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专题 22.11 特殊四边形——二次函数的综合
◆ 典例分析
【典例1】如图，抛物线y=ax2+ax−2a(a<0)与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C，
3
△ABC的面积为 ．
2
（1）直接写出A、B两点坐标以及抛物线的解析式；
（2）点P(2,ℎ)在抛物线上，点D在第三象限的抛物线上∠APD=∠BAP，求点D的坐标；
（3）若抛物线上一点E，使△ABE的面积为△ABC的2倍，求E点的坐标？
（4）若抛物线上有点P，点Q在坐标轴上，要使A，C，P，Q为平行四边形，求P，Q点的坐标？
【思路点拨】
3
（1）令y=0，且a<0，可求出A(−2,0)，B(1,0)，根据△ABC的面积为 ，可求出OC，由此即可求解；
2
（2）点P(2,ℎ)在抛物线上，可求出点P的坐标，根据AB∥PD，点D的纵坐标为−2，代入二次函数即
可求解；
（3）根据题意可得△ABE的面积为为3，设E ( e,− 1 e2− 1 e+1 ) ，结合图形面积可得
2 2
| − 1 e2− 1 e+1 ) =2，由此即可求解；
2 2
（4）设P ( p,− 1 p2− 1 p+1 ) ，根据平行四边形的性质，中点坐标的计算，分类讨论：点Q在y轴上，四
2 2
边形ACPQ是平行四边形；点Q在x轴上，四边形ACPQ是平行四边形；点Q在x轴上，四边形ACQP是
平行四边形；点Q在y轴上，该种情况不符合题意；图形结合分析，即可求解．
【解题过程】（1）解：抛物线y=ax2+ax−2a(a<0)与x轴交于A、B两点（A在B左边），
∴令y=0，且a<0，则x2+x−2=0，
解得，x =1，x =−2，
1 2
∴A(−2,0)，B(1,0)，
∴AB=1−(−2)=3，
3
∵△ABC的面积为 ，
2
1 3 3 3
∴S = AB·OC= ，即 OC= ，
△ABC 2 2 2 2
解得，OC=1，
∴C(0,1)，
∴−2a=1，
1
解得，a=− ，
2
1 1
∴抛物线的解析式为：y=− x2− x+1；
2 2
（2）解：点P(2,ℎ)在抛物线上，
1 1
∴ℎ =− ×22− ×2+1=−2，即P(2,−2)，
2 2
∵点D在第三象限的抛物线上∠APD=∠BAP，
∴AB∥PD，
∴点D的纵坐标为−2，
1 1
∴−2=− x2− x+1，
2 2
解得，x =2，x =−3，
1 2
∴D(−3,−2)；
3
（3）解：∵△ABC的面积为 ，△ABE的面积为△ABC的2倍，
2
3
∴△ABE的面积为为 ×2=3，
2
∵抛物线上一点E，
∴设E ( e,− 1 e2− 1 e+1 ) ，
2 2∴S = 1 ×3× | − 1 e2− 1 e+1 ) =3，
△ABE 2 2 2
∴ | − 1 e2− 1 e+1 ) =2，
2 2
1 1
当− e2− e+1=2时，整理得，e2+e+2=0，
2 2
∵Δ=12−4×1×2=−7<0，方程无实数根，
1 1
∴− e2− e+1=2舍去；
2 2
1 1
当− e2− e+1=−2时，整理得，e2+e−6=0，
2 2
解得，e =2，e =−3，
1 2
∴E(2,−2)或E(−3,−2)，
∴△ABE的面积为△ABC的2倍时，点E的坐标为(2,−2)或(−3,−2)；
（4）解：已知A(−2,0)，C(0,1)，
∴OA=2，OC=1，且∠AOC=90°，
∴ ，
AC=❑√OA2+OC2=❑√5
∵抛物线上有点P，
∴设P ( p,− 1 p2− 1 p+1 ) ，
2 2
第一种情况，如图所示，点Q在y轴上，四边形ACPQ是平行四边形，
设Q(x,y)，
∴AP的中点坐标为
(p−2
,−
1
p2−
1
p+
1)
，CQ的中点坐标为
(x
,
y+1)
，
2 4 4 2 2 2
p−2 x
{ = )
2 2
∴ ，
1 1 1 y+1
− p2− p+ =
4 4 2 2解得， {
x=p−2
) ，即 ( −p2−p)，
−p2−p Q p−2,
y= 2
2
∴p−2=0，
解得，p=2，
∴P(2,−2)，Q(0,−3)；
第二种情况，如图所示，点Q在x轴上，四边形ACPQ是平行四边形，
−p2−p
∴ =0，
2
解得，p =0，p =−1，
1 2
当p=0时，P(0,1)，Q(−2,0)，则点P与点C重合，点Q与点A重合，
∴不符合题意，舍去；
当p=−1时，P(−1,1)，Q(−3,0)，符合题意；
第三种情况，如图所示，点Q在x轴上，四边形ACQP是平行四边形，
同理，CP的中点坐标为 (p ,− 1 p2− 1 p+1 ) ，AQ的中点坐标为 (x−2 , y) ，
2 4 4 2 2
p x−2
{ = )
2 2
∴ ，
1 1 y
− p2− p+1=
4 4 2
解得， { x 1 =p+2 1 ) ，即Q ( p+2,− 1 p2− 1 p+2 ) ，
y=− p2− p+2 2 2
2 2
1 1
∴− p2− p+2=0，
2 2❑√17−1 −❑√17−1
解得，p = ，p = ，
1 2 2 2
当 ❑√17−1时， (❑√17−1 )， (❑√17+3 )，符合题意；
p= P ,−1 Q ,0
2 2 2
当 −❑√17−1时， (−❑√17−1 )， (−❑√17−3 )，符合题意；
p= P ,−2 Q ,0
2 2 2
第四种情况，如图所示，点Q在y轴上，
∵点C,P在抛物线上，若PQ=AC，则重合，
∴该种情况不符合题意；
综上所示，要使A，C，P，Q为平行四边形，点P，Q的坐标为：P(2,−2)，Q(0,−3)或P(−1,1)，
或 (❑√17−1 )， (❑√17+3 )或 (−❑√17−1 )， (−❑√17−3 )．
Q(−3,0) P ,−1 Q ,0 P ,−2 Q ,0
2 2 2 2
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，一次函数y=−x+3的图像与x轴和y轴分别交于点B和
点C，二次函数y=−x2+bx+c的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点M(m，0)是线段OB上一个
动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线BC相交于点D和点E，连
接CD．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与
y轴交于点N，过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D，已
知A(−1,0)，D(5,−6)，P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，抛物线y=ax2+bx−4交x轴于点A(−2，0)和点
B(4，0)，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上动点，连接PC，PB，当△BPC的面积最大时，求点P的坐标及面积
的最大值；
（3）在（2）的条件下，若点N是直线BC上的动点，在平面内，是否存在点Q，使得以P、B、N、Q分
别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由．1
4．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，抛物线y= x2+2x−6与x轴交于A，B两点（点A在点B的
2
左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求A、B，C三点的坐标；
（2）求直线BC的函数表达式．
（3）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．在直线l上
是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，
请说明理由．5．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
C，OA=OC=3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC于点M，当点N坐标为多少时，线段
MN的长度最大？最大是多少？
（3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L
点的坐标．6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，
与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰
三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展设问：点E为平面内一点，直线AC上方的对称轴上是否存在点F，使得以A、C、F、E为顶点的
四边形是菱形．若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4
7．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，二次函数y=ax2− x+c的图象与x轴交于A(3,0)点，
3
与y轴交于点B(0,−2)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上一动点，且S =3，求点P的坐标；
△POA
（3）点M是抛物线上一动点，点Q为x轴上一动点，当以点A，B，Q，M为顶点的四边形为平行四边形
时，求点M的坐标．8．（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）如图，抛物线y=x2+bx+c经过B(3,0)、C(0,−3)两点，与x
轴的另一个交点为A，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积
的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、
M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2024·山西长治·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴
交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图2中，对称轴直线l与x轴交于点H，连接AC，CD，BD，求四边形ACDB的面积；
（3）点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若
存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2023·山西太原·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−2,0)和B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设点D在第一象限，且△BCD≅△BCA，求点D的坐标；
（3）点A绕抛物线的对称轴l上一点P顺时针旋转90°恰好与点C重合，将△ACP沿x轴平移得到
△A′C′P′，点A，C，P的对应点分别为点A′，C′，P′．在抛物线上是否存在点E，使得以A′，C′，P′，E
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3
11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于点A和B，点B的坐
4
标是(4.0)，与y轴交于点C(0,−3)．点D在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2．当点D在第四象限的抛物线上运动时，连接BD，CD，BC，当△BCD的面积最大时，求点
D的坐标及△BCD的最大面积；
（3）当点E在x轴上运动时，借助图1探究以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出
点E的坐标．
12．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数y =ax²+bx+c图象顶点坐标为A(1，4)，一次函数
1
y =mx+n图象与二次函数图象相交于y轴上一点B(0，3)，同时相交于x正半轴上点C．
2（1）试求二次函数y =ax²+bx+c与一次函数y =mx+n的表达式．
1 2
（2）连接AB，AC，试求四边形ABOC的面积．
（3）假设点P 是二次函数y =ax²+bx+c对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存
1
在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存
在，请说明理由．
13．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线y=−x2+bx+c与直线y=−x+3相交于点B和C，点B
在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线y=−x2+bx+c的解析式；
（2）如图2，将直线BC绕点B逆时针旋转90°交y轴于点D，在直线BD上有一点P，求△ACP周长的最
小值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y=−x2+bx+c沿射线CB方向平移❑√2个单位长度得到新抛物线y′，在新抛物线y′
上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所
有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图， 抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，
直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点（P与A， C不重合），过 P 点作y轴的平行线交抛物线于点 E，求
△ACE面积的最大值；
（3）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四
边形？如果存在，请求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点 D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上
一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，请直接写出点N的坐标；若
不存在，请说明理由．
15．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）已知二次函数y=−x2+bx+c（其中b、c为常数）经过点
A(3,0)，对称轴为直线x=1，点P在抛物线上，其横坐标为m．
（1）求该二次函数的解析式．（2）抛物线在P、A之间的函数部分（包括P、A两点）的最大值为4−m时，求出此时m的值．
(m m)
（3）已知点B , ，点P关于点B的对称点为点M，以PM为对角线构造矩形PQMN，其中PQ⊥x
2 2
轴．
①m>0，抛物线在矩形PQMN内部的函数部分y随x的增大而增大或者y随x的增大而减小时，求m的取
值范围．
②取线段MN的中点记为R，当矩形PQMN与抛物线存在多个交点时，设其中一个交点为G（非点P），
7
当存在以Q、N、R、G为顶点的四边形的面积与矩形PQMN的面积比为 时，直接写出此时m的
16
值．
16．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b、c为常数）经
过点(0,−3)和点(3,0)，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作x轴垂线交直线y=2x于点Q，分别作点P、Q关于y轴的对称点N、M，构造矩形PQMN．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）当抛物线顶点落在矩形PQMN的边上时，求矩形PQMN的面积．
（3）当抛物线在矩形内部的图象y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
（4）抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出m的值．
