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专题 22.4 二次函数 y=a(x−h) 2的图象与性质
1. 掌握 型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。
教学目标
2. 掌握 与 之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题目。
1. 重点
（1） 型二次函数的性质；
（2） 型二次函数的图象；
教学重难点 （3） 与 之间的平移规律；
2. 难点
（1）函数图象的共存问题；
（2）函数图象上的点的特征；
（3） 与 之间的平移。知识点01 y=ax2与y=a(x−ℎ) 2 的之间的平移
1. 函数平移规律：
函数分为 平移和 平移；
左右平移在 上进行加减，规律为 ；上下平移在 上进
行加减，规律为 。
2. 与 之间的平移：
由函数的平移可知：
①若 ，可将 向 平移 个单位得到函数 。
②若 ，可将 向 平移 个单位得到函数 。
【即学即练1】
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
知识点02 y=a(x−ℎ) 2 的图象与性质
由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：
（向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移）
大致图象
开口方向
的绝对值越大，开口越
开口大小
的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边y随x的增大而 对称轴右边y随x的增大而
增减性 。 。
对称轴左边y随x的增大而 对称轴左边y随x的增大而。 。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练1】
2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
3．抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【即学即练3】
4．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2的顶点坐标为（ ）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0）
【即学即练4】
5．已知函数y＝（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【即学即练5】
6．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝3
C．当x＞﹣3时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
【即学即练6】
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【即学即练7】
8．若A（﹣1，y ）、B（﹣2，y ）、C（1，y ）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则y 、y 、y
1 2 3 1 2 3
的大小关系是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 2
题型01 y=a(x−h) 2的性质
【典例1】二次函数y＝（x﹣1）2的图象的顶点坐标为 ．
【变式1】抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的顶点坐标和对称轴是（ ）
A．（﹣1，0），直线x＝﹣1 B．（1，0），直线x＝1
C．（0，1），直线x＝﹣1 D．（0，1），直线x＝1
【变式2】对于二次函数y＝5（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大
【变式3】已知二次函数y＝﹣2（x﹣a）2（a为常数），当x＞3时，y随x的增大而减小，则a的取值范
围是 ．
题型02 y=a(x−h) 2的图象
【典例1】二次函数y＝﹣2（x﹣1）2的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
3
【变式1】在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+1与y =− (x−1) 2 的图象大致是（ ）
2
A． B．
C． D．
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝m（x+n）2和一次函数y＝mx+n（m≠0，n≠0）的图象
大致为（ ）
A． B．C． D．
题型03 y=a(x−h) 2的图象上的点的特征
【典例1】点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ）在二次函数y＝（x+1）2的图象上，则（ ）
1 2
A．y ＜0＜y B．y ＜0＜y C．0＜y ＜y D．0＜y ＜y
1 2 2 1 1 2 2 1
【变式1】已知二次函数y＝（x﹣1）2，（0，y ），（2，y ），（3，y ）为该二次函数图象上的点，则
1 2 3
y ，y ，y 为的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＝y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＝y D．y ＜y ＝y
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
【变式2】抛物线y＝2（x﹣1）2的图象经过点A（﹣3，y ），B（1，y ），C（4，y ），则y ，y ，y 大
1 2 3 1 2 3
小关系是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1
【变式3】若点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ），C（2，y ）在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
题型04 y=ax2与y=a(x−h) 2之间的平移
【典例1】二次函数y＝2（x+3）2的图象是由函数y＝2x2的图象向 左 （左、右、上、下）平移3个
单位长度而得到．
【变式 1】在平面直角坐标系中，若抛物线 y＝（x+3）2平移后经过原点 O，则平移的方式可能是
（ ）
A．向上平移3个单位长度
B．向下平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度
D．向右平移3个单位长度
1 1
【变式2】将抛物线y= x2 平移后得到抛物线y= (x−1) 2 ，则平移的方式是（ ）
2 2
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
【变式3】将函数y＝x2的图象向左、右平移后，得到的新图象的解析式不可能是（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+4x+4 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+41．抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
2．将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝3x2+1 D．y＝3x2﹣1
3．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝1的是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝﹣（x﹣1）2
4．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过原点 B．开口向上
C．对称轴是直线x＝﹣2 D．最高点是（2，0）
5．由抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+4）2，则下列平移方式可行的是（ ）
A．向左平移4个单位长度
B．向右平移4个单位长度
C．向下平移4个单位长度
D．向上平移4个单位长度
6．如图，二次函数y＝（x+a）2与一次函数y＝ax﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … m 1 ﹣2 ﹣3 n 1 6 …
则当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是（ ）
A．﹣3＜y＜6 B．﹣2＜y＜6 C．﹣3≤y＜6 D．﹣2≤y＜6
8．已知（﹣3，y ）、（0，y ）和（1，y ）都在抛物线y＝（x+2）2上，那么y 、y 和y 的大小关系为（
1 2 3 1 2 3）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 3 2
9．设函数y =−(x−a ) 2，y =−(x−a ) 2，直线x＝1的图象与函数y ，y 的图象分别交于点 A（1，
1 1 2 2 1 2
c ），B（1，c ），得（ ）
1 2
A．若1＜a ＜a ，则c ＜c B．若a ＜1＜a ，则c ＜c
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若a ＜a ＜1，则c ＜c D．若a ＜a ＜1，则c ＜c
1 2 1 2 1 2 2 1
10．设抛物线y＝ax2（a＞0）与直线y＝kx+b相交于两点，它们的横坐标为x ，x ，而x 是直线与x轴交点
1 2 3
的横坐标，那么x 、x 、x 的关系是（ ）
1 2 3
1 1
= +
A．x ＝x +x B．x
3 1 2 3 x x
1 2
C．x x ＝x x +x x D．x x ＝x x +x x
1 2 2 3 3 1 1 3 2 3 1 2
11．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为 ．
12．下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与 y＝﹣2x2的相同；乙：顶点在
x轴上；丙：对称轴是直线x＝﹣3．请你写出这个二次函数 ．
13．如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是
．
14．若点A（﹣3，y ），B（﹣2，y ），C（2，y ）在二次函数y＝a（x+1）2（a＞0）的图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系是 ．
2 3
x +x
15．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x ，x 时，函数的值相等，则当x取 1 2时，函数的值是
1 2
5
．
1 1
16．请在同一坐标系中画出二次函数①y= x2 ；②y= (x−2) 2 的
2 2
图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴
和顶点．17．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成
的三角形的面积．
18．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝﹣2时，y的值；
（2）写出它的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）将y＝ax2的图象向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后得到新图象，求新图象的函数
表达式．19．若抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交于点A（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出它的顶点坐标和开口方向；
（3）当x取何值时，抛物线中y随x增大而增大．
20．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求b的值；
（3）若点D（2，y ），E（3，y ）在此抛物线上，比较y 与y 大小．
1 2 1 2
