ，0)，点B的坐标为(0，﹣3)．
设直线l的函数表达式为y=mx+n(m≠0)，
将A( ，0)，B(0，﹣3)代入y=mx+n，
得： ，
解得： ，
∴直线l的函数表达式为y=6x﹣3．
故选：A．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系
数法求出一次函数解析式是解题的关键．
18．C
【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程 中，
△= ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出
k、b的正负是解题的关键．
19．D
【分析】设平均每天票房的增长率为 ，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于 的一元
二次方程，此题得解．
解：设平均每天票房的增长率为 ，
根据题意得： ．
故选：D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
20．B
【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可．
解：由题意得，底面长方形的长为 ，宽为 ，
∵要使长方体盒子的底面积为 ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和
宽是解题的关键．
21．B
【分析】根据已知假设每盆花苗增加 株，则每盆花苗有 株，得出平均单株盈利为 元，
根据每盆花苗株数 平均单株盈利 每盆的总盈利即可得出方程．解：设每盆应该多植 株，由题意得
，
故选：B．
【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数 平均单株盈利 总盈利得出方程是解
题关键．
22．A
【分析】根据题意设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，根据每日的总利润 每件商
品的利润 每日的销售量，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再结合 即可
确定 的值．
解：设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
又 ，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．B
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380
场，可列出方程．
解：设参赛队伍有x支，根据题意得：
x（x﹣1）=380．
故选B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求
解．
24．D【分析】根据今年“五一”到期后取得本息和1107.45元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得
解．
解：根据题意得 ，
即 ．
故选D．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
25．2019
【分析】将 代入方程，得到 ，利用整体思想代入求值即可．
解：∵ 是关x的方程 的解，
∴ ，即： ，
∴
；
故答案为：2019．
【点拨】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的
关键．
26．1
【分析】根据一元二次方程解的定义把 代入到 进行求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的
关键．27．
【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值．
解：方程 ，
变形得： ，
配方得： ，即 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
28．１
【分析】将原方程 变形成与 相同的形式，即可求解．
解：
∴
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
29．
【分析】两边开方，然后解关于 的一元一次方程．
解：由原方程，得 ．
解得 ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程 直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：
； ， 同号且 ； ； ， 同号且 ．法则：要
把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．30． ．
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
解： ，
a=1，b=－1，c=－1，
，
，
所以 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
31． 且 ．
【分析】首先根据非负数的定义求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判别式Δ＝b2﹣4ac≥0
列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围．
解：∵ ， ．
∴一元二次方程为 ．
∵一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ．
【点拨】本题综合考查了非负数的性质、根的判别式．在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号
的变化关系．
32．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
解：∵关于x的一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
33．
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得 ，从而得到
，然后代入，即可求解．
解：∵a，b是方程 的两根，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的
定义和根与系数的关系是解题的关键．
34．7
【分析】根据根与系数的关系求出 与 的值，然后整体代入求值即可．
解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴解得 ．
故答案为：7．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：
和 是解题关键．
35． /
【分析】先将分式化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，即可求解．
解： ，
∵a、b为一元二次方程 的两个不等实数根，
∴ ，
∴原式 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了分式的化简，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方
程 ，两根之和为 ，两根之积为 ．
36．
【分析】根据根与系数的关系，可得出 和 的值，再代入即可．
解：由题意得 ， ，
∴，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一
种经常使用的解题方法．
37．
【分析】根据根的判别式 、根与系数的关系列出关于 的不等式组，通过解该不等式组，求得
的取值范围．
解：∵ 的一元二次方程 两个实数根 、
∴ ， ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点拨】本题考查了解不等式组，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌
握以上知识是解题的关键．
38．1
【分析】根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，即可求解．
解：∵方程 有两个根是 和 ，
∴ ， ，
解得： ，
∴ 的最大值为1．故答案为：1
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判
别式，根与系数的关系是解题的关键．
39．
【分析】解一元二次方程 得到 ，再利用菱形的面积等于
两对角线乘积的一半即可得到答案．
解 得到 ，
∴菱形的两条对角线长分别是 ，
∴菱形的面积是 ，
故答案为：
【点拨】此题考查了公式法解一元二次方程和利用菱形的性质求面积，正确解方程是解题的关键．
40．6
【分析】设 两直角边的长度分别为 ，n，则 ，n是方程 的两个实数根，再
利用一元二次方程的根与系数的关系即可求得答案．
解：设 两直角边的长度分别为 ，n，
由题意可得： ，n是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若 ， 是一元二次方程
的两根时，则 ， ，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
41． 且【分析】关于 的函数 的图象与 轴有两个交点，则判别式 ，且
二次项系数不等于 ，据此列不等式求解．
解：根据题意得： ，
解得 且 ．
故答案是： 且 ．
【点拨】本题考查了抛物线与 轴的交点，二次函数 是常数， 的交点与一元
二次方程 根之间的关系，解不等式组；根据一元二次方程判别式定理构建不等式组是解题的
关键．
42．10(答案不唯一)
【分析】函数的图象没有交点，即无解，用一元二次方程根的判别式可解．
解：由联立方程y= （k≠0）和一次函数y=-x+6，
有 =-x+6，即x2-6x+k=0．
∵要使两函数的图象没有交点，须使方程x2-6x+k=0无解．
∴△=（-6）2-4×k=36-4k＜0，
解得k>9．
解也符合k≠0的前提条件
∴当k>9时，两函数的图象没有交点．
∴k可以取10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意先代入一次函数解析式，求得两个函数的
交点坐标．
43．
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额 五月份的盈利额列出
方程求解即可．解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得： ．
解得： ， （不符合题意，舍去），
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量
后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．
44．
【分析】设 的长为 ，则 的长为 ，由题意得， ，整理得
，计算求出满足要求的解即可．
解：设 的长为 ，则 的长为 ，
由题意得， ，整理得 ，
解得， 或 ，
当 时， 的长为 ，不满足题意，舍去，
∴ 的长为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．
45． 60
【分析】（1）设 关于 的函数关系式为 ，用待定系数法列方程组求解即可；
（2）根据利润＝（售价－进价）×销量，列出方程求解即可得到答案．
解：（1）设 关于 的函数关系式为 ，
由图可知，点 ， 在 ，
，
解得 ，关于 的函数关系式为 ，
故答案为 ；
（2）根据题意可得：
，
解得： 或 ，
让利于顾客，
，
板栗的销售单价应定为60元，
故答案为：60．
【点拨】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方
程解决问题．
46．20
【分析】设每件衬衫应降价 元，则每件所得利润为 元，但每天多售出 件即售出件数为
件，因此每天赢利为 元，进而可根据题意列出方程求解．
解：设每件衬衫应降价 元，
根据题意得 ，
整理得
解得： ， ．
因为尽量减少库存，，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
47．④
【分析】由 ， ，解得 或 ，进而判断作答即可．
解： ，，
解得 或 ，
∴第④步错误，
故答案为：④．
【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．
48．2
【分析】先利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得 ；再由一元二次方
程的根与系数的关系可得 ，解方程即可解答．
解： 关于 的一元二次方程 有两个不等实数根，
此方程根的判别式 ，
解得 ．
由题意得： ，
解得 或 ，
又 ，
的值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关
知识是解题关键．
