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专题 24.10 切线的性质与判定（2 大考点 9 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点一】切线的性质
（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
【要点提示】这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线；②过切点；③过圆心.满足两个条
件，可以得出第三个结论.即：
（1）过圆心+过切点⇒垂直于切线．（2）过圆心+垂直于切线⇒过切点．（3）过切点+垂直于切线⇒过圆
心．
【知识点二】切线的判定
（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【要点提示】定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论
是“直线是圆的切 线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂
直；②作垂直，证垂直在圆上.
【题型目录】
【题型1】切线说法的辨析.....................................................2
【题型2】判断或补全直线为圆的切线...........................................2
【题型3】利用切线的性质求角度...............................................3
【题型4】利用切线的性质求线段长.............................................4
【题型5】利用切线的性质综合证明与求值.......................................4
【题型6】切线的证明.........................................................5
【题型7】切线性质与判定综合.................................................6
【题型8】直通中考...........................................................7
【题型9】拓展延伸...........................................................8第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】切线说法的辨析
【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线
【变式】（2021九年级·浙江·专题练习）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是
⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【题型2】判断或补全直线为圆的切线
【例2】（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 外
一点，过点 作 ，垂足为 ，连接 ．若使 切 于点 ，添加的下列条件中，不正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2021·广东揭阳·一模）如图， 是⊙O的直径， 交⊙O于点 ， 于点 ，下
列说法不正确的是（ ）A．若 ，则 是⊙O的切线 B．若 ，则 是⊙O的切线
C．若 ，则 是⊙O的切线 D．若 是⊙O的切线，则
【变式2】（21-22九年级上·北京·期末）在下图中， 是 的直径，要使得直线 是 的切线，
需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
【题型3】利用切线的性质求角度
【例3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图， 为 的切线，切点为 ， 交 于点 ，点
在 上．若 的度数是 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是 的切线，A为切点，连接 ，
点C在 上， ，连接 并延长，交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为
．【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的直径，C、D为 上的点，直线
切 于C点，图中与 互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型4】利用切线的性质求线段长
【例4】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的直径，点D在 上，过点D作 的切
线 交 的延长线于点C．若 ，则 的半径为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图， 是⊙ 的直径， 、 、 、 是 上的点，
过点 作为 切线交 延长线于点 ，若 ， ，则 半径是 ．【变式2】（23-24九年级下·全国·期中）如图， 是 的半径， 是 的弦， 于点D，
是 的切线， 交 的延长线于点E．若 ， ，则线段 的长为
．
【题型5】利用切线的性质综合证明与求值
【例5】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 是 的直径， 为 上两点， 和
过点 的切线互相垂直，垂足为点 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)连接 ，若 ，求 的半径（提示：连接 ）
【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形 的顶点 在原点，边 ，
分别在 轴和 轴上，点 坐标为 ，点 是 的中点，点 是边 上的一个动点，连接 ，以为圆心， 为半径作圆，设点 横坐标为 ，当⊙ 与正方形 的边相切时， 的值为 ．
【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的外接圆，P是 延长线上一点，连
接 ，且 ，点D是 中点， 的延长线交 于点Q，则下列结论：
① ；② 垂直平分 ；③直线 和 都是 的切线；④ ．
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【题型6】切线的证明
【例6】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点 是以 为直径的 上的一点，过点 作 的
切线，交 的延长线于点 ，点 是 的中点，连接 并延长与 的延长线交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线交 的延长线于点C，过点O作 ， 交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 与 相切； (2)若 ，求 的长．
【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图， 为正方形 对角线 上一点，以 为
圆心， 长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证∶ 与 相切； (2)若正方形 的边长为4，求 的半径．
【题型7】切线性质与判定综合
【例7】（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图， 是 的直径， 是 的切线， 与
相交于点 ，连接 并延长与 相交于点 ，且点 为 的中点， ， ．
(1)求 的半径； (2)求证： 与 相切．
【变式1】（2024·贵州贵阳·一模）如如图， 是半圆 的直径， 是切线，点A是半圆上一点，且，连接 ， ， ．
(1) 与 的位置关系为________；
(2)求证： ；
(3)若四边形 是平行四边形，当 时，求 的值．
【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图， 是 的直径，C是 上的一点，过点B作 的
切线 ，过圆心O作 的平行线交直线 于点F，交 于点E，交 于点D，连接 ．
(1)判断 与 的位置关系，并证明结论；
(2)若四边形 是平行四边形，求 的值；
(3)若 运动后能与 重合，则 ，请说明图形的运动过程．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型8】直通中考
【例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形，点 在四边形
内部，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则的度数为 ．
【例2】（2024·四川·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为 的中点，过点C作 ，交 的
延长线于点D．连接 ．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若 ，求 的面积．
【题型9】拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 的直径 ， ， 分别是它的两条
切线， 与 相切于点 ，并与 ， 分别交于 ， 两点， ， ，则 关于 的
函数表达式为 ．
【例2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心的 交
轴负半轴于 ，交 轴正半轴于 ，交 轴于C、D．
(1)若C点坐标为(0,4)，求点 坐标．
(2)在（1）的条件下， 上是否存在点 ，使 ，若存在，求出满足条件的点 的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)过 作 的切线 ，过 作 于 ，交 于 ，当 的半径大小发生变化时， 的
长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．
