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专题 21.4 一元二次方程的应用
◆ 典例分析
【典例1】正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习
俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆
需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中
一种）．
（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤
圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手
工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店
按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格
全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【思路点拨】
（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即
可；
（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【解题过程】
解：（1）设总共生产了a袋手工汤圆，
0.3a 0.5a
依题意得， + =21
450 300
解得a=9000，
经检验a=9000是原方程的解，
答：总共生产了9000袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价x元，
当刚好10天全部卖完时，
( 75 )
依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x) 225+ x =40500
2
整理得：x2−6x+45=0
Δ=62−4×45<0，∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
[ ( 75 ))
(15−13) 9000−2×225−8 225+ x =12600−600x
2
( 75 )
∴依题意得，225×2×(25−13)+8(25−13−x) 225+ x +12600−600x=40500
2
解得x =1,x =3
1 2
∵要促销
∴x=3
即促销时每袋应降价3元．
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你
能求出这五个整数分别是 ．
2．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知，数轴上从左到右有三点A，B，C，它们在数轴上对应的数分
别为a，b，c(a，b，c均不为整数），且6<c−a<7，k<b<k+1（k为正整数）．在点A与点B之间的所
有整数依次记为p ,p ,p ……，p ；在点B与点C之间的所有整数分别记为q ,q ,q ,……,q ．若
1 2 3 m 1 2 3 n
，则 的值为 ．
p 2+p 2+p 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+p 2=q 2+q 2+q 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+q 2 k
1 2 3 m 1 2 3 n
7
3．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且n= (2m+3)，求这
3
3个连续整数．
4．（23-24九年级上·山东德州·期中）今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的
“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病．
（1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？
5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）暑假期间，河北涿州的洪涝灾害，牵动着全国人民的心．某单
位开展了“驰援涿州，我们在路上”赈灾捐款活动，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
6．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162
元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种
费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈
利1450元，每件应降价多少元?
7．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成
为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台
A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．
（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？
（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又
购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月
1 1
下旬的售价优惠 a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加 a%，每
2 4
1
台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠 a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条
5
件下的最低购进量增加a%，A、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了19
a%，求a的值．
46
8．（22-23八年级下·广东江门·期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千
克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售
量可增加40千克．
（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
9．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计
划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
（1）求甲工程队每小时修的路面长度；
（2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工
中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时；甲工程队的修路速度比原
计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
10．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树
枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680
元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
（1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
（2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10)），且
两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公
司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？11．（2023·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从
桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成
本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
6
（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
5
（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，
1
甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划
6
2
每天少挖 a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7a−12)万元．求a的值．
9
12．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火
表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门
广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再
步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍．
（1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
（2）乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度
1
比甲开车的平均速度快m千米/小时(m>0)，乙开车时间比甲开车时间少 m小时；乙步行的平均速度比
24
1 1
甲步行的平均速度快 m千米/小时，乙步行了 小时后到达目的地，求m的值．
4 313．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点
分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足
1 3
关系：l= t2+ t(t≥0)，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．
2 2
（1）甲运动4s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
14．（22-23九年级下·重庆丰都·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从
A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早
5分钟到达B地．
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步
开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的
热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用
多少分钟．15．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）某旅行社为吸引市民组团去遵义某景区旅游，推出了如图收费标
准：
（1）若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为 元；
（2）若乙单位组织员工参加本次旅游，共支付旅行社费用15000元，求出乙单位参加本次旅游的员工人
数．
16．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长
25米），另外三边用长40米的木栏围成．
（1）设AB长为x米，则BC的长为______米；
（2）AB长为多少时，养猪场的面积为150平方米？
（3）养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由．17．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱
笆围建一个矩形生态园．如图，墙AF=8m，AE=4m，篱笆长为28m，设CD的长为x m，生态园的一边
由墙AF和一节篱笆BF构成，另一边由墙AE和一节篱笆CE构成，其他边由篱笆CDB围成．
（1）BD= m；（用含x的代数式表示）
（2）若生态园的面积为75m2，求x的值；
（3）为了进出生态园方便，现决定在CD边上留出2m宽的门，此时生态园的面积能否达到110m2？如果
能，请求出生态园的长CD；如果不能，请说明理由．
18．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点P从A
开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移
动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．
（1）填空：BQ=______cm，PB=______cm；（用含t的代数式表示）；
（2）当t为几秒时，PQ的长度等于4❑√2cm；
2
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的 ？如果存在，求出t的值，如果不
3存在，请说明理由．
19．（22-23九年级上·广东清远·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，点P从
点A出发，以每秒1cm的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C
匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=1时，直接写出P，Q两点间的距离．
（2）是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在t，使得△BPQ的面积等于10cm2，若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．20．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=6cm,AD=2cm，动点PQ分别
从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到
达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：
（1）当t=1s时，四边形BCQP的面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q的距离是3cm？
（3）当t=__________s时，以点PQD为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案）
