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y=a（ x-h ） 2
专题 22.1.3.1 二次函数 的图象和性质（4 个考
点）
【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】
【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】
【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】
【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】
【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】
1．抛物线 的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线 中，其顶点坐标为 ，
直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线 的顶点坐标是 ．
故选：C．
2．二次函数 的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握 的顶点坐标为 是解题的关
键．
【详解】解：二次函数 的顶点坐标为 ，故答案为： ．
3．二次函数 的顶点坐标为 ．
【答案】(1，0)
【分析】由抛物线解析式可求得顶点坐标．
【详解】解：∵ ，
∴顶点坐标为（1，0），
故答案为（1，0）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在
中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】
4．已知点 ， 在抛物线 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据二次函数的性质
可以判断出 与 的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】解：∵ ，
∴开口向下，对称轴为直线 ，
∵ ， 是抛物线 上的两点，且 离对称轴较近，
∴ ，
故选：A．
5．关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．当 时，y随x的增大而减小C．对称轴是直线 D．与坐标轴有两个交点
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
根据二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：对于抛物线 ，
∵ ，
∴开口向上，A正确；
对称轴是直线 ，C正确；
当 时，y随x的增大而增大，B错误；
当 时，
解得 ，
∴抛物线与 轴有一个交点，
又∵抛物线与 轴有一个交点，
∴抛物线与坐标轴有两个交点，D正确；
故选：B．
6．设函数 ， ，直线 与函数 ， 的图象分别交于点
，得（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据题意分别画出 ， 的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若 ，则 ，故A选项错误；
如图所示，若 ，则 或 ，
故B、D选项错误；
如图所示，若 ，则 ，故C选项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
7．二次函数的 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据解析式 ， ，可得图象开口向上，对称轴为直线 ，顶
点坐标为 ，即可得．
【详解】解：∵ ， ，
∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故选：D．
【点晴】本题考查了二次函数的图象，熟练记住图象与系数的关系是关键．
8．二次函数 ，当 时 随 的增大而增大，则 的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查抛物线的对称性、增减性，掌握当 时，抛物线的开口向上，在对称
轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小是正确解答的关键．
再根据性质结合数形结合解答即可．
【详解】解：二次函数 的 ，因此在对称轴的右侧，即 时，y随x
的增大而增大，
又∵当 时，y随x的增大而增大，
∴ ，
故答案为： ．
9．已知 ，当 时，函数值y随x的增大而 ．
【答案】减小
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数，在对称轴左侧
函数值y随x的增大而减小，在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ， ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时，函数值y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
10．抛物线 与x轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：抛物线 与x轴的交点坐标为 ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数 顶点
坐标在x轴上，顶点坐标为 ．
11．已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的
开口方向 ．
【答案】向上
【分析】先写出对称轴为直线x＝﹣m，根据顶点在y轴的右侧，且am＜0可得答案．
【详解】解：y＝a（x+m）2的对称轴为直线x＝﹣m，
∵顶点在y轴的右侧，
∴﹣m＞0，m＜0，
∵am＜0，
∴a＞0，开口方向向上，
故答案为：向上．
【点睛】此题考查抛物线的性质，正确掌握各形式解析式的抛物线的性质是解题的关键．
12．如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点
Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为 ．
【答案】（﹣2，0）．
【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐即可；
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），
∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，掌握二次函数的图象是解题的关键.
13．二次函数 的图象不经过第 象限．
【答案】三、四【分析】先求出顶点坐标，再根据开口方向判断不经过的象限．
【详解】解：∵二次函数顶点 ，开口向上，
∴图象不经过第三、四象限，
故答案为：三、四．
【点睛】本题考查二次函数的性质，数形结合掌握二次函数的性质是解题关键．
【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】
14．若点 三点在抛物线 的图象上，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出二次函数抛物线y=a（x+1）2（a＞0）的对称轴，然后根据二次函数的增减
性求解．
【详解】解：∵二次函数y=a（x+1）2中a＞0，
∴开口向上，对称轴为x=-1，
∵-3＜-2＜-1，
∴y＞y＞y．
1 2 3
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关
键．
15．已知二次函数 的图象上有三个点，坐标分别为 ， ，
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为 ，图象开口向下， 三点
在对称轴右边，y随x的增大而减小，进而求解即可．【详解】解：由二次函数 可知，对称轴为 ，开口向下，
， ， 三点在对称轴右边，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数 时，开口向上，在对称轴的左边，
y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大； 时，开口向下，在对称
轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握二次函
数增减性并灵活运用是解决问题的关键．
16．若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由抛物线 ， ，对称轴为直线 ，可得当 时， 随 的增大
而减小，再结合 ，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线 ， ，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
∵ ，
∴ ；
故选A
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的增减性判断函数值
的大小是解本题的关键．
17．点 都在二次函数 的图象上．若 ，则 的取值范
围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象与性质，由当 时， 对称轴，可知当 时，
对称轴，列不等式求解即可得到答案．
【详解】解： 二次函数 ，
抛物线的开口向上，对称轴为 ，
点 都在二次函数 的图象上，且 ，
，即 ，解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，理解利用二次函数图象与性质比较大小的方法是
解决问题的关键．
18．若 ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐
标的大小比较，即可得出 的大小关系．
【详解】解：二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
∴ 正好是抛物线的顶点坐标，
∴ 是二次函数的最大值，∵在对称轴左侧， 随 的增大而增大，
又∵ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下
时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图
象上距离对称轴越远的点，函数值越大．
19．已知 ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据 ， ， 三点到对称轴的
距离大小关系求解．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象的对称性．
20．若 ， ， 为二次函数 的图象上的三点，则 ，
， 大小关系为 ．
【答案】 /
【分析】根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线 ，即可根据自变量的大小判断函数值的大小
【详解】∵二次函数为：
∴
∴二次函数 的开口向上，对称轴为： ，
∴当 时，二次函数 的函数值随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴和开口方向
是解决问题的关键
21．若点 、 在抛物线 的图象上，且 ，则m与n的
大小关系为 ．
【答案】 /
【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性
质求解即可．
【详解】解：由抛物线 可得， ，开口向下，对称轴为 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
又∵ ，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
22．已知二次函数 ，当 时，函数值y的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可．【详解】解： 的对称轴为直线 ， ，开口向上，
当 时， 最小为 ，
又∵ ，
∴ 时， 最大为
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．
23．若点 ， 在抛物线 上，则 与 的大小关系为：
（填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出 ， 的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵若点 ， 在抛物线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求
出 ， 的值是解题的关键．
【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】
24．将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左移减，右移加，
上移加，下移减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【详解】解： 的顶点坐标为 ，把点 向右平移3个单位，再向上平移
1个单位得到的对应点的坐标为 ，
所以平移后的抛物线的解析式是 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：
“左移减，右移加，上移加，下移减”是解题的关键．
25．把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加
下减”即可解答．
【详解】把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数
表达式的变化特点．26．如果将抛物线y=2x2-1向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( )
A．y=2x2 B．y= 2(x+1)2-1
C．y=2x2-2 D．y=2(x-1)2-1
【答案】B
【分析】根据抛物线平移的规律作答即可．
【详解】将抛物线y=2x2-1向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数平移的规律，即“上加下减，左加右减”，熟练运用知识点
是解题的关键．
