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专题24.17 点和圆的位置关系（直通中考）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2015·湖南湘西·统考中考真题）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与
⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外 D．无法确定
2．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图， 是等边 的外接圆，点 是弧 上一动点（不
与 ， 重合），下列结论：① ；② ；③当 最长时， ；④
，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ．以点 为圆心，
为半径作圆，当点 在 内且点 在 外时， 的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·上海·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
5．（2023·江西·统考中考真题）如图，点 ， ， ， 均在直线 上，点 在直线 外，则经过其中
任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆，
，垂足分别为 ，连接 ．若 的周长为
21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
7．（2023·湖南·统考中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于 ”．假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的
和大于 ，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小
于或等于 ．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
8．（2017·江苏南京·中考真题）过三点 （2，2）， （6，2）， （4，5）的圆的圆心坐标为
（ ）
A．（4， ） B．（4，3） C．（5， ） D．（5，3）
9．（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图， 中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC
的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则 外接圆的面积为（ ）A． B． C． D．
10．（2021·广西梧州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在
x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3 4 B．12 C．6+3 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2012·四川资阳·中考真题）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是
．
12．（2021·四川宜宾·统考中考真题）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为
AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是 ．
13．（2018·四川内江·统考中考真题）已知 的三边 、 、 满足
，则 的外接圆半径 .
14．（2018·湖北黄冈·统考中考真题）如图， 内接于 ， 为 的直径， ，弦
平分 ，若 ，则 ．15．（2019·江苏南京·统考中考真题）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值
范围是 ．
16．（2021·青海·统考中考真题）点 是非圆上一点，若点 到 上的点的最小距离是 ，最大距
离是 ，则 的半径是 ．
17．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，在 网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，
C，D，E均在格点上，点O是 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除 外把你认为外心也
是O的三角形都写出来 ．
18．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图， 是 的内接三角形．若 ， ，
则 的半径是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2012·湖南长沙·中考真题）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足
∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．20．（8分）（2013·湖北孝感·中考真题）如图，已知△ABC和点O．
（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90 得到△ABC ，在网格中画出△ABC ；
1 1 1 1 1 1
（2）用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P（要求保留
作图痕迹，不写作法）；指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？
21．（10分）（2019·陕西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．请用尺规
作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写做法）
22．（10分）（2020·青海·统考中考真题）如图，在 中， ．
（1）尺规作图：作 的外接圆 ；作 的角平分线交 于点D，连接AD．（不写作
法，保留作图痕迹）
（2）若AC =6，BC =8，求AD的长．23．（10分）（2018·云南·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是
BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．
（1）若 ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求△证：AE平分∠DAF；
（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．
24．（12分）（2020·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x
轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若 ，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过
程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
参考答案
1．B
解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r,
∵d=OA=3,∴d<r，
∴点A在圆内，
故选：B．
2．C
【分析】根据等边三角形的性质可得 ，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点 是
上一动点，可得 不一定等于 ，故②错误；当 最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再
由 是等边 的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得 ，故③正确；延长DA至点E，使
AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到
DE=BD，故④正确；即可求解．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴ ，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；∵点 是 上一动点，
∴ 不一定等于 ，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当 最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵ 是等边 的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴ ，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴ ，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角
形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边
三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
3．C
【分析】先利用勾股定理可得 ，再根据“点 在 内且点 在 外”可得 ，由此即
可得出答案．
解： 在 中， ， ， ，
，
点 在 内且点 在 外，
，即 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
4．A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假
命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是
真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的
条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
5．D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点 可以画出一个圆，据此列举所
有可能即可求解．
解：依题意， ； ； ； ； ， 加上点 可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．【点拨】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
6．B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是 的中点，再由中位线的性质
及三角形的周长求解即可．
解：∵ 是锐角三角形 的外接圆， ，
∴点D、E、F分别是 的中点，
∴ ，
∵ 的周长为21，
∴ 即 ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性
质是解题关键．
7．A
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
解：假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．
则三角形的三个内角的和大于 ，
这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
【点拨】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假
设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
8．A
【分析】根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为
x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.
解：设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：
，解得r= ，因此圆心的纵坐标为 ，
因此圆心的坐标为（4， ），
故选A．
9．D
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为 外接圆
的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
解： ，AD是 的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为 外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关
键．
10．A
【分析】如图，作 的外接圆 连接 过 作 轴于 作 轴于
则四边形 是矩形，再证明 是等边三角形，再分别求解 即可得到答案.
解：如图，作 的外接圆 连接 过 作 轴于 作 轴于 则四
边形 是矩形，是等边三角形，
故选：
【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，
矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
11．8或10．
解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= =20，因此这个三角形的外接圆
半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故答案为10或8．
12．
【分析】连接OQ，以OA为直径作⊙C，确定出点Q的运动路径即可求得路径长．
解：连接OQ．
在⊙O中，
∵AQ=PQ，OQ经过圆心O，∴OQ⊥AP．
∴∠AQO=90°．
∴点Q在以OA为直径的⊙C上．
∴当点P在⊙O上运动一周时，点Q在⊙C上运动一周．
∵AB=4，
∴OA=2．
∴⊙C的周长为 ．
∴点Q经过的路径长为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及
其推论是解题的基础，确定点Q的运动路径是解题的关键．
13．
解：：∵a＋b2＋|c−6|＋28＝4 ＋10b，
∴（a−1−4 ＋4）＋（b2−10b＋25）＋|c−6|＝0，
∴（ −2）2＋（b−5）2＋|c−6|＝0，
∴ −2＝0，b−5＝0，c−6＝0，
解得，a＝5，b＝5，c＝6，
∴AC＝BC＝5，AB＝6，
作CD⊥AB于点D，
则AD＝3，CD＝4，
设 ABC的外接圆的半径为r，
△则OC＝r，OD＝4−r，OA＝r，
∴32＋（4−r）2＝r2，
解得，r＝ ，
故答案为
14．
【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题.
解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴AB=AD÷cos30°=4 ，
∴AC=AB•cos60°=2 ，
故答案为2 ．
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题．
15．
【分析】作 ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝ ；当∠BAC＝∠ABC时，
△
ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．
△ 解：作 ABC的外接圆，如图所示：
△∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，
当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝ AC＝4，
∴AC＝ ，
∴BC＝ ；
当∠BAC＝∠ABC时， ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，
∵∠BAC＞∠ABC， △
∴BC长的取值范围是4＜BC≤ ；
故答案为4＜BC≤ ．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出 ABC的外接
圆进行推理计算是解题的关键． △
16． 或
【分析】分点 在 外和 内两种情况分析；设 的半径为 ，根据圆的性质列一元一次方
程并求解，即可得到答案．
解：设 的半径为
当点 在 外时，根据题意得：
∴
当点 在 内时，根据题意得：∴
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
17．△ADC、△BDC、△ABD
【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．
解：由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为： ，
则外接圆半径 ，
图中D点到O点距离为： ，
图中E点到O点距离为： ，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．
【点拨】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．
18．1
【分析】连接 、 ，根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理计算即可．
解：连接 、 ，
，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
19．（1）证明见分析（2）4
解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8× =4．
（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于60°，
从而得证．
（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边
一半的性质，得OD=8× =4
20．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）分别得出△ABC绕点O顺时针旋转90 后的对应点坐标，进而得到△ABC ．
1 1 1
（2）根据垂直平分线的作法求出P点即可，进而利用外心的性质得出即可．
解：（1）△ABC 如图所示．
1 1 1
（2）如图所示，点P是△ABC的外心．
21．如图所示见分析.【分析】分别以A、C为圆心，大于AC的一半长为半径画弧，两弧在AC的两侧分别交于两点，过这
两点作直线，与AD交于点O，然后以点O为圆心，以AO长为半径画圆即可.
解：如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.
【点拨】本题考查了尺规作图——三角形的外接圆，正确把握三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直
平分线的交点是解题的关键.
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可；
（2）连接AD，OD，根据CD平分 ，得 °，根据圆周角与圆心角的关系得到
°，在 中计算AB，在 中，计算AD．
解：（1）作图如下：
（2）连接AD，OD，如图所示
由（1）知： 平分 ，且 °∴ °
∴ °
在 中， ，
∴ ，即
在 中，
【点拨】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算
线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键．
23．（1）平行四边形ABCD的面积为60；（2）证明见分析；（3） AEF的外接圆的周长t= π．
△
解：【分析】（1）作EG⊥AB于点G，由S = ×AB×EG=30得AB•EG=60，即可得出答案；
ABE
△
（2）延长AE交BC延长线于点H，先证△ADE≌△HCE得AD=HC、AE=HE及AD+FC=HC+FC，结合
AF=AD+FC得∠FAE=∠CHE，根据∠DAE=∠CHE即可得证；
（3）先证∠ABF=90°，根据勾股定理可得出AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，据此
求得FC的长，从而得出AF的长度，再由AE=HE、AF=FH知FE⊥AH，即AF是△AEF的外接圆直径，从而得
出答案．
解：（1）如图，作EG⊥AB于点G，
则S = ×AB×EG=30，则AB•EG=60，
ABE
△
∴平行四边形ABCD的面积为60；
（2）如图，延长AE交BC延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，
∵E为CD的中点，
∴CE=ED，∴△ADE≌△HCE，
∴AD=HC、AE=HE，
∴AD+FC=HC+FC，
由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH，
∴∠FAE=∠CHE，
又∵∠DAE=∠CHE，
∴∠DAE=∠FAE，
∴AE平分∠DAF；
（3）连接EF，
∵AE=BE、AE=HE，
∴AE=BE=HE，
∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE，
∵∠DAE=∠CHE，
∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA，
由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°，
∴∠CBA=90°，
∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，
解得：FC= ，
∴AF=FC+CH= ，
∵AE=HE、AF=FH，
∴FE⊥AH，
∴AF是△AEF的外接圆直径，
∴△AEF的外接圆的周长t= π．
【点拨】本题考查圆的综合问题，涉及到平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定
与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
24．（1）y＝ x2﹣x﹣4；（2）P（3，﹣ ）；（3）没有变化，2
【分析】（1）由二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，可得二次函数的解析式为 ，由此即可解决问题．
（2）根据 ，构建方程即可解决问题．
（3）结论：点 在运动过程中线段 的长是定值， ．根据 ，根据方程求出 ，再
利用中点坐标公式，求出点 的纵坐标即可解决问题．
解：（1） 二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
二次函数的解析式为 ，
即 ．
（2）如图甲中，连接 ．设 ．
由题意， ， ，
，
，
整理得， ，
解得 或 （舍弃），
．
（3）结论：点 在运动过程中线段 的长是定值， ．
理由：如图乙中，连接 ， ， ，设 ， ， ， ．由题意 ， ，
，
解得 ，
， ，
，
，
，
点 在运动过程中线段 的长是定值， ．
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，
解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
