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专题24.1.3 圆周角（五大考点）
【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】
【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
【考点4圆内接四边形的综合运用】
【考点5 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】
【考点1 直径所对圆周角为90°的运用】
1．如图， 是 的直径，弦 交 于点E，连接 ．若 ，则
的度数是（ ）
A．28° B．82° C．72° D．62°
【答案】D
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理
是解题的关键．
连接 ，根据直径所对的圆周角是 ，可得 ，由 ，可得
，进而可得 ．
【详解】解：连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
，
，
．
故选D．
2．如图， 内接于 ， 是 的直径， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，先利用直径所对的圆周角是直角得出
，然后利用三角形内角和定理求出 的度数，最后根据圆周角定理即可求
解．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 和 所对的弧都是 ，
∴ ，
故选：B．
3．如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论，解题关键是掌握圆周角定理及其推论．连
接 ，根据“直径所对的圆周角是 ”得 ，从而求出 ，根据“同弧
所对的圆周角相等”得 ，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，由 是 的直径， ，
得 ， ，
得 ，
故选：B．
4．如图，四边形 内接于 ，连接对角线 与 交于点 ，且 为 的直径，
已知 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理得到 ，根据直角三角形的性质
求出 ，由同弧所对的圆周角相等得 ，根据三角形内角和定理
可得 ，即可解答．掌握直径所对的圆周角为 、直角三角形的性质是解题的
关键．
【详解】解：∵ 为 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 所对的弧是 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
故选：D．
5．如图， 是⊙O的直径，点 是 的中点，弦 与 交于点 ．若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三
角形的性质，三角形的外角的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
先根据直径所对的圆周角是直角得 ，再根据弧，弦之间的关系得
，可得 ，最后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ．
∵点C是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ．
故选：B．
6．如图， 是 的直径，C，D是 上的两点，连接 ，若
， 平分 ，则 的度数为 ．
【答案】 /40度
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进
行求解即可．
【详解】解： 和 都是 所对的圆周角，
，
平分 ，
，是 的直径，
，
．
7．如图， 内接于 ， ， 为 的直径， ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，根据
等角对等边以及三角形内角和定理得出 ,进而得出 ，
，根据含 度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ,
∵ 为 的直径，
∴ ，
又 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
8．如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则 等于 ．【答案】 /57度
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等
于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周
角所对的弦是直径．
连接 ，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到 ，利用直角三角形的
性质可计算出 ，然后根据圆周角定理即可得到 的度数．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ 是 的直径，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
9．如图， 内接于 ， 为 的直径， D为 上一点，连接 ．若
，则 的度数为 ．【答案】 /70度
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定
理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
由 为 的直径，可得 ，由 ，可得 ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
10．如图，在 中，弦 ， 相交于点 ．若 ， ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题主要考查了圆周角、三角形外角的定义和性质等知识，理解“同弧或等弧所
对的圆周角相等”是解题关键．根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得
，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
11．如图，在 中， 弦 、 相交于点 ．若 ， ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，解题的关键是先根据三角形外角的性质得
，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵圆周角 和 所对的弧是 ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
故选：C．
12．如图， 是 的直径，点C，D在 上，连接 ，若
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，由直
径所对的圆周角是直角得到 ，再由三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相等
即可得到 ．
【详解】解；∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
13．如图，已知 是 的直径， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理，注意掌握数形结合思想的应用．由 是 的直径，可
得 ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得 的度
数，即可求得答案．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【考点3 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】
14．（2023•广西）如图，点 A，B，C，在 O 上，∠C＝40°．则∠AOB 的度数是
（ ） ⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝ ∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故选：D．
15．（2023•集宁区校级模拟）如图，在 O中，∠BOC＝130°，点A在 上，则∠BAC
⊙
的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【答案】B
【解答】解：∵∠BOC＝130°，点A在 上，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝ ＝65°，
故选：B．16．（2022秋•西岗区校级期末）如图，点 A，B，C均在 O上，若∠AOB＝50°，则
∠ACB的度数是（ ） ⊙
A．25° B．50° C．75° D．100°
【答案】A
【解答】解：∵∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝ ×50°＝25°，
故选：A．
17．（2022秋•云阳县期末）如图，点A、B、C是 O上的三点，若∠BOC＝78°，则∠A
的度数是（ ） ⊙
A．39° B．40° C．78° D．100°
【答案】A
【解答】解：∵∠BOC与∠A是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝78°，
∴∠A＝ ∠BOC＝39°．
故选：A．
【考点4圆内接四边形的综合运用】
18．如图， 是 的直径， 为 的弦．若 ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角的性质以及三角形内角和定理，
连接 ，由圆内接四边形的性质可得出 ，由等边对等角可得出
，最后由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是 内接四边形，且
∴
∵ ，
∴
故选：B．
19．如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补得，再根据圆周角定理即可求解，解题的关键是熟记圆内接四边形的对角互补．
【详解】解：∵ ，四边形 内接于 ，
∴
，
故选：C．
20．如图， 是四边形 的外接圆，连接 ，若 ，则 的大
小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补
是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出 ，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解： 四边形 内接于 ， ，
，
由圆周角定理得， ，
故选：D．
21．如图，四边形 内接于 ，已知 的半径为2， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查了中位线的判定与性质、垂径定理，内接四边形对角互补，先证明
是 的中位线，结合垂径定理的推论得出 ，结合平行线的性质，即
，根据内接四边形对角互补，即可作答．
【详解】解：连接 ， 取 的中点 ，连接 ，如图：
∵点 是 的中点， 是 的中点，
∴ 是 的中位线
∵
∴
∵
∴
∵四边形 内接于 ，
∴
故选：D
22．如图，四边形 内接于 ，E为 延长线上一点．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，根据圆内接四边形的一个外角等于其内对
角，以及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵ 是 内接四边形 的一个外角，
∴ ，∴ ；
故选C．
23．如图所示，四边形 为 的内接四边形，E为 延长线的上一点，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边
形的性质．根据圆内接四边形的性质和补角的性质求出 ，根据圆周角
定理即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 为 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
24．如图，点A，B，C，D在 上， ， ，则 大小为
（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质；由同弧所对的圆周角相等，可得 ，则可得 的度数，由圆内接四边形的性质即可求
得结果．
【详解】解： ，
，
；
由圆内接四边形的性质知： ；
故选：C．
25．如图， 的三个顶点均在 上， 是 的直径，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和直角三角形的两锐角互余，连接
，由四边形 是圆内接四边形得 ，然后求出 ，通过圆
周角定理得 ，则 ，最后通过同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即
可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】连接 ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
26．如图，四边形 内接于 ，连接 ， ，若 ， ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 ，再根据垂径定理的推论得到 ，继而
，再对 运用内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 经过圆心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，以及等腰三角形的性质，三角形内角和定理，
熟练掌握知识点是解题的关键．27．如图，在 中， 是正三角形，点C在 上，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、内接四边形，等边三角形的性质，先根据等边三角形的
性质得出 结合圆周角定理，得出 ，又因为圆内接四
边形，则 ，运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：取 一点 ，连接
∵ 是正三角形，
∴
∵
∴
∵四边形 是圆内接四边形
∴
∵
∴在 中， ，
故选：A．【考点5 运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】
28．如图， 是 的外接圆，点 在圆上，若 ， ，若 的
半径为 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角之间的关系，勾股定理，由圆周角定理可得
，即可由 得到 ，再利用勾股定理
即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
29．如图，点A在 上， 弦 于点D．若 ， ，则 （ ）A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理和垂径定理，等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解
题的关键．
先求 ，证 、 和 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形
的性质求解即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ 和 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
30．如图， 内接于 经过圆心 ，过点 作 ，交 于点 ，交
于点 ．若 ，则 的长是（ ）
A．3 B．2 C．5 D．4
【答案】C
【分析】此题考查了垂径定理的应用、勾股定理、圆周角定理等知识，由题意可得 是
的直径， ，再由平行线的性质证明 于点E，则
，设 ，则 再根据勾股定理列出
方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ 内接于 经过圆心 ，∴ 是 的直径，
∴ ，
∵过点 作 ，交 于点 ，
∴ ，
即 于点E，
∴ ，
设 ，则
在 中， ，
∴ ，
解得
∴ 的长是5，
故选：C
31．如图，四边形 内接于 ， 是 的直径．若 ， ，
，则 的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由
圆周角定理可得 ， ，进而可得 ，由此
得 ，在 中，根据勾股定理可求出 的长，再在 中根据
勾股定理即可求出 的长．【详解】∵ 是 的直径，
，
又 ， ，
，
，
，
，
．
故选：D
32．如图， 的直径 长为10，弦 长为6， 的平分线交 于点B，连接
，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．24
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，等腰直角三角形的判
定与性质，由圆周角定理得到 ， ，推出 ，因此 是等腰
直角三角形，于是得到 ，关键是由以上知识点推出 是等腰
直角三角形．
【详解】解： 平分 ，
∴ ，，
，
是圆的直径，
， ，
∴ 是等腰直角三角形，
，
，
四边形 的周长为 ，
故选：B．
33．如图，圆O的弦 的长度为 ， 点A， B， C为圆周上三点， 若 ，
则圆O 半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，以及勾股定理．熟练掌握定理是解题的关键．先利用圆
周角定理求出所对应的圆心角的角度，再利用勾股定理求出半径的长度．
【详解】解： ，
，
，
，
在 中，，
解得： 或 （舍）
故选：A．
34.如图，已知 内接于 ， 是 的直径，过点C作 ，垂足为E，交
于点D， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】连接 ，由圆周角定理可得 ，由垂径定理可得
， ，进而可得 ，则 ，由此可求得的长
，从而可得 的长.
本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.
【详解】连接 ，
，
，
∵ 是 的直径， ，
， ，，
，
，
，
.
故选：B
35．如图示，半圆 的直径 ，弦 ，将半圆沿着过点A的直线折叠，
折叠后使得弦 恰好落在直径 上，则折痕 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 、 、 、记 交 于点 ，利用圆周角定理和勾股定理得到 ，
利用等腰三角形性质、对称的性质、以及平行线性质和判定得到 于点 ，利用
垂径定理得到 ，利用勾股定理得到 ，进而得到 ，再利用勾股定理得到 ，进
而得到 ．
【详解】解：连接 、 、 、记 交 于点 ，
是 的直径，
，
， ，
，
，，
半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦 恰好落在直径 上，
，
，
，
，
于点 ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，圆周角定理，平行线性质和判定，轴对称性质，勾
股定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
36．如图，点A，B，C在半径为4的 上， ， ，垂足为E，交
于点D，连接 ，则 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，先根据圆周角定理求得 ，再根据垂径定理得到 ， ，
，进而求得 ，根据含30度角的直角三角形的性质求得
，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
