文档内容
第 08 讲 拓展三：三角形中面积（定值，
最值，取值范围）问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
高频考点三：求三角形面积最值
高频考点四：求三角形面积取值范围
第三部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、三角形面积的计算公式：
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式 ，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取
值范围，求面积的取值范围.
第二部分：典 型 例 题 剖 析高频考点一：求三角形面积（定值问题）
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
.
(1)求角C；
(2)若 ， 的面积 ，求S.
2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
.
(1)求角 的大小；
(2)若 外接圆的面积为 ， ，求 的面积.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知△ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边BC上，且 ， ，求△ 的面积.
4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积.
5．（2022·全国·高三专题练习）在① ，② ，③
中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且________．
(1)求角 的大小；
(2)已知 ， 为 中点，且 ，求 面积．
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量 ， ，且 ；②
这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形 中，已知角 ， ， 的对边分别为 ， ，c，．
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在 中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且三角形外接圆半径为 .
(1)求C的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在 中， ， ， 是边
上一点.
(1)若 是以 为斜边的等腰直角三角形，求 的长；
(2)若 是边 的中点， 的面积为 ，求 的长.
4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
， ，且 ．
(1)求角A
(2)若c＝2，且△ABC的面积为 ，求AC边上的中线BM的大小．
5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形
的顶点”.如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.以 ， ， 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为
， ， .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
高频考点三：求三角形面积最值
1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习） 中，
(1)若
(2)求三角形面积的最大值2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在 中， ， 分别为内角 ， 的对边长，设
向量 ， ，且有 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求三角形面积的最大值．
3．（2022·上海·高三专题练习）已知 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）设 的三边分别是 ， ， ，周长为2，若 ，求 面积的最大值.
4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在 中， 所对的边分别为 ，向量
，且 .
（1）求角A的大小；
（2）若 外接圆的半径为2，求 面积的最大值.5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，
．
(1)求A；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．
(1)求A和b；
(2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有 ，求△EAF面积
的最小值．
7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三
角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客
住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知
， ， ， .
(1)若 时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
(2)当 为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形 的地块建造小老虎的
休息区和活动区．如图， ， （单位：米），E、F为BC上的两点，且 ，
区域为休息区， 和 区域均为活动区．设 ．
(1)求 、 的长（用 的代数式表示）；
(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当 为多少时，
活动区的面积最大？最大面积为多少？
高频考点四：求三角形面积取值范围
1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知 的内角 ､ ､ 所对的边分别为 ､ ､ ，且
， .
(1)求 和 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的面积的取值范围.
2．（2022·四川绵阳·高一期中）在 中，内角 的对边分别为 ， ， ，且 ．(1)求角 的大小；
(2)若 是锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习） 中，角 所对的边分别为 ，已知
，且 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的面积的取值范围.
4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，
c，已知 ．
(1)求角B的值；
(2)若 为锐角三角形，且c＝1，求 的面积S的取值范围．
5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且 ，求△ABC的面积S的取值范围．
6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角C的大小；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
7．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
(1)求角C
(2)若 ， ， 为角C的平分线，求 的长；
(3)若 ，求锐角 面积的取值范围.第三部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
2．（2019·全国·高考真题（理）） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
3．（2017·上海·高考真题）已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）设 为锐角三角形，角 所对边 ，角 所对边 ，若 ，求 的面积．4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos
（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．
5．（2015·山东·高考真题（理））设 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角 中，角 的对边分别为 ,若 ,求 面积的最大值.
