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第 09 讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x，x∈D
1 2
当x f ( x )，那么
1 2 1 2 1 2 1 2
定义
那么就称函数f(x)在区间D上 就称函数f(x)在区间D上是减函
是增函数 数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区
间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)∀x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ； (1)∀x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ；
条件
(2)∃x∈I，使得 f ( x ) ＝ M (2)∃x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1．∀x，x∈D且x≠x，有>0(<0)或(x－x)[f(x)－f(x)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．
1 2 1 2 1 2 1 2
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性
相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．1、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
3、【2018年新课标1卷文科】设函数 ，则满足 的x的取值范围是
A． B． C． D．
1、下列函数中，定义域是 且为增函数的是
BC EFPQ
λ
A． 1 B． C． D． ．
2、函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3、已知函数 ，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
4、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)如果函数在(0，1)上是减函数，那么
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称考向一 函数单调性的证明与判断
例1、讨论并用定义证明函数f(x)＝在区间(－1，1)上的单调性．
变式1、判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．
方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函
数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.
2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：
→→→→
其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因
式；(2)配方；(3)通分约分等．
考向二 函数的单调区间
例1、求下列函数的单调区间
（1）y＝－x2＋2|x|＋1；
（2）、函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.
变式1、求下列函数的单调区间．
(1) f(x)＝|x2－2x＋2|；
(2) f(x)＝log (x2－2x－3).
2
变式2、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数的单调递增区间是______．
变式3、.函数y＝log x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
(－
A. B.C.(－2，3) D.
方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见
函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：
(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；
(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解
考向三 函数的最值
例3、设m∈R，若函数f(x)＝|x3－3x－2m|在区间[0，2]上的最大值为4，求实数m的值．
变式1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设 ，函数 ，若 的最小值为
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
方法总结：研究函数的单调区间，进行讨论求解求解
考向四 函数单调性中的含参问题
例4、 设a＞0且a≠1，函数f(x)＝log (ax－1)在区间[3，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．
a
变式1、设a＞0且a≠1，函数f(x)＝log (ax2－x)在区间[3，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．
a
变式2、已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
1、（2022·湖南·雅礼中学二模）下列函数中，在R上为增函数的是（ ）A． B． C． D．
2、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数 在 上是减函数，则实数 的范
围是_______.
3、(2022·江苏镇江中学高三10月月考)能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在
［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
4、（2022·湖北·一模）已知函数 （x>0），若 的最大值为 ，则正实数
a=___________.
