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专题 22.6 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质
1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的转化。
2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象，并能够根据基本性质和图
象解决相应题目。
教学目标
3. 掌握二次函数一般是的图象与系数之间的关系并熟练解决问题。
4. 掌握待定系数法求函数解析式的方法，并能够熟练的求二次函数解析式。
5. 掌握函数的平移规律，并能够熟练解决问题。
1. 重点
教学重难点 （1）二次函数的图象与性质；
（2）二次函数的图象与系数的关系；（3）待定系数法求函数解析式；
2. 难点
（1）二次函数图象上的点的特征；
（2）待定系数法求函数解析式；
（3）二次函数图象与系数的关系；
（4）二次函数的最值问题。
知识点01 二次函数的三种形式
1. 二次函数的三种形式：
（1）一般式：
由定义可知，二次函数的一般式为 。
（2）顶点式：
能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。
即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。
（3）两点式（交点式）：
能直接得到二次函数与x轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的
交点式。即 。此时二次函数与x轴的两个交点坐标分别为
以及 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于
对称。
（4）二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
y=ax2+bx+c
＝a ( x2+ b x ) +c →第一步：提 ；
a
( b b2 b2 )
＝a x2+ x+ - +c →第二步：配方：配 的一半的平方；
a 4a2 4a2
( b ) 2 b2
＝a x+ - +c →第三步：写成 形式；
2a 4a
( b ) 2 4ac-b2
＝a x+ + →第四步：写成 形式。
2a 4a
【即学即练1】
1．抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5）
【即学即练2】2．二次函数y＝（x﹣5）（x+7）的图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝6
【即学即练3】
3．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a、m、n为常数，m≠n，a＜0），若m+n＜0，则该抛物线的顶点
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【即学即练4】
4．将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3
知识点02 二次函数的图象与性质（一般式）
1. 二次函数的一般式的图象与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：
y=ax2 +bx+c(a≠0) a＞0 a＜0
开口方向
a的绝对值越大，开口越
开口大小
a的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边y随x的增大而
对称轴右边y随x的增大而 。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而
。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
与y轴交点坐标
【即学即练1】
5．已知函数y＝﹣x2+4x﹣3．
（1）该函数图象的开口方向是 ；
（2）求出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
【即学即练2】6．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．与y轴交于正半轴
C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限
【即学即练3】
7．已知点A（3，y ），B（4，y ），C（5，y ）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（
1 2 3
）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 2 1 3 3 1 2 1 2 3
【即学即练4】
8．已知点 A（﹣2，y ），B（1，y ）在抛物线 y＝3x2+bx+1上，若 3＜b＜4，则下列判断正确的是
1 2
（ ）
A．1＜y ＜y B．y ＜1＜y C．1＜y ＜y D．y ＜1＜y
1 2 1 2 2 1 2 1
知识点03 二次函数的图象与系数的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由 决定，
a＞0
，开口向 ，
a＜0
，开口向 。
2. 二次函数的对称轴：
y=ax2 +bx+c(a≠0)
a，b
由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为 。若 同号，
b b
x=− x=−
则 2a 0，二次函数的对称轴在y轴的 ；若 a，b 异号，则 2a 0，二
次函数的对称轴在y轴的 。简称左同右异。
b
x=−
①若二次函数的对称轴
2a
=1，则
2a+b=
。
b
x=−
②若二次函数的对称轴
2a
=﹣1，则
2a−b=
。
3.
二次函数与y轴的交点：
二次函数
y=ax2 +bx+c(a≠0)
与y轴的交点坐标为 。
4. 二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有两个交点⇔ 有2个 的实数根⇔
Δ=b2 −4ac
根的判别式 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有 个交点⇔ 有2个相等的实数根⇔
Δ=b2 −4ac
根的判别式 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴没有交点⇔ 实数根⇔根的判别⇔Δ=b2 −4ac
0。
y=ax2 +bx+c
拓展：在二次函数 中：
a+b+c
是自变量为 的函数值，
a−b+c
是自变量为 的函数值。
4a+2b+c
是自变量为 的函数值，
4a−2b+c
是自变量为 的函数值。
9a+3b+c
是自变量为 的函数值，
9a−3b+c
是自变量为 的函数值。
【即学即练1】
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；
③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练2】
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc
＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点04 待定系数法求二次函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 。
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 。
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 。
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。【即学即练1】
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 2 …
y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …
求该二次函数的表达式．
【即学即练2】
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．
【即学即练3】
13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求此函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
9
（3）已知点D(m， )在此抛物线上，求m的值．
4知识点05 y=ax2+bx+c的的平移
1. 函数平移规律：
函数分为 平移和 平移；
左右平移在 上进行加减，规律为 ；上下平移在 上进行
加减，规律为 。
【即学即练1】
14．将抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移 1个单位，再向下平移 2个单位得到的抛物线必定经过
（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
题型01 y=ax2+bx+c的基本性质
【典例1】求下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标．
（1）y＝x2﹣4x﹣3
（2）y＝﹣3x2﹣4x+2．
【变式1】已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【变式2】已知抛物线y＝x2﹣4x+5，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口方向向上
B．当x＜2时，y随x的增大而增大
C．抛物线的对称轴为直线x＝2
D．抛物线与y轴交点坐标为（0，5）题型02 y=ax2+bx+c的图象
b
【典例1】已知一次函数y= x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是
a
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
题型03 y=ax2+bx+c图象上的点的坐标特征
【典例1】若A（3，y ）、B(-❑√5，y )、C（﹣3，y ）是抛物线y＝2x2﹣4x+c上的三个点，则y 、y 、
1 2 3 1 2
y 的大小关系是（ ）
3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
【变式1】点P （﹣2，y ），P （2，y ），P （4，y ）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y ，
1 1 2 2 3 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＝y C．y ＝y ＞y D．y ＝y ＞y
2 3 1 2 1 3 1 3 2 1 2 3
【变式2】已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y ）、B（1，y ）、C（2，y ），
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 3 1 2 1 2 3 2 1 3
13
【变式3】若A（- ，y ）、B（-❑√2，y ）、C（3，y ）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，
4 1 2 3
则y 、y 、y 的大小关系是 （用“＜”连接）．
1 2 3
题型04 y=ax2+bx+c的图象的平移
【典例1】二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象
的解析式的一般式为 ．
【变式1】抛物线y＝3x2﹣6x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y
＝3x2+bx+c，则b，c的值为（ ）
A．b＝6，c＝﹣1 B．b＝﹣18，c＝23
C．b＝6，c＝﹣5 D．b＝﹣18，c＝29
【变式2】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且过点A（0，5）．（1）求该抛物线的解析式．
（2）若该抛物线向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移12个单位后再次经过点A，求m的值．
题型05 二次函数的图象与系数的关系
【典例1】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0 b＜0 c＞0 B．a＜0 b＜0 c＞0
C．a＜0 b＞0 c＜0 D．a＜0 b＞0 c＞0
【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④4ac﹣b2＜0；
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个
【变式2】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得
出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大
而减小．其中结论正确为（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．①②③ D．①④⑤
【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（ ）个．
①abc＞0；
②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；
④4ac﹣b2＜0；
⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．
A．3 B．2 C．1 D．0
题型06 二次函数的最值问题
【典例1】二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值为 ．
【变式1】已知：抛物线y＝x2﹣6x+c的最小值为1，那么c的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【变式2】已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
【变式3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
3 3 3
A．3 B．﹣3或 C．3或- D．﹣3或-
8 8 8
题型07 待定系数法求二次函数解析式
【典例1】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．
【变式1】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若y＜﹣4，直接写出x的取值范围．
【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 m …
y … ﹣19 ﹣12 ﹣7 ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 n ﹣19 …
（1）这个二次函数的表达式为 ，顶点坐标是 ；（2）表中的m＝ ，n＝ ：
（3）若P（x ，y ），Q（x ，y ）是这个函数图象上的两点，且 x ＜x ＜﹣1，则y y （填
1 1 2 2 1 2 1 2
“＞”或“＝”或“＜”）；
（4）写出这个函数的一条性质．
【变式3】若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）二次函数y＝ax2+bx+c图象上有两点P（m，y ），Q（n，y ），
P Q
①已知y ＝y ，当x＝m+n时，求y的值；
P Q
②当n＝4时，y ＜y ，求m的取值范围．
P Q
1．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（﹣2，0）
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+10 B．y＝（x﹣4）2﹣22
C．y＝（x+4）2﹣22 D．y＝（x+4）2+103．抛物线y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如表，关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
A．图象开口向下
1
B．对称轴是直线x=
2
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）
4．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2
5．二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
6．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：
x … ﹣5 ﹣3 0 2 4 …
y … 12 0 ﹣3 5 21 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．点（﹣4，5）在该函数图象上
C．当x＞2时，y的值随x的值增大而减小
D．函数的最小值为﹣3
7．如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）的图象上，且a＜b＜
3．则m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜4 B．3＜m＜4或m＞6
C．m＞6 D．m＜4或m＞6
8．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）A． B．
C． D．
9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ）
5 5 5
A．5 B．﹣5或 C．5或- D．﹣5或-
8 8 8
10．二次函数y＝ax2﹣6ax+2的图象上有A（a，y ），B（5，y ）两点．下列选项正确的是（ ）
1 2
A．当a＜0时，y ＜y B．当0＜a＜1时，y ＜y
1 2 1 2
C．当1＜a＜2时，y ＞y D．当a＞2时，y ＞y
1 2 1 2
1
11．已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，与另一条抛物线y=- （x+1）2﹣2的顶点坐标
2
相同，这条抛物线的解析式为 ．
12．若点A（﹣2，y ），B（m，y ）在抛物线y＝x2+2x+2上，且y ＞y ，则m的取值范围是 ．
1 2 1 2
13．已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为 ．
14．已知点A（﹣1，﹣1），点B（2，﹣1），如果抛物线y＝x2﹣2ax+a+1（a为实数）与线段AB（不含
端点）只有一个交点，那么a的取值范围是 ．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＞0；
9
②若点（﹣1，y ），( ，y )均在二次函数图象上，则y ＜y ；
1 2 2 1 2
③﹣2a+c＜0；
3
④对于任意实数m，总有am2+bm＞ a+b．
4
其中正确的结论是： ．
16．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0）和（3，0）．
（1）求a，b的值．
（2）求抛物线向左平移2个单位后的函数解析式．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上．
（1）当m＝n时，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围．
18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）若抛物线上有一动点P（x，y），当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m﹣n的值；
19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．
（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y ）和B（b+2，y ），当y •y ＜0时，求b的取值范围．
1 2 1 220．在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象上．
（1）当t＝2时，求抛物线对称轴的表达式；
（2）若点B（5﹣t，0）也在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答：
①当这个函数的最小值为0时，求t的值；
②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围．
