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第 07 讲 向量法求距离、探索性及折叠问
题(精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面BDEF
1 1 1 1 1 1
的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在矩形 中， 分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几
何体，使得点 重合于点 ，则该几何体的外接球表面积是（ ）
A．18π B．16π C．20π D．22π
4．长方体 中， ， ， 为 的中点，则异面直线 与 之间的距
离是（ ）A． B． C． D．
5．已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2）， ，那么过点P平行于平面ABC的平面
与平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．由下列平面图形沿虚线折叠围成的几何体中存在面面垂直的有（ ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
7．如图，菱形 的边长为 ， ，将其沿着对角线 折叠至直二面角 ，连接
，得到四面体 ，则此四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体 的棱长为1，点E、O分别是 、 的中点，P在正方体内部且满足
，则下列说法错误的是（ ）
A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面 的距离为C．平面 与平面 间的距离为 D．点P到直线AB的距离为
二、多选题
9．已知直线 的方向向量 ， 为直线 上一点，若点P( 1，0， 2)为直线外一点，
则P到直线 上任意一点Q的距离可能为（ ）
A．2 B． C． D．1
10．已知 ， ， 平面 ，则（ ）
A．点A到平面 的距离为 B． 与平面 所成角的正弦值为
C．点A到平面 的距离为 D． 与平面 所成角的正弦值为
三、填空题
11．已知直线 的方向向量为 ，点 在 上，则点 到 的距离为___________.
12．正方体ABCDABC D 的棱长为a，则平面ABD 与平面BDC 的距离为 _______.
1 1 1 1 1 1 1
四、解答题
13．如图：在长方体 中， ， ， ， 是 的中点， 是 的中点.
(1)求异面直线 ， 所成角的余弦值.
(2)求三棱锥 的体积
14．如图，在等腰直角三角形 中, 分别是 上的点，且
分别为 的中点，现将 沿 折起，得到四棱锥 ，连接(1)证明： 平面 ；
(2)在翻折的过程中，当 时，求二面角 的余弦值.
B 能力提升
1．如图，四边形 中， 是等腰直角三角形， 是边长为2的正三角形，以
为折痕，将 向一方折叠到 的位置，使D点在平面 内的射影在 上，再将
向另一方折叠到 的位置，使平面 平面 ，形成几何体 .
（1）若点F为 的中点，求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值.
2．如图1，在梯形 中， ，且 ， 是等腰直角三角形，其中 为斜边.若
把 沿 边折叠到 的位置，使平面 平面 ，如图2.（1）证明： ；
（2）若 为棱 的中点，求点 到平面 的距离.
C 综合素养
1．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）如图，已知多面体 中， 底面 ， ，
，其中底面是由半圆 及正三角形 组成.
(1)若 是半圆 上一点，且 ，求证： 平面 ；
(2)半圆 上是否存在点 ，使得二面角 是直二面角?若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由.
2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高二期中）如图，在 中， ， ， 为
的外心， 平面 ，且 .(1)求证： 平面 ；
(2)设平面 面 ，若点 在线段 （不含端点）上运动，当直线 与平面 所成角取最大
值时，求二面角 的正弦值.
