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专题 21.2 勾股定理十八大必考点
【人教版】
【考点1 勾股数】...................................................................................................................................................1
【考点2 勾股树】...................................................................................................................................................2
【考点3 利用勾股定理求两点间距离】...............................................................................................................3
【考点4 利用勾股定理求线段长度】...................................................................................................................4
【考点5 勾股定理中的分类讨论】.......................................................................................................................4
【考点6 勾股定理中的规律探究】.......................................................................................................................5
【考点7 以直角三角形三边为边长的图形面积】................................................................................................6
【考点8 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】........................................................................................7
【考点9 利用勾股定理证明两条线段的平方和（差）】....................................................................................9
【考点10 利用勾股定理求面积】.........................................................................................................................10
【考点11 勾股定理在网格中的应用】.................................................................................................................11
【考点12 勾股定理在翻折中的应用】.................................................................................................................12
【考点13 利用勾股定理求最值】.........................................................................................................................13
【考点14 勾股定理的证明】.................................................................................................................................14
【考点15 勾股定理与无理数】.............................................................................................................................18
【考点16 判断是否是直角三角形】.....................................................................................................................19
【考点17 利用勾股定理构造图形解决实际问题】..............................................................................................20
【考点18 利用勾股定理确定在几何体中的最短距离】......................................................................................21
【考点1 勾股数】
【例1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学八年级阶段练习）下列各组数是勾股数的是_________（填序
号）．
①6，8，10；②1.5，2，2.5；③32，42，52；④7，24，25；⑤√3，√4，√5
【变式1-1】（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期中）若3，4，a是一组勾股数，则a＝_____．
【变式1-2】（2022·河南安阳·八年级阶段练习）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾
股数，并将它们记录在如下的表格中．
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …c 10 17 26 37 50 …
则当a=24时，b+c的值为（ ）A．162 B．200 C．242 D．288
【考点2 勾股树】
【例2】（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是
正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是5、3、2、3，则最大正方形
E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．47 D．94
【变式2-1】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）阅读材料：
分析探索题：细心观察如图,认真分析各式,然后解答问题．
, ；
OA2=(2) 2+4=8S =2
2 1
2√8
QA2=(√8) 2+4=12,S = =√8=2√2；
3 2 2
2√12
OA2=(√12) 2+4=16,S = =√12=2√3……
4 3 2
(1)请用含有n(n为正整数)的等式S = ______；
n
(2)推算出OA = ______；
10
求出 的值．
(3) S2+S2+S2+……S2
1 2 3 10【变式2-2】（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积
为S ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记
1
为S …，按此规律继续下去，则S 的值为（ ）
2 100
A．(√2) 99 B．(√2) 100 C．(1) 99 D．(1) 100
2 2 2 2
【变式2-3】（2022·山东·济宁市兖州区东方中学八年级期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生
长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次
“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次
后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．1
【考点3 利用勾股定理求两点间距离】
【例3】（2022·河北邢台·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A(−2,1)，点B(4,6)，点C(−4,2)，点D(2,3)，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=2CD B．BC=2AD C．AC=2BD D．BC=2CD
【变式3-1】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，点P(-1，2)到原点
的距离是_____________
【变式3-2】（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）平面直角坐标系中两点，其中点A的坐标为(1,1)，点
B的坐标为(4,5)，则AB两点间的距离是_________．
【变式3-3】（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在直角坐标平面内，已知点A (m, 0)、B (0, 3)，
且AB=5，那么m的值是________．
【考点4 利用勾股定理求线段长度】
【例4】（2022·重庆八中八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠D=∠ACB=90°，AD=8，CD=6，
且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为______．
【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，将矩形ABCD绕点
D顺时针旋转得到矩形EFGD，边BC与DE交于点P，延长BC交FG于点Q，若BQ=2BP，则BP的长为
______．
【变式4-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，
∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（ ）A．2√2 B．√2 C．2√3 D．√3
【考点5 勾股定理中的分类讨论】
【例5】（2022·山东·德州市第五中学八年级期中）已知 ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，
则边BC的长为（ ） △
A．21 B．6 C．21或6 D．21或9
【变式5-1】（2022·陕西榆林·八年级期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，求第三边的长．
【变式5-2】（2022·安徽安庆·八年级期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN
和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
若AM=1，MN=2，则BN的长为______．
【变式5-3】（2022·云南·保山市第七中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t(s)．
(1)求BC边的长．
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【考点6 勾股定理中的规律探究】
【例6】（2022·河南濮阳·八年级期中）如图， ，过点P作 ，且 ，得 ；
OP=1 PP ⊥OP PP =1 OP =√2
1 1 1
再过点 作 且 ，得 ；又过点 作 且 ，得 …，
P P P ⊥OP P P =1 OP =√3 P P P ⊥OP P P =1 OP =2
1 1 2 1 1 2 2 2 2 3 2 2 3 3
依此法继续作下去，得OP 的值为（ ）
2022A．√2021 B．√2022 C．√2023 D．√2024
【变式6-1】（2022·山东·济南市章丘区宁家埠中学八年级阶段练习）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰
直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角
边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2022个等腰直角三角形的斜边长是__________．
【变式6-2】（2022·湖北湖北·八年级期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是
由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图2中的
OA =A A =A A =⋅⋅⋅A A =1，按此规律，在线段OA ，OA ，OA ，…OA 中， 长度为整数
1 1 2 2 3 7 8 1 2 3 20
的线段有（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-3】（2022·山东济宁·一模）如图甲，直角三角形ABC的三边a，b，c，满足a2+b2＝c2的关系．利
用这个关系，探究下面的问题：如图乙，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延长OA至
B，使AB＝OA，以OB 为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OAB，再延长OA 至B，使AB＝OA，
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1
以OB 为底，在△OAB 外侧作等腰直角三角形OAB，…，按此规律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n
2 1 1 2 2
为正整数），则AB 的长及△OA B 的面积分别是（ ）
2 2 2021 2021A．2，22020 B．4，22021 C．2√2，22020 D．2，22019
【考点7 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【例7】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期中）如图，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
∠ACB=90°，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积等于（ ）cm2
A．18 B．24 C．36 D．48
【变式7-1】（2022·广东·东莞市南城开心实验学校八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠C=90°．若
AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ） △
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
【变式7-2】（2022·河南·灵宝市实验中学八年级阶段练习）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向
外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足S +S =S 的图形有
1 2 3
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-3】（2022·浙江杭州·八年级期末）已知ΔABC中，∠ACB=90°，如图，作三个等腰直角三角形
ΔACD，ΔEAB，ΔFCB，AB，AC，BC为斜边，阴影部分的面积分别为S ，S ，S ，S ．
1 2 3 4
（1）当AC=6，BC=8时，
①求S 的值；
1
②求S -S -S 的值；
4 2 3
（2）请写出S ，S ，S ，S 之间的数量关系，并说明理由．
1 2 3 4
【考点8 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】
【例8】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一
点，则MC2－MB2等于（ ） △
A．29 B．32 C．36 D．45
【变式8-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图， 在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角
∠ACD，且EF//BC交AC于M，若CM=4，则CE2+CF2的值为（ ）A．8 B．16 C．32 D．64
【变式8-2】（2022·北京·首都师大二附八年级期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有
如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=6，CD=10，则AD2+BC2=
______．
【变式8-3】（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级阶段练习）如图，射线AM⊥AN于点A、点C、
B在AM、AN上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于点E．
（1）若BC=10，直接写出AC2+AB2的值；
（2）若AC=8，△ABC的周长为24，求△ABC的面积；
（3）若AB=6，C点在射线AM上移动，问此过程中，BE2−CE2的值是否为定值？若是，请求出这个定
值；若不是，请求出它的取值范围．
【考点9 利用勾股定理证明两条线段的平方和（差）】
【例9】（2022·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝
AB2+CD2．【变式9-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，
DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2． △
【变式9-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，
作等腰Rt△DCE，且∠DCE=90°，连接AE．
(1)求证：△CEA≌△CDB；
(2)求证：BD2+AD2=DE2．
【变式9-3】（2022·福建·漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=BC，在Rt△ABD中，∠D=90°，AD与BC交于点E，且∠DBE=∠DAB．求证：
（1）∠CAE=∠DBC；
（2）AC2+CE2=4BD2．【考点10 利用勾股定理求面积】
【例10】（2022·四川广元·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边
形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S ，S ，S ，S ．若S =48，S +S =135，则
1 2 3 4 1 2 3
S =（ ）
4
A．183 B．87 C．119 D．81
【变式10-1】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）如图，点E是正方形ABCD内一点，
∠AEB=90°．若AE=2，BE=3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．13 C．36 D．169
【变式10-2】（2022·广东·河源市东华实验学校八年级期中）已知直角三角形的三边分别为7，n+1，n+2
（n+2是斜边），则该三角形的面积为_________．
【变式10-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方
形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是S ,S ,S ,S ，则S +S +S +S =
1 2 3 4 1 2 3 4
__________．【考点11 勾股定理在网格中的应用】
【例11】（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形变成都
是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：
(1)画一个三角形△ABC，使它的三边长分别为√8，√5，3.
(2)求方格图中所画的△ABC的面积
【变式11-1】（2022·江西景德镇·八年级期中）（1）已知△ABC三边长分别为2√2，√13，√17，小迪在
解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形
ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出△ABC的面积．请你帮助小迪计算
出△ABC的面积；
（2）若△≝¿三边长分别为√5a，√10a，√13a，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出
格点三角形DEF，并求出△≝¿的面积；
（3）若 三边长分别为 ， ， ，在图③的长方形网格（小长方形长
△OPQ 2√m2+n2 √9m2+16n2 √m2+36n2
均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出△OPQ的面积．
【变式11-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校八年级阶段练习）如图所示，正方形网格中的每个小正
方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)使三角形的三边长分别为3，2√5，√5（在图①中画一个即可）；
(2)使三角形为钝角三角形，且面积为6（在图②中画一个即可）．
【变式11-3】（2022·江西赣州·八年级期末）在8×8的网格中，每个小正方形的边长都是1，仅用无刻度的
直尺完成以下作图（保留必要的作图痕迹）．
(1)在图1中，画一个面积为5的正方形．
9
(2)在图2中，画一个面积为 的正方形．
2
【考点12 勾股定理在翻折中的应用】
【例12】（2022·山东·济南市章丘区宁家埠中学八年级阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角
边AC＝6，BC＝8．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（
）
A．4 B．3 C．2 D．1【变式12-1】（2022·江苏镇江·八年级期中）如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，
得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（ ）
√2+1
A．√2−1 B． C．√2 D．2
2
【变式12-2】（2022·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在
点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____．
【变式12-3】（2022·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC
1
＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝ BC，DE＝2，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点
3
C落在直线DE上的点H处，CP的长是 _____．
【考点13 利用勾股定理求最值】
【例13】（2022·全国·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为2，AD是边BC上的中线，M是AD
上的动点，E是边AC上的中点，若AE=1，求EM+CM的最小值为（ ）A．1 B．√2 C．2 D．√3
【变式13-1】（2022·广东湛江·八年级期末）如图Rt△ABC，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，若动点P在边
AB上移动，则线段CP的最小值是_______．
【变式13-2】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，铁路上A、B两站相距8km，C、D为两个村庄，
AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC=2km，BD=4km，现在要在铁路AB上修建一个中
转站P，使得P到C、D两村的距离和最短．请在图中画出P点的位置，并求出PC+PD的最小值．
【变式13-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折叠纸片的
一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕，请回答下列问题：
（1）求线段DE的长度；
（2）若点P为线段AE上的一个动点，连接BP和FP，则线段BP+FP的最小值是 ．
【考点14 勾股定理的证明】
【例14】（2022·安徽省安庆市外国语学校八年级期中）阅读理解：
【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积
从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2＋b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三
角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其
推导过程．
y √3
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，已知 = ．
x 2【变式14-1】（2022·江苏·八年级单元测试）（1）【阅读】
公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形的三边之间的数量关系：在直角三角形中，两
条直角边的平方和等于__________，这个结论在中国称之为“勾股定理”．
（2）【验证】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其
中四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程，请你将他下面
的证明过程补充完整：
已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c．
求证：a2+b2=c2
证明：由图可知S =4S +S
正方形ABDE △ABC 正方形FCHG
∵ ， ________，正方形FCHG边长为________，
S =c2 S =
正方形ABDE △ABC
1
∴c2=4× ab+(a−b) 2=2ab+a2−2ab+b2
2
即c2=a2+b2．
（3）【操作】
如图2，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作BC⊥l，过点D作DE⊥l，垂足分别为C、E．
求证：CE＝BC＋DE．
（4）【发现】聪聪认真观察图2后发现：如果设AC＝b，BC＝a，AB＝c，此图也可以利用面积法证明勾
股定理．请你帮聪聪完成证明过程．
（5）【拓展】
如图3．将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC
＝3，直接写出该飞镖状图案的面积．
【变式14-2】（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的
大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a， b
（a
