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第 05 讲 空间向量及其应用 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高二专题练习）已知 是空间一个基底， ， ，一定可以与向量 ，
构成空间另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意和空间向量的共面定理，
结合向量 （ ）+（ ）＝2 ，
得 与 是共面向量，
同理 与 是共面向量，
所以 与 不能与 、 构成空间的一个基底；
又 与 和 不共面，
所以 与 、 构成空间的一个基底．
故选：C．
2．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，在斜三棱柱 中，M为BC的中点，N为 靠近
的三等分点，设 ， ， ，则用 ， ， 表示 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
故选：A
3．（2022·湖南益阳·高二期末）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）A．1 B． C． D．2
【答案】D
由 ，则 ，即 ，
有 ，
所以 ，
所以 ，则
故选：D
4．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习（理））设 、 ，向量 ， ，
且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 ，则 ，解得 ，则 ，
因为 ，则 ，解得 ，即 ，
所以， ，因此， .
故选：D.
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数 使得 ，且
，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
由题意，存在非零实数 使得 ，可得 ，即 四点共面，
因为 ，
根据向量的共面定量，可得 ，即 ，
又由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：A.6．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体
的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点 ，
对于A， ， ， ， 与 不垂直，
A不是；
对于B， ， ， ， ，B是；对于C， ， ， ， 与 不垂
直，C不是；
对于D， ， ， ， 与 不垂直，
D不是.
故选：B
7．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体 的棱长为6，点 为 的中点，点 为底
面A B C D 上的动点，满足 的点 的轨迹长度为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
【答案】B
分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ， ，则 ， ，
由 得 ，即 ，
由于 ，所以 ， ，
所以点 的轨迹为面A B C D 上的直线： ， ，即图中的线段 ，
1 1 1 1
由图知： ，
故选：B.
8．（2022·全国·高二专题练习）已知 是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点 在正方体表面上运
动，则 的最大值为( )
A．4 B．12 C．8 D．6
【答案】C
设正方体内切球的球心为 ，则 ， ，
∴ ＝ ，
又点 在正方体表面上运动，∴当 为正方体顶点时， 最大，且最大值为正方体体对角线的一半，
，∴ 的最大值为 .
故选：C.
二、多选题
9．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图，在平行六面体 中，
，点 分别是棱 的中点，则下列说法中正确
的有（ ）A．
B．向量 共面
C．
D．若 ，则该平行六面体的高为
【答案】ACD
在平行六面体 中，令 ，不妨令 ，
依题意， ， ，
因点M，N分别是棱 的中点，则 ，
，则有 ，A正确；
，若向量 共面，
则存在唯一实数对 使得 ，
即 ，而 不共面，则有 ，显然不成立，B不正确；
由 ,则 ，故C正确.
连接 ，依题意， ，即四面体 是正四面体，因此，平行六面体的高等于点 到平面 的距离，即正四面体 的高h，
由 知 ，
由选项A知 ， ，
则 平面 ， 是平面 的一个法向量， ，
，
则 ，所以平行六面体的高为 ，D正确.
故选：ACD
10．（2022·全国·高一）在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中
点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点,故可设棱长为2，在正三
棱柱中建立如图所示的空间直角坐标系：
对于A， ,
故 ,则 ，故 ，即 ，故A正确；
对于B， ,
故 ,
则 ，故 不垂直，故B不正确；
对于C， ,
故 ,
则 ，故 ，即 ，故C正确；
对于D， ,
故 ,
则 ，故 不垂直，故D不正确；
故选：AC
三、填空题
11．（2022·广东·清远市博爱学校高一阶段练习）已知 与 夹角为60°且 ， ，则 在 方向上
的投影向量是______．
【答案】
在 方向投影向量 .
故答案为： .
12．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在三棱锥 中， ， 平面ABC， 于点
E，M是AC的中点， ，则 的最小值为______．【答案】 ##-0.125
连接 ，如图，
因 平面ABC， 平面ABC，则 ，而 ， ， 平面PAB，
则 平面PAB，又 平面PAB，即有 ，
因M是AC的中点，则 ，又 ，
，当且仅当 取“=”，
所以 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题
13．（2022·湖北恩施·高二期末）在三棱台ABC－ABC 中，C C⊥平面ABC，AB⊥BC，且
1 1 1 1
AB=BC=C C=2AB，O为AC的中点，P是C C的中点.
1 1 1 1
(1)证明：平面ABC⊥平面POB；
1【答案】(1)证明见解析
证明：连接AO设AB=1，则AB=BC=C C=2，AC= ，AC =
1 1 1 1 1 1
因为C C⊥平面ABC，O为AC的中点，所以AO⊥平面ABC,
1 1
因为AB=BC，所以BO⊥AC.
以O为坐标原点，以 ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
O－ ，
则A(0，－ ，0)，B( ，0，0)，C(0， ，0)， (0，0，2)， ( ， ，2)， (0， ，2)，
P(0， ，1).
因为 ，
所以 ，
所以AC⊥OB，AC⊥OP.
1 1
因为 ，所以AC⊥平面POB..
1
因为 平面ABC，
1
所以平面ABC⊥平面POB.
1
14．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知在正方体 中，E，F，G分别是棱
的中点．
(1)证明： 与平面 不平行；【答案】(1)证明见解析
以D为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系 ．
设 ，则 ，
所以 ．设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ．因为 ，
所以 与平面 不平行．
B 能力提升
1．（多选）（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ∥ ，则 ∥
B． 是 共线的必要条件
C． 三点不共线，对空间任一点 ，若 ，则 四点共面
D．若 为空间四点，且有 （ 不共线），则 是 三点共线的
充要条件
【答案】ACD
对于A,由 ∥ ，则一定有 ∥ ，故A正确；
对于B，由 反向共线，可得 ，故B不正确；
对于C，由 三点不共线，对空间任一点 ，若 ，则
，即 ，所以 四点共面，故C正确；
对于D,若 为空间四点，且有 （ 不共线），
当 ，即 时，可得 ，即 ，
所以 三点共线，反之也成立，即 是 三点共线的充要条件，
故D正确.
故选：ACD.
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，已知 ， ，
且 ， ， ， .取BC的中点O，过点O作 于点Q，则（ ）
A． B．四棱锥 的体积为40
C． 平面 D．
【答案】ACD
如图建立空间直角坐标系，则 ,
则 , ,
设 , 则 ,故
， ,
，解得 ，即 ,
,
, ，故A正确；
因为直角梯形 的面积 ，
,可得 面BCE
四棱锥高 ，
所以四棱锥体积 ，故B不正确；
, ,
,又 , 平面 , 故C正确；
, ,即 ，故D正确.
故选：ACD
3．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为2的正四面体 中，点 满足
，点 满足 ，则点 与平面 的位置关系是
______；当 最小且 最小时， ______．
【答案】 平面
解：由四点共面定理及三点共线定理可知： 平面 ， 直
线 ，
当 最小且 最小时，则 是等边 的中心， 是 边中点.
所以 ， ,又因为 是 边中点，所以
故 .
故答案为： 平面 ，
4．（2022·重庆市万州第二高级中学高二期末）如图所示的平行六面体 中，已知
， ， ， 为 上一点，且 ．若 ，则
的值为__；若 为棱 的中点， 平面 ，则 的值为__．
【答案】
利用平行线的性质即可得出．
【详解】
解：① ，不妨取 ，
．
②连接 ，与 交于点 ．连接 ，交 于点 ，连接 ．
平面 ， ．
点为 的中点， 点为 的中点．
延长 交线段 的延长线于点 ．
， ．
．
，
．则 ．
故答案为： ， ．
C 综合素养
1．（2022·福建厦门·高二期末）如图，在正方体 中， 为 的中点，点 在棱 上．
(1)若 ，证明： 与平面 不垂直；
【答案】(1)证明见解析
证明：以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标
系，
设正方体 的棱长为 ，则 、 、 、 ，
由 得 点的坐标为 ，， ，因为 ，
所以 与 不垂直，所以 与平面 不垂直．
2．（2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点， （ 为常数，且 ）．
(1)若直线BF∥平面ACE，求实数 的值；
【答案】(1)
因为 底面 ， ， 平面 ，所以 ， ．
由题意可知， ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
则 ，所以 ．
设平面 的一个法向量为 ．
由 得： 不妨令 ，得 ．
因为 平面 ，所以 ，解得 ．3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱 中，底面是边长为1的菱形，侧棱长
为2．
（1） 与 能否垂直？说明理由；
【答案】（1）不能．见解析
由题意，菱形A B C D 中， 于 ，设 ,
1 1 1 1
以 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
（1）因为 ，
可得 ，所以 与 不能垂直.
