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专题 21.2 根的判别式与含参问题
◆ 思想方法
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
◆ 典例分析
【典例1】若关于 的方程 恰有三个根，则 的值为（ ）
x |x2−4x+3)=x+t t
3 1 3 1
A．−1 B．−1或− C．−1或− D．− 或−
4 2 4 2
【思路点拨】
先化简绝对值方程为两个一元二次方程①x2−5x+3−t=0和②x2−3x+3+t=0，再分三种情况讨论：
（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；
（3）两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别
式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案．
【解题过程】
解： ，
∵|x2−4x+3)=x+t∴x2−4x+3=x+t或x2−4x+3=−x−t，
整理得x2−5x+3−t=0①或x2−3x+3+t=0②，
设方程①的判别式为Δ ，方程②的判别式为Δ ，
1 2
若原方程恰有三个根，则有三种可能：
（1）{Δ =25−4(3−t)>0)，
1
Δ =9−4(3+t)=0
2
13
{ t>− )
4
∴ ，
3
t=−
4
3
∴t=− ，
4
3
此时，|x2−4x+3)=x− ，
4
3 3
∴x2−4x+3=x− 或x2−4x+3=−x+ ，
4 4
5±❑√10 3
解得x= ，或x =x = ，
2 1 2 2
3
∴满足题意的t的值是t=− ；
4
（2）{Δ =25−4(3−t)=0)，
1
Δ =9−4(3+t)>0
2
13
{ t=− )
4
∴ ，
3
t<−
4
13
∴t=− ，
4
13 13
当t=− 时，|x2−4x+3)=x− ，
4 4
13 13
∴x2−4x+3=x− 或x2−4x+3=−x+ ，
4 4
5 3±❑√10
解得x =x = ，或x= ，
1 2 2 213
∵x− ≥0，
4
13
∴x≥ ，
4
3±❑√10 13
但x= < ，不满足题意，舍去；
2 4
（3）{Δ =25−4(3−t)>0)，且两方程恰有一个相同的根，
1
Δ =9−4(3+t)>0
2
13
{ t>− )
4
∴ ，
3
t<−
4
13 3
∴− 0，三个解均不合题意，舍去；
3
综上所述，t的值为−1或− ．
4
故选B．
◆ 学霸必刷
1．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于x的方程mx2−(m+2)x+2=0有且只有一个根（相同的两个根视为一个根），则m的值为（ ）
A．m=0 B．m=2 C．m=1 D．m=0或m=2
2．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法正确的（
）
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+❑√5x+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
x ax2+bx+c=0 b2−4ac=(2ax +b) 2
0 0
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根，且其中
一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（
）
①方程x2−x−2=0是倍根方程；②(x−2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若p，q满足
pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程ax+bx+c=0是倍根方程，则必有
2b2=9ac．
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③
4．（2024九年级·全国·竞赛）若关于x的一元二次方程ax2+(2a−1)x+a−13=0至少有一个整数根，且
a为正整数，则满足条件的a共有 个．
5．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的方程(m−3)x2+(m−11)x−8=0的根都是整数，且m
满足等式√7−m ❑√7−m，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
❑ = m
m−2 ❑√m−2
6．（23-24九年级上·重庆南川·期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+a−1=0有实数根，且关于y的分
a+ y 1
式方程 +3= 的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
1−y y−1
{
4x+3<3x+7
)
7．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）若关于x的不等式组 5x+a 1 有且仅有4个整数解，
1− x ) 1
1 2 1 2 x
1
13．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若x 、x 是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满
1 2( 1)
足|x −x )=|x ⋅x )，则称此类方程为“差积方程”．例如： x− (x−1)=0是差积方程．
1 2 1 2 2
（1）判断：方程x2−4x=0______“差积方程”（填“是”或“不是”）；
（2）已知关于x的方程x2−(m+2)x+2m=0，
①证明：不论m取何值，方程总有实数根；
②若该方程是“差积方程”，求m的值．
14．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程：x2−(2k+1)x+4 ( k− 1) =0．
2
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
15．（22-23八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4m(m>0)的图象经过点
B(p,2m)，与y轴交于点D．
（1）若关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x−k2−2k=1有两个相等实数根，求点B的坐标；
（2）已知点A(m,0)，若直线y=kx+4m与x轴交于点C(n,0)，n+2p=4m，原点O到直线CD的距离
8
为 ❑√5，求△ABC的面积．
516．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0．
那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
（1）已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；
（2）已知关于x的方程 是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的
m(x2+1)−3x2+nx=0
值．
17．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称
之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”．
（1）求函数y=❑√3x+2的图象上所有“整根点”的坐标；
（2）若一元二次方程 为“整根方程”，求整数k的值；
x2−2(k+1)x+k2=0(k<5)
（3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根且为“整根方
(k2−3k+2)x2+(2k2−4k+1)x+k2−k=0
程”，求k的值．
18．（23-24八年级上·上海静安·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根均
为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任意一个“快乐方程”的判别式Δ=b2−4ac一定为
4ac−b2
完全平方数．现规定F(a，b，c)= 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”
4a
4×1×(−4)−(−3) 2 25
x2−3x−4=0，的两根均为整数，其“快乐数”F(1，−3，−4)= =− ，若有
4×1 4
另一个“快乐方程”px2+qx+r=0(p≠0)的“快乐数”F(p，q，r)，且满足，则称 与 互为“开心数”．
|r⋅F(a，b，c)−c⋅F(p，q，r))=0 F(a，b，c) F(p，q，r)
（1）“快乐方程”x2−2x−3=0的“快乐数”为 ；
（2）若关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m为整数，且1
