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专题 22.4 解题技巧专题：待定系数法求二次函数的解析式之六大模型
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【模型一 一点一参数代入求二次函数的解析式】........................................................................................1
【模型二 两点两参数代入求二次函数的解析式】........................................................................................5
【模型三 三点三参数代入求二次函数的解析式】......................................................................................10
【模型四 一点一对称轴求二次函数的解析式】..........................................................................................17
【模型五 已知顶点式求二次函数的解析式】..............................................................................................28
【模型六 已知交点式求二次函数的解析式】..............................................................................................33
【典型例题】
【模型一 一点一参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点 ，求n的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）把点 代入 可求出b，从而得解；
（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点 代入可求出n的值．
【详解】（1）解：把点 代入 得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得： ，
把点 代入 得：
解得：
即n的值为1．
【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个二次函数 的图象经过点 ．
(1)求b的值；
(2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把 代入二次函数解析式即可求出b的值；
（2）根据轴对称的性质可得抛物线 关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，然
后可得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点 ，
∴把点 代入得 ，解得： ；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为 ，
∵抛物线 关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴所得抛物线解析式为 ，即 ．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
2．（2023·浙江温州·校联考三模）已知抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)抛物线与 轴的另一交点为 ，将线段 向上平移 个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点
（点 在点 左侧），若 ，求 的值．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2)3
【分析】（1）将 代入表达式，进行计算求出 的值即可得到解析式，再根据求顶点坐标的公式进
行求解即可；
（2）由对称性可得到点 的坐标，从而得到 的长度，再由 可得到 的长度，最后根据对称
性即可求出点 的横坐标，代入表达式即可求出纵坐标，从而即可得到答案．
【详解】（1）解：把 代入表达式，
得： ，
解得： ，
函数表达式为 ，
当 时， ，
顶点坐标为 ；
（2）解： ，对称轴为直线 ，由对称性可知 ，
，
，
∴ ，
点 在点 左侧，
由对称性可得，点 的横坐标为： ，
当 时， ，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的对称性，熟
练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，抛物线 ，C为y轴正半轴上一点，
过点C作 轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），且 ， ．
(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式．
(2)当 ，最大值与最小值的差是9，求t的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接求出对称轴，再根据对称轴求出点A的坐标，利用待定系数
法即可求出函数的表达式；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数图形的性质，针对 ， 和 三种情况进行分析
即可得到答案．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为： ，即 ；
如下图所示，设对称轴 交 于点E，交x轴于点F，设抛物线顶点为D，
∵对称轴 ， ， ，
∴
∴
∴
将 代入抛物线的解析式得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解： ∵ ，
∴抛物线的顶点为 ，
当 时， ，即为点 ，
∵顶点为 ，
∴当 时， ，
最大值与最小值的差是不等于9，
当 时，
最大值为 ，最小值为点 ，最大值于最小值相差为9，
当 时，最大值大于 ，此时，最大值于最小值相差不等于9，
∴当 ，最大值与最小值的差是9，t的取值范围为：
【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握对称轴的公式和二次函数的图像性质．
【模型二 两点两参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数 图象经过点 和 ．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1) ，顶点坐标为 ；
(2)
【分析】（1）把 和 代入 ，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶
点式，可得顶点坐标；
（2）把 代入函数解析式求解 的值，再利用函数图象可得 时 的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数 图象经过点 和 ．
∴ ，解得： ，
∴抛物线为 ，
∴顶点坐标为： ；
（2）当 时， ，∴
解得： ， ，
如图，当 时，
∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等
式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）如图，二次函数 的图象与x
轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P在二次函数图象上，且 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点B的坐标，进而求出 的面积，则由三角形面积公式可求出点P的纵坐标，进而求出
点P的坐标即可．
【详解】（1）解：把 代入 中得： ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ；
（2）解：当 时，则 ，解得 或 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，解得 ，即 ；
当 时，解得 或 ，即 或 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接 ， ， ，P为 的中点，连接 ，则线段 的长是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出点 的坐标，再利用中点坐标公式可得点 的坐标，然后利用两点之
间的距离公式即可得．
【详解】（1）解：将点 ， 代入
得： ，
解得 ，
则该抛物线的解析式为 ．
（2）解：抛物线 的顶点坐标为 ，
当 时， ，即 ，
∵P为 的中点，且 ，
∴ 即∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点
和点 ，且经过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)结合函数图象当 时，求自变量 的取值范围；
(3)点 为抛物线上一点且到 轴距离小于 ，结合函数的图象求点 纵坐标 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) ．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）令 ，解方程求得 的坐标，进而结合图象即可求解；
（3）根据解析式可得，抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，根据 ，且 ，根
据增减性，结合函数图象即可求解．【详解】（1）解：将 和 代入
得 ，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）由(1)可知抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，得 ， ，
， ，
结合函数图象可得，当 时，自变量 的取值范围为 或 ；
（3） ，
抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
，且 ，
当 时， 取得最大值，最大值是 ，
当 时， ；
当 时， ；
．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式解析式，求与坐标轴的交点坐标，根据图象
求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
【模型三 三点三参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）已知二次函数 的图像经过（－1，0），
（0，2），（1，0）三点．(1)求该二次函数的表达式；
(2)当 时，y的取值范围是______．
(3)将该函数的图像沿直线x＝1翻折，直接写出翻折后的图像所对应的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据（－1，0），（1，0）两点可得顶点坐标为（0，2），设顶点式代入点坐标即可；
（2）求出对称轴，判断出对称轴在 内，故在对称轴处取最大值，端点处取最小值；
（3）图像沿直线x＝1翻折， 不变，顶点坐标变为 ，代入顶点式即可．
【详解】（1）解：根据题意，可得图像顶点坐标为（0，2），设二次函数的表达式为 ．
将（1，0）代入，求得 ，
∴ ．
（2）解： 对称轴为 轴，且开口向下
当 时， 有最大值2（能取到）
当 时， 有最小值 （取不到）
y的取值范围是：
（3）解：顶点坐标变为
所以表达式为：
（或 ， ）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要知识点有：求最值、待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟
记二次函数的相关性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线 经过点 ， 、 ， 、 ， ．(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 为何值时， ？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解．
（2）当 时，当抛物线与直线 交于点 ，根据抛物线的开口向下，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）把 ， 、 ， 、 ， 代入二次函数解析式，可得：
，解得 ．
所以抛物线的解析式为： ；
（2）解：由 ，当 时，
解得：
∴当抛物线与直线 交于点 ，
根据二次函数的图象可得， 时， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的
关键．
2．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点 ， ）、（ ， ）、（ ， ），且与
轴交于 、 两点．
(1)试确定该二次函数的解析式；
(2)判定点 ， 是否在这个图象上，并说明理由；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2)在，理由见解析(3)6
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）将 代入解析式，得 ，即可得出结论；
（3）令 ，求得 的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）设二次函数为 ，把 ， 、 ， 、 ， 代入二次函数解析式，
得： ，
解得 ．
∴二次函数的解析式为： ；
（2）把 代入解析式，可得： ，所以点 ， 在函数图象上．
（3）当 ， ，
解得： ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与 轴的交点问题，
熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过 ， ，
三个点．(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时， 的周长最小．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2)当点D的坐标为 时， 的周长最小
【分析】（1）设这个二次函数的解析式为 ，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2） 与对称轴的交点即为点D，此时 的周长最小．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 ，将A、B、C三点代入，
得 ，
解得： ， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：抛物线 的对称轴为 ，
如图，连接 与对称轴 交于点D，
∵ ， ，
∴B、C关于对称轴 对称，∴ ，
∴ ，
∵ 为定值，
此时 的周长取得最小值，点D即为所求；
设直线 解析式为 ，
将A、C两点代入得 ，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴当点D的坐标为 时， 的周长最小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，最短路径问题，掌握两直线交点求法是求出点D的关
键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 过点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点 是直线 上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此时点 的坐标；
(3)若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在以 为边，点 为
顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2) 的最大面积为 ，
(3)存在， 或 或 ， ，见解析
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线 的解析式为 ，设点 ，过点P作
轴于点D，交 于点E，得出 ，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
（3）分两种情况进行分析：若 为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入解析式得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，将点B、C代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
设点 ，过点P作 轴于点D，交 于点E，如图所示：∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大面积为 ，
，
∴
（3）存在， 或 或 或 ， ，证明如下：
∵ ，
∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为： ，
设点 ，
若 为菱形的边长，菱形 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，，
∵
，
∴
∴ ， ；
若 为菱形的边长，菱形 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，
，
∵
，
∴
∴ ， ；
综上可得：
或 或 ， ．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四
边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【模型四 一点一对称轴求二次函数的解析式】
例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴交于A，B两
点，与y轴交于C点，且A点坐标为 ．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点 是x轴上的一个动点，当 的值最小时，求a的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据对称轴为直线 ，可得 ，即可求出b的值，再将点A的坐标代入，求出c的
值，即可得出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得出点D坐标；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接 ，交x轴于点M，此时 的值最小，求出 所在直线
的表达式，即可求出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，解得： ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
∴点D的坐标为 ．
（2）解：作点C关于x轴的对称点E，连接 ，交x轴于点M，
把 代入 得： ，
∴ ，∴ ，
设 所在直线为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，
∴ 所在直线的表达式为：为 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关
键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，
对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在抛物线上，若直线 平分 的面积，请直接写出点 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为
(2) ，
【分析】（1）先根据对称性求出与x轴的另一个交点，再根据交点式可直接出结果；
（2）由直线 平分 的面积推出直线 经过 的中点，求出这个中点，从而求出直线 的解
析式，将直线 的解析式与抛物线的解析式联立方程组可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：点 关于直线 的对称点是 ，点 在抛物线 上，
∴ 的两根是 ，
又∵二次项系数 ，
∴由交点式 可得抛物线的解析式为： ，即 ；
（2）点 的坐标： ， ．
补充求解过程如下：
令 得：
∴
∵直线 平分 的面积，
∴直线 经过 的中点，设为点D，
∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
将点D代入 得：
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
将直线 的解析式与抛物线的解析式联立得：
将①代入②得：
解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
∴直线 与抛物线的公共点即点 的坐标： ，
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，直线与二次函数的交点问题，
掌握待定系数法和求抛物线与直线的交点的方法是解题的关键．
2．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线 交 轴于C，D两点，其中点C的坐标为 ，
对称轴为 ．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为 ， ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连接 ，若抛物线 向下平移 个单位时，与线段 只有一个公共点，求k的取值
范围．
【答案】(1) ；
(2) 或【分析】（1）根据抛物线的对称轴为 ，求出b的值，将 代入 求出c的值即
可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式 ，即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）先求出抛物线 向下平移 个单位后解析式为 ，得出顶点坐标为
，再分别求出当抛物线顶点落在 上时，当抛物线经过点 当抛物线经过 时，k
的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得 ，
解得 ，
∴ ，
∴抛物线顶点坐标为 ．
（2）解：抛物线 向下平移 个单位后解析式为 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
①当抛物线顶点落在 上时， ，
解得 ，此时抛物线与 只有1个交点；
②当抛物线经过点 时， ，
解得 ，
当抛物线经过 时， ，
解得 ，根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与 有2个交点，再向下平移抛物线与 有1个交点，当
抛物线经过点B时，抛物线与 有1个交点，再向下平移抛物线与 无交点，
∴ 时，满足题意；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形
结合，准确计算．
3．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为 ，
点C的坐标为 ，对称轴为直线 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段 上的动点，作 轴交抛物线于点D，求线段 长度的最大值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式得出 ， ，从而求得三角形 的面积，设点P的坐标为，根据 即可求得 的值，从而得出点P的坐标；
（3）利用待定系数法可求得直线AC的解析式为 ，设点 ，再根据两点间的距离可表
示 ，然后利用二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）已知抛物线的对称轴为直线 ，
可设抛物线的表达式为 ，
将点 ，点 代入，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）由（1）知抛物线表达式为 ，
令 ，解得 或 ，
∴点B的坐标为 ，
∵点C坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为 ，
∴
∵ ，∴ ，
解得 或 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴满足条件的点P有两个，分别为 ， ；
（3）如解图，设直线AC的解析式为 ，
将点 ， 代入，
得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为 ，
由于点Q在AC上，可设点 ，
则点 ，其中 ，
∴∴当 时，DQ长度有最大值 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质及最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关
键．
4．（2023·河南鹤壁·统考一模）如图所示，已知抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
其中点A的坐标为 ，对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当直线 经过点C时，结合图象直接写出不等式 的解集；
(3)已知点 ， ，连接 ，若抛物线 向下平移 个单位长度时，与线
段 只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1) ，顶点坐标 ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）①抛物线向下平移1个单位时，抛物线和 有一个交点，即 ；②当 时， ，当
时， ，当抛物线向下平移 个单位时，抛物线和 恰好有2个交点，当抛物线向下平移10个单位时，抛物线和 恰好有1个交点，之后再没有交点，即可得解．
【详解】（1）∵抛物线过点 ,且对称轴为直线 ，
∴
∴
∴ ；
（2）由（1）知 ，令 得，
∴
∴
令 得
∴
∴
∴
∴当直线过点C时，直线的表达式为： ，该直线恰好过点B，
观察函数图象知，不等式 的解集为： 或 ；
（3）①由抛物线的表达式知，其顶点坐标为： ，则抛物线向下平移1个单位时，抛物线和 有一个交点，即 ；
②当 时， ，当 时， ，
当抛物线向下平移 个单位时，抛物线和 恰好有2个交点，
当抛物线向下平移 个单位时，抛物线和 恰好有1个交点，之后再没有交点，
故 ，
综上， 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形的平移等，其中（3），要注意分类
求解，避免遗漏．
5．（2023·云南曲靖·统考二模）如图，抛物线 与 轴交于 两点，对称轴为 ，直
线 的解析式为 ．
(1)当直线 与抛物线有且只有一个交点时，求 的值；
(2)若直线 经过抛物线的顶点 时， 与 轴交于点 ，把抛物线沿线段 方向向右下平移，使抛物线的
顶点移动到点 处，在平移过程中，设抛物线上 两点之间这一段曲线扫过的面积为 ，求 的值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线对称轴为 可得 ，联立 ，因直线 与抛物线有且
只有一个交点，所以该方程根的判别式为0，即 ，即可求解；
（2）可求得抛物线 的顶点坐标为 ，与 轴交点为 ，把 代
入直线 得 ，设点 平移后的对应点为点 ，连接 ，由平移性质可知四边形 为
平行四边形连接 ， ．
【详解】（1）解：由抛物线对称轴为 可得
所以抛物线的解析式为 联立抛物线与直线 的解析式
得
因直线 与抛物线有且只有一个交点，所以该方程根的判别式为0，即
解得
（2）解：由
∴顶点坐标为 ，
令 ，即 ，
解得：
∴抛物线与 轴交点为
把 代入直线 得
所以直线 ，进而得设点 平移后的对应点为点 ，连接 ，由平移性质可知四边形 为平行四边形
连接 ，
所以
对抛物线上 两点之间这一段曲线扫过的图形进行割补，可得
【点睛】本题考查了二次函数与直线的交点问题，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关
键．
【模型五 已知顶点式求二次函数的解析式】
例题：（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为 ，且过 点．
(1)求其解析式；
(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．
【答案】(1)
(2)1或3
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为 ，再将点 代入，求出a的
值，即得出该抛物线解析式；
（2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答．
【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为 ，∴可设该抛物线解析式为 ．
∵抛物线过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）对于 ，
令 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴该抛物线与x轴的两个交点分别为 ， ，
∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点．
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根
据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图像过点 ，且当 时，函数有最小值3，求该二
次函数的解析式．
【答案】
【分析】根据题意可知二次函数的顶点坐标为 ，则可把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵当 时，函数有最小值3，
∴可设二次函数解析式为 ，
把 代入函数解析式可得 ．
∴∴二次函数的解析式为： ，即 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确把函数解析式设为顶点式是解题的关键．
2．（2023秋·江西南昌·九年级统考期末）已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 在该抛物线上，求m的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为 ，点 直接代入即可．
（2）将 代入（1）中求出的表达式，解方程即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
得
解得 ，
所以此函数的解析式为
（2）解：把 代入
得 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，以及求坐标的值，准确设出表达式是解题关键．
3．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点 、顶点坐标为 ．(1)求二次函数的解析式；
(2)①当函数值 时，直接写出x的取值范围；
②当 时，直接写出函数的最大值．
【答案】(1)
(2)① ；②3
【分析】(1)设函数的解析式为 ，将 代入解析式，即可求解；
(2)①首先可求得与x轴的另一个交点的坐标为 ，再根据函数图象，即可解答；②令 ，则 ，
再根据在此范围内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】（1）解：设函数的解析式为 ，
将 代入解析式，解得 ，
∴函数的解析式为 ；
（2）解：① 二次函数的图象经过点 、顶点坐标为 ，
对称轴为直线 ，与x轴的另一个交点的坐标为 ，
当函数值 时， ；
②在 中，令 ，则 ，
当 时，由图象可知：y随x的增大而减小，
故当 时，函数的最大值为3．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，采用数形结合的思想
是解决此类题的关键．4．（2023·江苏南京·校联考三模）已知二次函数的图像经过 、 、 三点．
(1)若点 为该函数图像的顶点，求二次函数的表达式；
(2)若该函数图像的对称轴为直线 ，求 的值；
(3)若二次函数解析式中二次项系数 ，当 时， 随 的增大而减小．结合图像，直接写出
的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）利用顶点公式设解析式后代入另一已知点即可求出；
（2）利用对称轴设解析式为顶点式，代入两个已知点求出解析式，再代入点C即可求出m；
（3）设解析式并代入点A、B化简，通过题意得到对称轴范围，计算 范围，由点C坐标得到其所在一次
函数直线，再画图通过开口大小找到交点的横坐标范围．
【详解】（1）解： 顶点 ，
设解析式为 ，代入点 得：
，
，
二次函数的表达式为 ；
（2） 对称轴为直线 ，
设解析式为 ，代入点 、 得：
，
解得 ，
二次函数的表达式为 ；代入 得： ，
解得： 或 ；
（3）设解析式为 ，
代入点 、 解得：
， ，
，
，当 时， 随 的增大而减小，
得到图像对称轴在点 右侧，位置如下：
得 ，
点 在直线 图像上，
当 时， 与 两个交点为 或 ，
当 时，图像开口变大，如图所示，二次函数与直线 的交点向外移动，故左交点 ，右交
点 ，但当 时，二次函数 ，故二次函数图像上点 在直线 上点 的上
方，故二次函数与直线 的左交点在直线 右侧，
或 ．
【点睛】本题考查简单的二次函数解析式求解及结合函数图像计算直线与抛物线交点横坐标的范围，题目
中含有结合图像要求时，需要画图分析图像交点情况，图像的形状和位置变化，画出图像的交点，并利用
数形结合思想计算坐标范围是解题的关键．
【模型六 已知交点式求二次函数的解析式】
例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点 ， 和 ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【答案】(1)
(2)顶点坐标为 ；对称轴为直线
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据顶点坐标公式求解即可．
【详解】（1）设
将 代入，则
∴
（2）∵ ，
∴顶点坐标为 ；对称轴为直线 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数
（a，b，c为常数， ），其对称轴是直线 ，其顶点坐标是 ．
【变式训练】1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点 ， ， ，求该抛物线的函数关系
式
【答案】
【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为 ，将点 代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过点 ， ， ，
∴设抛物线的表达式为 ，
将点 代入得： ，解得： ，
∴ ．
∴该抛物线的函数关系式为 ．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式．
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．
(1)抛物线 经过点 三点．
(2)已知二次函数 的图象过 两点，并且以 为对称轴．
(3)已知二次函数 的图象经过一次函数 x 图象与x轴、y轴的交点，且过 ．
【答案】(1) x
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为： ，代入 求得a即可；
（2）利用对称轴方程和把两已知点的坐标代入 中可得到关于a、b、c的方程组，然后解方
程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；（3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式．
【详解】（1）解：设 ，
把 代入得： ，
解得： ，
则抛物线的解析式为 x ；
（2）解：根据题意可知： ，
解得 ，
则二次函数的解析式为 ；
（3）当 时， ，则直线与y轴的交点坐标为 ，
当 时， ，解得 ，则直线与x轴的交点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为 ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，要根据题目给定条件，选择恰当方法设出关系式，再
用待定系数法求解．3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴交
于点 ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点 在该二次函数上．
①当 时，求 的值；
②当 时， 的最小值为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)该二次函数的解析式为 .
(2)① 的值为 或 ；②
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）①把 代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为 ，所以
，即 ．
【详解】（1）设二次函数的解析式为 ，
把点 代入得 ，
解得 ，
，
该二次函数的解析式为 ；
（2）① 时，则 ，
解得 ， ；
故 的值为 或 ；
，当 时，函数有最小值 ，
当 时，即 时， 有最小值 ，
故 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，
熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
