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专题 23.1 旋转的几何综合
20
【典例1】已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD= ,AE⊥BD，垂足是E点F是点E关于
30
AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长
度）当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值;
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°)，记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋
转过程中，设A′F′所在的直线与边AD交于点P与直线BD交于点Q是否存在这样的P、Q两点，使
△DPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时DQ的长：若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰ΔDPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．
【解题过程】
20
解：（1）在RtΔABD中，AB=5，AD= ，
3
由勾股定理得： √ 20 2 25．
BD=❑√AB2+AD2=❑52+( ) =
3 31 1
∵S = BD·AE= AB·AD，
ΔABD 2 2
20
5×
AB·AD 3
∴AE= = =4．
BD 25
3
在RtΔABE中，AB=5，AE=4，
由勾股定理得：BE=3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．
由平移性质可知，AB//A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．
①当点F′落在AB上时，
∵AB//A′B′，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB//A′B′，
∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′=3，
25 16 16
∴BB′=BD−B′D= −3= ，即m= ．
3 3 3（3）存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰ΔDPQ依次有以下4种情形：
①如答图3−1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=F′ A′+A′Q=4+5=9．
在 △ 中，由勾股定理得： ．
Rt BF′Q BQ=❑√F′Q2+F′B2=❑√92+32=3❑√10
25
∴DQ=BQ−BD=3❑√10− ；
3
②如答图3−2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′//PD，则此时点A′落在BC边上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′ A′−A′Q=4−BQ．
在RtΔBQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
即： ，
32+(4−BQ) 2=BQ225
解得：BQ= ，
8
25 25 125
∴DQ=BD−BQ= − = ；
3 8 24
③如答图3−3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
1
∴∠4=90°− ∠2．
2
∵∠1=∠2，
1
∴∠4=90°− ∠1．
2
1
∴∠A′QB=∠4=90°− ∠1，
2
1
∴∠A′BQ=180°−∠A′QB−∠1=90°− ∠1，
2
∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=A′Q−A′F′=5−4=1．
在 △ 中，由勾股定理得： ，
Rt BF′Q BQ=❑√F′Q2+F′B2=❑√32+12=❑√10
25
∴DQ=BD−BQ= −❑√10；
3
④如答图3−4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=5，
25 10
∴DQ=BD−BQ= −5= ．
3 3
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使ΔDPQ为等腰三角形；
25 125 25 10
DQ的长度分别为3❑√10− 或 或 −❑√10或 ．
3 24 3 3
1．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）（1）如图1，过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l，点P为l上点
（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ，连接QB．
①求证：AP=BQ；
②连接PB并延长交直线CQ于点D．若PD⊥CQ，AC=❑√2，求PB的长；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=45°，将边AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，连接CD，若
AC=1，BC=3，求CD长．2．（2022春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将
Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连
接DE．
猜想证明：
（1）四边形BE'FE的形状是______；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明；
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长．3．（2022秋·全国·九年级期中）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，
AE=2❑√3．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当
30°<α<120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不
是，请说明理由；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．4．（2022·河南郑州·校联考一模）（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中
点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为
；
（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕
点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由；
（3）如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线
25
OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N，若AB＝4，当△PMN的面积为 时，直接写出线段BN的
2
长．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）小张同学对图形旋转前后线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
在△ABC中，AB=AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角
度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若点M是线段BC上的任意一点，判断BN和CM的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结
论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在△A B C 中，A B =8，∠A B C =60°，∠B A C =75°，点P是B C 上的任意一
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
点，连接A P，将A P绕点A 按顺时针方向旋转75°，得到线段A Q，连接B Q，求线段B Q长度的最
1 1 1 1 1 1
小．6．（2023春·四川成都·八年级统考期末）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=❑√2，将直角边AC
绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为α(0°<α<180°)，连接CP，PB．
（1）如图1，当α=45°时，求BP的长；
（2）如图2，若∠CPB=135°，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；
（3）在旋转过程中，当CP=BP时，求旋转角α的度数．7．（2022秋·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，点D为AC
边上一点，连接DB ．
（1）如图1，若∠ABD ＝15°，BD＝2，求线段AD的长度；
（2）如图2，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE、CE，将线段DC绕点D逆时针旋
转90°得到线段DF，连接BF，线段CE、BF交于点G，连接AG，猜想线段AG、BG、CG的数量关系并证
明你的结论；
AE
（3）如图3，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，直接写出 的最小值．
AB8．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中
∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM．
（1）如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD
为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明；
（3）如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．9．（2023春·重庆万州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，AB=AC，点E
是BC边上一点，连接AE，将AE绕着点A顺时针旋转α得到线段AF．
（1）如图1，若α=∠BAC=90°，连接BF，BF=3，BC=8，求△ABE的面积；
（2）如图2，若α=2∠BAC=120°，连接CF交AB于H，求证：2AH+CE=AD；
（3）若在（2）的条件下，3CE=BC=9，点P为AB边上一动点，连接EP，将线段EP绕着点E顺时针
旋转60°得到线段EQ，连接CQ，当线段CQ取得最小值时，直接写出四边形BHQE的面积．10．（2023春·辽宁本溪·八年级统考期中）【探究】（1）如图1，在四边形中ABCD中，AB=AD，
∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段
BE，EF，FD之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：FD延长到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证
明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系．他的结论是 ．
【拓展】（2）如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°．将三角板的45°角的顶点与点C重
合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB
的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并说明理由；
【实际应用】（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，则四
边形ABCD的面积为__________cm2．
11．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD中∠PAQ分别交BC，CD于点E，F，连接EF．
（1）如图①，若∠1=28°，∠2=73°，试求∠3的度数；
（2）如图②，以点A为旋转中心，旋转∠PAQ，旋转时保持∠PAQ=45°．当点E，F分别在边BC，CD
上时，AE和AF是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理
由；
（3）如图③，在②的条件下，当点E，F分别在BC，CD的延长线上时，②中的结论是否成立？只需回答
结论，不需说明理由．
12．（2022·重庆巴蜀中学校考一模）在等边△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF．
（1）如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若AB=6，求AF的长；
（2）如图（2），点G在AC上且∠AGD=60°+∠FCB，求证：CF=DG；
（3）如图（3），AB=6，BD=2CE，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将
△BDP沿着BP翻折得到△BQP，连接QC．当△ADP的周长最小时，直接写出△CPQ的面积．
13．（2023春·山东济南·八年级统考期末）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4❑√2，点D，E是边
AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN．（1）如图1，MN与BD的数量关系是_________；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系，并就图2的情形说
明理由；
（3）在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长．
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）【发现奥秘】（1）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是△ABC内一点，连接AE,EC,BE，分别将AC,EC
绕点C顺时针旋转60°得到DC,FC，连接AD,DF,EF．当B，E，F，D四个点满足______时，
BE+AE+CE的值最小，最小值为_______．
【解法探索】
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点P是△ABC内一点，连接PA,PB,PC，请求出
当PA+PB+PC的值最小时∠BCP的度数，并直接写出此时PA:PB:PC的值．（提示：分别将PC,AC
绕点C顺时针旋转60°得到DC,EC，连接PD,DE,AE）
【拓展应用】
（3）在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2，点P是△ABC内一点，连接PA,PB,PC，直
接写出当PA+PB+PC的值最小时，PA:PB:PC的值．
15．（2022秋·九年级单元测试）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE
交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH−DH=❑√2CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
16．（2022·重庆铜梁·统考一模）菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．（1）如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB=AC=6，求OH的长；
（2）如图2，过菱形ABCD的顶点A作AF⊥AD，且AF=AD，线段AF交OB于点H，交BC于点E．
❑√2
当D，C，F三点在同一直线上时，求证：OH+OA= BH；
2
（3）如图3，菱形ABCD中，∠ABC=45°，点P为直线AD上的动点，连接BP，将线段BP绕点B逆时
针旋转60°得到线段BQ，连接AQ，当线段AQ的长度最小时，直接写出∠BAQ的度数．
17．（2022春·重庆·八年级重庆一中校考阶段练习）在△ABC中，90°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A
逆时针旋转120°得到线段AD，连接CD．（1）如图1，若AB＝8，∠ABC＝45°，BA⊥CD，延长BA，CD交于点K，求四边形ABCD的面积；
（2）如图2，点E是CA延长线上一点，点G是AE的中点，连接BE，BG，点F在线段AC上，点H在线
段BG上，连接HF，若BG＝GF，HF＝BE，GA＝GH，2∠ACB＝∠EBG+∠ABC，求证：BC+CD＝❑√3
AC；
（3）如图3，在（1）的条件下，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转
45°得到线段DP'，连接AP'，BP'，点M是△ABP'内任意一点，点P在运动过程中，AM+BM+P'M是否存在
最小值；若存在，请直接写出：AM+BM+P'M的最小值；若不存在，请说明理由．
18．（2023春·全国·八年级专题练习）已知△ABC是正三角形，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，在AC上截取点E，使得CE=BD，连接BE交AD于点F，若FD=2，BE=8，求点A到BE
的距离；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，取AB的中点G，连接FG，证明CF=2FG；
（3）如图3，点P为△ABC内部一点，连接AP，将线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AQ．
∠CAQ=∠BAP．将△ABP沿AP翻折到同一平面内的△ATP，在线段AQ上截取AM=AP，连接MT．
已知MT=6，PT=8，AM=10．直接写出△APT的面积．
19．（2023春·四川成都·八年级校联考期中）如图，在等腰△ADC和等腰△BEC中，
∠ADC=∠BEC=90°，BC
