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专题 22.1.1 二次函数的相关概念（五大题型）
【题型1：列二次函数关系式】.............................................................................................1
【题型2：二次函数的判断】.................................................................................................4
【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】...............................................................7
【题型4：二次函数的一般形式】.........................................................................................9
【题型5：二次函数的函数值】............................................................................................11
【题型1：列二次函数关系式】
1．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次
降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，y与x之间的关系为
（ ）
A． B． C． D．
y=2x2 y=2(1+x) 2 y=2(1−x) 2 y=2+2x
【答案】C
【分析】根据每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y，列出函数关系式即
可求解．
【详解】解：每次降价的百分率都是 ，经过两次降价后的价格 ，则 ，
x y y=2(1−x) 2
故选：C．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
2．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x
的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2
D．y＝100（1﹣x）2
【答案】D
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关
系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函
数图像要根据自变量的取值范围来确定．
3．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，
则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C．
y=−πx2+16π y=πx2−4 y=π(2−x) 2
D．
y=−(x+4) 2
【答案】A
【分析】先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积．
【详解】解：圆的面积公式是S=πr2，
原来的圆的面积=π⋅42=16π，
挖去的圆的面积=πx2，
∴圆环面积y=16π−πx2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出
函数关系式．
4．如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于30m）和总长为
28m的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为
x米，花圃总面积为y平方米，求y关于x的函数解析式 ．（用二次函数一
般式表示）
【答案】y=−3x2+28x
【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：关于 的函数解析式为 ．
y x y=x(28−3x)=−3x2+28x
故答案为：y=−3x2+28x.
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的
关键．
5．某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x米，广告牌的面
积为S平方米，则S与x 的函数关系式为 ．
【答案】S=−x2+10x
【分析】广告牌的一边长是x米，根据周长再用x表示出另一边，矩形广告牌的面积
等于长×宽．
【详解】解：另一边长为 米， ．
(10−x) S=(10−x)x=−x2+10x
故答案是：S=−x2+10x．
【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是找到题目中的等量关系，并用x表
示变量来列式．
6．已知三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，则三角形的面积y与x之间的
关系为 ．
1
【答案】y=x2﹣ x
2
【分析】根据已知得出三角形的高,进而利用三角形面积公式求出即可.
【详解】由题意得
1 1
y= x(2x−1)=x2− x.
2 2
1
故答案为y=x2− x.
2
【点睛】此题主要考查了根据几何问题列二次函数关系式，熟记三角形面积公式是解
题关键.
7．如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园
ABCD，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为 ．（不
要求写出自变量x的取值范围）【答案】y＝﹣2x2+20x
【分析】根据AB的长为x米可以得出BC的长为（20﹣2x）米，然后根据矩形的面积
公式即可求出函数关系式．
【详解】∵AB的边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，
∴BC＝20﹣2x，
∵菜园的面积＝AB×BC＝x•（20﹣2x），
∴y＝﹣2x2+20x．
故填空答案：y＝﹣2x2+20x．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确分析，找准各量间的数量关系列出函数关
系式是解题的关键.
【题型2：二次函数的判断】
1．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
1
A．y=1−❑√3x2 B．y=2x2+4 C．y= (x−1)(x+5) D．
2
y=(x−2) 2−x2
【答案】D
【详解】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握定义是关键．根据二次函数的定义，
判断各选项是否为二次函数．
【分析】解：A：y=1−❑√3x2，整理为y=−❑√3x2+1，符合二次函数形式．
B：y=2x2+4，直接为标准二次函数，二次项系数为2，符合二次函数形式．．
1 1 1 5 1
C：y= (x−1)(x+5)，展开得y= (x2+4x−5)= x2+2x− ，二次项系数为 ，
2 2 2 2 2
符合二次函数形式．．
D： ，展开 得 ，再减去 后为 ，仅含一
y=(x−2) 2−x2 (x−2) 2 x2−4x+4 x2 y=−4x+4
次项，故为一次函数，不符合二次函数形式．．
故选：D．2．下列函数中，是二次函数的是（ ）
2
A．y=2x+1 B．y=x2−1 C．y= D．y=x3+x2−1
x
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
一般地，形如 是常数， 的函数，叫做二次函数，据此进行
y=ax2+bx+c(a,b,c a≠0)
判断即可．
2
【详解】解：y=2x+1,y= ,y=x3+x2−1不符合二次函数的定义，它们不是二次函
x
数；
y=x2−1符合二次函数的定义，它是二次函数；
故选：B．
3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
y=ax2+bx+c y=(x−5) 2−x2
2
C．y=x2+1 D．y=
x2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如 ，这样的函数叫做
y=ax2+bx+c(a≠0)
二次函数，进行判断即可．
【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，不符合题意；
B、 ，不是二次函数，不符合题意；
y=(x−5) 2−x2=−10x+25
C、y=x2+1，是二次函数，符合题意；
2
D、y= ，不是二次函数，不符合题意；
x2
故选C．
4．下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ）
1
A．y= B．y=2x
x2
C． D．
y=(x+2) 2 y=ax2+bx+c【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
形如： ，则 是 的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得
y=ax2+bx+c(a≠0) y x
到答案．
1
【详解】解：y= ,y不是x的二次函数，故A错误；
x2
y=2x,y不是x的二次函数，故B错误；
，即 是 的二次函数，故C正确；
y=(x+2) 2 y=x2+4x+4,y x
y=ax2+bx+c，当a=0时，y不是x的二次函数，故D错误；
故选：C．
5．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
3
A．y=−2x+1 B．y= C．y=x2+4x D．y=x3
x
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二
次函数的定义，对选项逐一分析判断即可．
【详解】解：A、y=−2x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
3
B、y= 是反比例函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
x
C、y=x2+4x是二次函数，故此选项符合题意；
D、y=x3自变量x最高次数是3，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．下列函数是关于x的二次函数的是（ ）
1
A． y=x3+2x2+3 B．y=
x2
1
C．y= (x+1) 2 D．y=ax2+bx+c
2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，
a≠0）的函数是二次函数，判断即可．
【详解】解：A、y=x3+2x2+3自变量的次数最高是3次，y不是关于x的二次函数，故本选项不符合题意；
1
B、y= ，分母中含有自变量，y不是关于x的二次函数，故本选项不符合题意；
x2
1
C、y= (x+1) 2，y是关于x的二次函数，故本选项符合题意；
2
D、y=ax2+bx+c，当a=0时不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
1
A．y=2x+5 B．y= +2x C．y=ax2+bx+c D．y=(x+2)(x−3)
x2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．
二次函数的定义：形如 且 为常数的函数，叫做二次函
y=ax2+bx+c(a≠0) a，b，c
数，再根据定义逐一进行判断即可．
【详解】解：A项．y=2x+5中没有二次项，不是二次函数，不符题意；
1 1
B项．y= +2x中 是−2次，不是二次项，所以不是二次函数，不符题意；
x2 x2
C项．y=ax2+bx+c中的二次项没有排除a≠0的情况，所以不一定是二次函数，不符
题意；
D项．y=(x+2)(x−3)展开后得：y=x2−x−6，符合二次函数定义，符合题意
故答案为：D
8．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=2x2−x B．y=x3−3x2+1
1
C．y=− D．y=3x−1
x
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如
的函数叫做二次函数进行判断即可．
y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)
【详解】A、y=2x2−x是二次函数，故本选项符合题意；
B、y=x3−3x2+1是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；1
C、y=− 右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
x
D、y=3x−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【题型3：利用二次函数的概念含参数取值范围】
1．若函数 是二次函数，则有（ ）
y=(a−2)x2+3x+1
A．a≠0 B．a≠2 C．x≠0 D．x≠2
【答案】B
【分析】直接根据二次函数的定义解答即可．本题考查的是二次函数的定义，熟知一
般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题
的关键．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
y=(a−2)x2+3x+1
∴a−2≠0，
解得a≠2．
故选：B．
2．若函数 是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（ ）
y=xm2−2−4
A．1 B．−2 C．2 D．2或−2
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、
b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可．
【详解】解：∵函数 是关于x的二次函数，
y=xm2−2−4
∴m2−2=2，
解得m=±2，
故选：D．
3．若函数 是y关于x的二次函数时，则k的值为（ ）
y=(2−k)x|k|+kx+3
A．2 B．−2 C．±2 D．k≠2
【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到2−k≠0且|k)=2，
然后解不等式和方程即可得到k的值．
【详解】解： 函数 是关于 的二次函数，
∵ y=(2−k)x|k|+kx+3 x
∴ |k)=2，解得k=−2或k=2，
∵ 2−k≠0，
∴ k≠2，
∴ k=−2．
故选：B．
4．当二次函数的解析式为 时， 的值为（ ）
y=(a−1)xa2+1+2x+3 a
A．1 B．2 C．−1 D．−2
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不等于零是解
题的关键．
先根据二次函数的定义列式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的解析式为 ，
y=(a−1)xa2+1+2x+3
∴a2+1=2且a−1≠0，解得：a=−1．
故选C．
5．若函数 表示 是 的二次函数，则 的值为 ．
y=(k−2)x|k)+3x+1 y x k
【答案】−2
【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出|k−2)≠0，|k)=2，计
算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵函数 表示 是 的二次函数，
y=(k−2)x|k)+3x+1 y x
∴(k−2)≠0，|k)=2，
解得：k=−2，
故答案为：−2．
6．如果 是二次函数，则 的值为 ．
y=(k−3)x|k−1)+x−3 k
【答案】−1【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，
形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据二次函数
中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知|k−1)=2，k−3≠0，由此可解．
【详解】解： 函数 是二次函数，
∵ y=(k−3)x|k−1)+x−3
∴ |k−1)=2，k−3≠0，
解|k−1)=2得：k=3或k=−1，
解k−3≠0得：k≠3，
∴ k=−1，
故答案为：−1．
【题型4：二次函数的一般形式】
1．二次函数解析式y=x2+2x−1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．1，2，1 B．1，2，−1 C．0，2，−1 D．0，−2，−1
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一
次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：y=ax2+bx+c（a、
b、c是常数，a≠0）．其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定
义作答即可．
【详解】解：二次函数y=x2+2x−1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，−1．
故选：B．
2．二次函数y=2x2+4x−3的常数项为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．−3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答．
【详解】二次函数y=2x2+4x−3的常数项为−3，
故选：D．
3．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（
）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【答案】B
【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．
【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数
项是c＝3；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项
系数和常数项时，不要漏掉符号．
4．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9
【答案】D
【分析】根据二次函数的标准形式即可得到答案．
【详解】二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，属于基础题，熟知二次函数的一般形式是
解题的关键．
5．已知二次函数y=1−3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是
（ ）
A．a=1,b=−3,c=5 B．a=1,b=3,c=5
C．a=5,b=3,c=1 D．a=5,b=−3,c=1
【答案】D
【分析】把函数化成y=ax2+bx+c的形式进行判断即可；
【详解】∵函数y=1−3x+5x2是二次函数，
∴a=5，b=−3，c=1．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的人数，准确分析是解题的关键．
6．将二次函数 化成一般形式，其中二次项系数为 ，一次项系数为
y=−2(x−2) 2
，常数项为 ．
【答案】 −2 8 −8
【分析】通过去括号，移项，可以把方程化成二次函数的一般形式，然后确定二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】y=﹣2（x﹣2）2变形为：y=﹣2x2+8x﹣8，所以二次项系数为﹣2；一次项系数
为8；常数项为﹣8．
故答案为﹣2，8，﹣8．
【点睛】本题考查的是二次函数的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，得到
二次函数的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项的值．
【题型5：二次函数的函数值】
1．当x=1时，y=2x2−1的函数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把x=1
代入函数解析式进行计算即可得解．
【详解】解：当x=1时，y=2x2−1的函数值为y=2×12−1=1，
故选：B．
2．已知二次函数y=x2+2x−5，当x=3时，y= ．
【答案】10
【分析】把x=3代入y=x2+2x−5计算即可．
【详解】把x=3代入y=x2+2x−5，得
y=32+2×3−5=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键．
3．二次函数y=x2−2x−3中，当x=−1时，y的值是 ．
【答案】0
【分析】把x=−1代入y=x2−2x−3计算即可．
【详解】解：当x=−1时，y=x2−2x−3=1+2−3=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把x=−1代入y=x2−2x−3计算．1．已知函数 ．
y=(m2−9)x2−(m−3)x+2
(1)当m为何值时，这个函数是二次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是一次函数？
【答案】(1)m≠±3
(2)m=−3
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特
征是解题关键．
（1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可；
（2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当函数 为二次函数时，
y=(m2−9)x2−(m−3)x+2
则m2−9≠0，
即m≠±3．
（2）解：当函数 为一次函数时，
y=(m2−9)x2−(m−3)x+2
则¿，
解得：m=−3．
32．下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项．
① ；
3 y=3(x−1) 2+1
②y=−0.5(x−1)(x+4)；
③s=3−2t2；
④ ．
y=2x(x2+3x−1)
【答案】见解析
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．
根据形如 是二次函数，可得答案．
y=ax2+bx+c(a≠0)
4
【详解】解：①3 y=3(x−1) 2+1：化简得：y=x2−2x+ ，是二次函数，二次项是
3
4
x2，一次项是−2x，常数项是 ；
3
②y=−0.5(x−1)(x+4)：化简得：y=−0.5x2−1.5x+2，是二次函数，二次项是−0.5x2，一次项是−1.5x，常数项是2；
③s=3−2t2：整理得：s=−2t2+3，是二次函数，二次项是−2t2，一次项是0，常
数项是3；
④ ：化简得： ，不是二次函数．
y=2x(x2+3x−1) y=2x3+6x2−2x
