文档内容
第 08 讲 拓展一：分离变量法解决导数问
题(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数 范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
高频考点二：已知零点个数求解参数 范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 08 讲 拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离变量法在处理含参 的函数 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程 ，转
化为 这样就将把研究含参函数 与 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数 与
动直线 的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；
②参数分离后的函数 过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到 的函数极限，造成说理困难.
2、分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数 范围
核心知识点：将 与0的大小关系转化成 和 的大小关系
① 恒成立
② 恒成立
③ 恒成立
④ 恒成立
4、常见题型2：已知零点个数求解参数 范围
核心知识点：
将 转化成 ，应用导数方法绘制 函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要
用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2021·江苏·高二单元测试）若函数 在区间 上只有一个零点，则常数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2009·福建·高考真题（文））若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是
_________
3．（2015·浙江金华·高二期中（理））若 对 恒成立，则实数 的取值范围是：
___________．4．（2022·全国·高三专题练习）若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
___________.
5．（2022·四川省泸县第四中学高二阶段练习（理））若函数 有三个不同的零点，
则实数 的取值范围是__________.
6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 .若函数 在定义域上单调递增，
求实数 的取值范围.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数 范围
①完全分离参数法
1．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知不等式 只有一个整数解，则m的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若存在正实数x，y，使得等式 成
立，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数 ，若不等式 恒成立，则a
的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．e4．（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）已知函数 .（1）当 时，
的极小值为______；（2）若 ，在 上恒成立，则实数a的取值范围为______.
5．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）若 对 恒成立，则 的
取值范围是__________;
6．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知函数f(x)＝ax－2lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝x－2，若存在 ，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
7．（2022·广西·宾阳中学高二阶段练习（理））已知函数 ．
(1)若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．
(2)若 在 时恒成立，求实数 的取值范围．
8．（2022·陕西榆林·三模（理））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
②部分分离参数法
1．（2022·广东·铁一中学高二阶段练习）已知函数 ，若关于x的不等式 恒成
立，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 恰有2个整数解，求实数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））设函数 ，
若存在唯一的正整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，其中 ，若有且只有一个整数 ，使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求函数 的最值；
（2）若存在唯一整数 ，使得 ，求实数 的取值范围．
高频考点二：已知零点个数求解参数 范围
①完全分离参数法
1．（2022·全国·高二期末）已知函数 若函数 有三个零点，则（ ）A． B． C． D．
2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数 ，若 有三个不同的零
点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知函数 有唯一零点，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习（理））若函数 存在零点，
则实数a的取值范围是______．
5．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是
_________．
6．（2022·四川宜宾·二模（文））已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上有两个零点，求 的取值范围．
7．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个零点，求a的取值范围.（注： ）8．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 ，则方程 的根为________．
若函数 有三个零点，则实数a的取值范围是________．
②部分分离参数法
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 ，若关于 的方程 有两个不
同的实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义为R的奇函数 满足： ，若方程
在 上恰有三个根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数 是 上的奇函数，且当 时， ，若
关于 的方程 恰有四个互不相等的实数根，则实数 的取值范围是___________.
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，若存在 ， ，…， ，使得
，则n的最大值为______.5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知 若方程 有一个实数根，则实数
的取值范围是___________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有个1零点；
③存在负数 ，使得 恰有个3零点；
④存在正数 ，使得 恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
2．（2020·全国·高考真题（理））已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
3．（2021·全国·高考真题（理））已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
4．（2020·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
第五部分：第 08 讲 拓展一：分离变量法解决导数问
题（精练）
一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，直线 与函数 的图
象分别交于点 ，若对任意 ，不等式 成立，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
3．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）若函数 在 内单调递增，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二）若关于 的不等式 有且只有两个整数解，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高二）若关于 的方程 有且只有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知当 时，函数 的图象与函数 的图象有
且只有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 且关于 的方程 有三个不等实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习）方程 在 上的实数根的个数为___________.
10．（2022·河南·高三阶段练习（理））若不等式 在 上仅有一个整数解，则a
的取值范围是______．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使
得 ，则实数 的取值范围是____.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知 的最小值为0，则正实数 的值为__．
三、解答题
13．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若不等式 对任意的 恒成立，求实数m的取值范围.
14．（2022·全国·高三专题练习）若存在x∈ ，不等式2xln x＋x2－mx＋3≥0成立，求实数m的取值范
围．15．（2022·宁夏银川·一模（文））已知函数 在 处的切线为 .
(1)求实数a的值及函数 的单调区间；
(2)用 表示不超过实数t的最大整数，如： ， ，若 时， ，求 的
最大值.
16．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知 .
（1）若 ，求 的极值.
（2）若方程 在 上有两个不同的实数根，求实数 的取值范围.
