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专题 23.2 中心对称【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别中心对称图形】..................................................................................................................................1
【题型2 由中心对称的性质判断结论正误】.........................................................................................................2
【题型3 补全图形使之成为中心对称图形】.........................................................................................................3
【题型4 关于原点对称的点的坐标】......................................................................................................................5
【题型5 由中心对称的性质求线段长度】..............................................................................................................5
【题型6 由中心对称的性质求面积】......................................................................................................................6
【题型7 由中心对称的性质求坐标】......................................................................................................................7
【题型8 画某个图形的中心对称图形】..................................................................................................................8
【题型9 中心对称图形的规律问题】....................................................................................................................10
【题型10 由平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】...................................................................................12
知识点1：中心对称图形
如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的
对称中心。
【题型1 辨别中心对称图形】
【例1】（23-24九年级·甘肃陇南·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24九年级·上海杨浦·期末）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如
果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 种．【变式1-2】（23-24九年级·陕西延安·期末）有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方
形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是 ．（填序号）
【变式1-3】（23-24九年级·江西上饶·期末）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们
的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为α(0°<α<360°)，当a=
时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形.
知识点2：中心对称的性质
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②
中心对称的两个图形是全等图形。
【题型2 由中心对称的性质判断结论正误】
【例2】（23-24九年级·福建漳州·期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结
论错误的是（ ）
A．AD=CD B．∠C=∠E C．AE=CB D．S =S
△ADE △ADB
【变式2-1】（2024九年级·全国·竞赛）如果△ABC与△≝¿关于点O对称，且点A、B、C的对应点依次
为点D、E、F，那么下列说法不一定正确的是（ ）．
A．OA=OD B．AB∥DE C．∠BAC=∠EDF D．AD⊥BE
【变式2-2】（23-24九年级·河北邢台·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，下列说
法不一定正确的是（ ）A．平行四边形ABCD是中心对称图形
B．将△ABD绕点O旋转180°后可与△CDB重合
C．△OAD与△OCB关于点O对称
D．△AOD绕点O旋转一定角度后可与△DOC重合
【变式2-3】（23-24九年级·北京海淀·期中）如图，分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，
连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①
和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AH M′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边
形M M′K N′．下列说法中正确的是（ ）
①FN=HM
②∠K=∠C
③
S =S
四边形MM′KN′ 四边形ABCD
④四边形M M′K N′是平行四边形
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【题型3 补全图形使之成为中心对称图形】
【例3】（2024·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）△A B C
1 1 1
与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的△A B C 有 个．
1 1 1【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，
现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的
白色小方格有 个．
【变式3-2】（23-24九年级·河南洛阳·期末）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图
2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，则这个位置是 ．
【变式3-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，在5×5的方格中，每个小正方形的边长为1，请按下
列要求画出格点四边形ABCD（顶点均为小正方形的顶点）．
(1)在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，且该四边形为中心对称图形；
(2)在图2中画一个以AB为边，面积为8的菱形．【题型4 关于原点对称的点的坐标】
【例4】（23-24九年级·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，若点P(m，m−n)与点Q(2，1)关于原点
对称，则点M(m，n)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A(−3,2)与点B(3,−2)是关于
某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为
【变式4-2】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为
(4,m)，点D的坐标为(n,2)，则m+n的值为 ．
【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期末）已知点A(−1,3a−1)与点B(2b+1,−2)关于x轴对称，点
C(a+2,b)与点D关于原点对称，则D点坐标是（ ）
A．(−3,1) B．(−3,2) C．(3,−1) D．(−3,−1)
【题型5 由中心对称的性质求线段长度】
【例5】（23-24九年级·安徽阜阳·期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交
点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．2+2❑√3 B．2+❑√3 C．3+❑√3 D．1+2❑√3
【变式5-1】（2024·河北邯郸·三模）如图是由5个边长为1，且一个内角为60°的小菱形拼成的图形，P是
其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平
行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两
部分，则剪痕的长度是（ ）❑√13 2❑√7
A．❑√3 B．❑√13 C． D．
3 3
【变式5-2】（23-24九年级·山东德州·期中）如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC=2，AB=4
，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是 ．
【变式5-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形分割成
面积相等的两部分．
（1）在如图所示的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述要求的直线（注：①所画直线经过的特殊
点必须标注清楚，②一个矩形只画一种）．
（2）根据你的分割法：只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分，你认为这样的直线有 条？
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的这条直线的特征是 ；
（4）经验迁移：如图④，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，并
将该正方形的面积平分，与正方形的BC边交于点F，求线段EF的长．
【题型6 由中心对称的性质求面积】
【例6】（23-24九年级·安徽芜湖·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2，放入三个小正方形后
形成一个中心对称图形，则放入的三个小正方形的面积之和为 ．【变式6-1】（23-24九年级·山东济宁·阶段练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中
心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB=4，OD=3，则阴影部分的面
积之和为 ．
【变式6-2】（23-24九年级·河南三门峡·期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点
O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式6-3】（23-24九年级·山东烟台·期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实
线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方
形ABCD．则正方形ABCD的面积为 ．
【题型7 由中心对称的性质求坐标】
【例7】（23-24九年级·河北·单元测试）如图，将等边三角形AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为
(0,4)，点B在第一象限，将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是 ．【变式7-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为
(−3，−5)，点B的坐标为(10，m)，点D的坐标为(n，6)，则边CD= ．
【变式7-2】（2024·河南商丘·二模）如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，
∠AOC=60°，OA=2，把菱形OABC绕点O逆时针旋转，使点C落在y轴上，则旋转后点B的对应点B′
的坐标为（）．
A．(❑√3,3) B．(−❑√3,−3)
C．(❑√3,−3)和(❑√3,3) D．(❑√3,3)和(−❑√3,−3)
【变式7-3】（23-24九年级·山东东营·期末）已知 ▱ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐
标原点，一边AB与x轴平行且AB=2．若点A的坐标为(−2,−3)，则点D的坐标为 ．
【题型8 画某个图形的中心对称图形】
【例8】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图，平面直角坐标系中， △ABC三个顶点的坐标分别为
A(−3,5)，B(−5,3)，C(−2,2)．(1)平移△ABC到△A B C ，其中点A的对应点A 的坐标为(3,3)，请在图中画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1 1
(2)以点O为旋转中心，将△A B C 按顺时针方向旋转180°得△A B C ，请在图中画出△A B C ；
1 1 1 2 2 2 2 2 2
(3)△A B C 与△ABC关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________．
2 2 2
【变式8-1】（23-24九年级·甘肃武威·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，
C(3，4)．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC ；
1 1 1
（2）请画出△ABC关于原点对称的△ABC ；
2 2 2
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏扬州·期中）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度
的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(-2，-2)．
（1）画出△ABC以y轴为对称轴的对称图形△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1（2）以原点O为对称中心，画出△A B C 关于原点O对称的△A B C 并写出点C 的坐标；
1 1 1 2 2 2 2
（3）以C 为旋转中心，把△A B C 顺时针旋转90°，得到△C AB．
2 2 2 2 2 3 3
【变式8-3】（23-24九年级·江苏徐州·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，
2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△ABC ；
1 1 1
（2）四边形CBC B 为 四边形；
1 1
（3）点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的
点P坐标．
【题型9 中心对称图形的规律问题】
【例9】（23-24九年级·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(2,0)，
(0,2)，(−2,0)．一个电动玩具从原点O出发，第一次跳跃到点P ，使得点P 与点O关于点A成中心对称；
1 1
第二次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点
2 2 1 3 3 2
C成中心对称；第四次跳跃到点P ，使得点P 与点P 关于点A成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下
4 4 3
去，则点P 的坐标是（ ）.
2023A．(−4,0) B．(4,0) C．(4,4) D．(0,−4)
【变式9-1】（23-24九年级·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点
Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段PQ的中点．如图，在平面直角坐标系中，
△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(0,0)，点P ，P ，P ，…中的相邻两点都关于
1 2 3
△ABO的一个顶点对称，点P 与点P 关于点A对称，点P 与点P 关于点B对称，点P 与点P 关于点O对
1 2 2 3 3 4
称，点P 与点P 关于点A对称，点P 与点P 关于点B对称，点P 与点P 关于点O对称……且这些对称中
4 5 5 6 6 7
心依次循环．已知点P 的坐标是(1,1)，则点P 的坐标为 ．
1 2020
【变式9-2】（2024九年级·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长为2的等边
1 1
三角形，作△B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对
2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1 2
称，…，如此作下去，则△B A B 的顶点A 的坐标是 ．
2025 2025 2024 2025
【变式9-3】（2024九年级·全国·专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中x +x y + y
心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x ，y )、Q(x ，y )的对称中心的坐标为( 1 2， 1 2 )
1 1 2 2 2 2
．
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P (0,−1)、P (2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；
1 2
(2)另取两点B(−1.6,2.1)、C(−1,0)．有一电子青蛙从点P 处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳
1
动，即第一次跳到点P 关于点A的对称点P 处，接着跳到点P 关于点B的对称点P 处，第三次再跳到点
1 2 2 3
P 关于点C的对称点P 处，第四次再跳到点P 关于点A的对称点P 处，…则点P 、P 的坐标分别为
3 4 4 5 3 8
、 ．
拓展延伸：
(3)求出点P 的坐标，并直接写出在x轴上与点P ，点C构成等腰三角形的点的坐标．
2017 2017
【题型10 由平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】
【例10】（23-24九年级·吉林·期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格
图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；
(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小
题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【变式10-1】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期中）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成
图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种
不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、
图②只能算一种）．
【变式10-2】（23-24九年级·北京·期中）七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由七块板
组成（如图1），用这七块板可拼出许多图形（1600种以上），例如：三角形、平行四边形、以及不规则
的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2经过
平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方块顶点上）：
（1）拼成长方形，在图3中画出示意图；
（2）拼成等腰直角三角形，在图4中面出示意图．
【变式10-3】（23-24九年级·全国·课后作业）（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除
外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；
（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点
上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：
①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；
②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．
