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专题24.24 切线的性质与判定（培优练）
一、单选题
1．如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D，若 ＝
80°， ＝60°，则∠ADC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
2．如图，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P
在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图，已知 是半圆 的直径， 是 延长线上一点， 切半圆 于点 ， 于
点 ， 于点 ，若 ，则 的半径为（ ）
A．3.5 B．4 C． D．3.75
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐
标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值
为（ ）A． B．2 ﹣1 C．2 D．3
5．如图，直线 ， 与 和 分别相切于点 和点 ，点 和点 分别是 和 上的动点，
沿 和 平移，若 的半径为 ， ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 和 的距离为 B．当 与 相切时，
C． D．当 时， 与 相切
6．如图，在扇形 中，点 在弧 上，将弧 沿弦 折叠后恰好与 相切于点 ．
已知 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B． C． D．
7．如图，AD是⊙O的直径，PA，PB分别切⊙O于点A，B，弦BC∥AD．当 的度数为126°时，则
∠P的度数为（ ）A．54° B．55° C．63° D．64°
8．如图，在平面直角坐标系中，y轴的正半轴（坐标原点除外）上两点 、 ，C为x轴的
正半轴（坐标原点除外）上一动点．当 取最大值时，点C的横坐标为（ ）
A．5 B．2 C．21 D．
9．如图，已知 是 的直径， 是 的切线，D，B为切点， 交 于点E， 的延
长线交BC于点F，连接 ，给出以下四个结论：① ；②E为 的内心；③ ，
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
10．如图，点A是 上一定点，点B是 上一动点，连接 ， ， ．分别将线段 ，
绕点A顺时针能转60°到 ， ，连接 ， ， ， ，则下列结论正确的有（ ）
①点 在 上；② ；③ ； ④当 时， 与 相切．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+ 与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系
为 ．
12．如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的顶点A，B的坐标分别是 ， ，
动点P在直线 上运动，以点P为圆心， 长为半径的 随点P运动，当 与四边形 的边
相切时，P点的坐标为 .
13．如图，AB为⊙O直径，矩形ACDE的边DE与⊙O相切，点C在⊙O上，若 ， ，
则 ．
14．如图，以 ABC的边AB为直径的☉O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连接OD，则下
列结论中：①OD//△AC；②∠B=∠C；③2OA=AC；④DE是☉O的切线；⑤∠EDA=∠B，正确的序号是 ．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点 Q为CA延长线上一点，延
长QD交BC于点P，连接OD． ，若 AQ＝AC，AD＝4 时，写出BP的长为 ．
16．如图，在 中， ， ，点 在边 上，以点 为圆心作⊙ .当⊙ 恰
好同时与边 ， 相切时，⊙ 的半径长为 .
17．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O，半圆O，…，半圆O 与直线l相切．设半圆O，半圆
1 2 n 1
O，…，半圆O 的半径分别是r，r，…，r ，则当直线l与x轴所成锐角为30o，且r＝1时，r ＝ ．
2 n 1 2 n 1 100
18．如图矩形 中 ，半圆O的直径为 ，点E从D出发以每秒1个单位长度向C
运动，点F从B出发以每秒2个单位长度向A运动，当点F运动到点A时，点E也随之停止运动，设运动
的时间为t秒（1）当 与半圆O相切时，
（2）点M是 的中点，点N是 的外心，则点N运动路线的长为 ．三、解答题
19．如图，四边形 是正方形，点A，点B在 上，边 的延长线交 于点E，对角线
的延长线交 于点F，连接 并延长至点G，使 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 的半径为1，求 的长．
20．如图，点 在以 为直径的 上， ，点 在 上由点 开始向点 运动，点 与
点 关于 对称， 于点 ，并交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： 为 的切线．21．如图， 为 的切线， 为切点， 是 上一点，过点 作 ，垂足为 ， 交
于点 ．连接 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若点 是 的中点， ，求 的长．
22．如图在 中， ，在其内部有一点 ，以 为圆心， 为半径的圆与 相切于
点 交 于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）连接 ，若 ，且 ，求 的半径．23．已知 是 的直径， 是弦， 的角平分线交 于点D， 于
（1）如图1，求证： 是 的切线；
（2）如图1，若 ， ，求 的长；
（3）如图2，过点B作 的切线，交 的延长线于F，若 ， ，求 的值．
24．点 为正方形 的边 上一动点，直线 与 相交于点 ，与 的延长线相交于点 ．
（1）如图①，若正方形的边长为2，设 ， 的面积为 ，求 与 的函数关系；
（2）如图②，求证： 是 的外接圆的切线；
（3）如果把正方形 换成是矩形或菱形，（2）的结论是否是否仍然成立?参考答案
1．C
【分析】连接AB，交CD于E，根据圆周角定理，可求出∠ABC=40°，∠CAB=30°，由CD平分∠ACB，
可得∠ACD=20°，然后根据三角形的外角的性质，得到∠AED=50°，再根据切线的性质求出∠BAD=40°，从
而得出∠ADC=90°.
解：连接AB，交CD于E，
∵弧AB=80°，弧BC=60°
∴∠ABC=40°，∠CAB=30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=20°，
∴∠AED=∠CAB +∠ACD =50°，
∵直线l与圆相切于点A
∴∠BAD=40°，∴∠ADC=90°.
故选C.
【点拨】此题主要考查了圆周角定理和切线的性质定理的应用，灵活应用圆的相关定理进行角的转化
是解题关键.
2．C
【分析】要判断直角顶点的个数，只要判定以AE为直径的圆与线段BD的位置关系即可，相交时有2
个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点．
解：设两个矩形的长是a，宽是b．连接AE，
如图在△AEQ中，
根据勾股定理可得：
AE= ；
过AE的中点M作MN⊥BD于点N．则MN是梯形ABDE的中位线，
则MN= （a+b）；
以AE为直径的圆，半径是
（a+b）= a+ b≤
而只有a=b时等号才成立，
因而 （a+b）＜ ，
即圆与直线BD相交，则直角顶点P的位置有两个．
故选：C．
3．D
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，可得OD⊥AC，因为BC⊥AC，OH⊥BC，根据矩形的判定可得四边形OHCD为矩形，从而得到CH=OD，∠DOH=90°，根据“AAS”可证 ，得到
，设 ，则 ，根据勾股定理即可得到半径的长．
解：连接 ，过点 作 于点 ，
∵AC切半圆 于点D，
∴OD⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OD∥BC，∠ODC=∠C=90°，
∵OH⊥BC，
∴OH∥AC，∠OHC=90°，
∴四边形OHCD为矩形，
∴CH=OD，∠DOH=90°，
∵DF⊥EB，
∴∠FDO+∠FOD=90°，
∵∠HOB+∠FOD=90°，
∴∠HOB=∠FDO
在 OBH和 DOF中，
△ △
，
∴ （AAS），
∴ ，
设 ，则 ，
∵在 中，OB2=BH2+OH2，
∴ ，解得 ．
故选D．
【点拨】本题考查了圆的切线性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．
解题的关键是正确作出辅助线．
4．C
【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知 当PO⊥AB时，线段PQ最短，即线段PQ
最小.
解：如图，连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
由勾股定理知 ，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（4，0）、B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴ ，
∴ ，
∵OQ＝2，
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质
来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．5．B
【分析】连结OA、OB，根据切线的性质和l ∥l 得到AB为⊙O的直径，则l 和l 的距离为2；当MN与
1 2 1 2
⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt AMO中，
△
利用正切的定义可计算出AM= ，在Rt OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN= ，当MN在
△
AB右侧时，AM= ，所以AM的长为 或 ；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l 于F，易
1
证得Rt OAF≌Rt OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的
性质得△OE=OA，△然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．
解：连结OA、OB，如图1，
∵⊙O与l 和l 分别相切于点A和点B，
1 2
∴OA⊥l ，OB⊥l ，
1 2
∵l ∥l ，
1 2
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l 和l 的距离为2；
1 2
作NH⊥AM于H，如图1，
则MN=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°= ，
∴MN= ；当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO= ∠AMN= ×60°=30°，
在Rt AMO中，tan∠AMO= ，即AM= = ，
△
在Rt OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB= ，即BN= ，
△
当MN在AB右侧时，AM= ，
∴AM的长为 或 ；
当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l 于F，如图2，
1
∵OA=OB，
∴Rt OAF≌Rt OBN，
∴OF△=ON， △
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE=OA，
∴MN为⊙O的切线．
故选B．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂
直于经过切点的半径．
6．C
【分析】设翻折后的弧的圆心为 ，连接 交 于点H，可得根据切线的性质可证明 ，根据 直角三角形和勾
股定理即可解决问题．
解：如图，设翻折后的弧的圆心为 ，连接 交 于点H，
∵将弧 沿弦 折叠
∴
∴
∵恰好与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
7．A
【分析】根据弧与圆心角的关系，可得 ，继而可得 ，根据平行线的性质以
及同弧所对的圆周角相等，圆周角定理可得 ，根据领补角相等可得 ，根据切线长
的性质以及切线的性质求得 ，进而求得 ，即可求得 ．解：如图，连接 ， ， ，
的度数为126°，
．
，
．
，
．
，
， ，
．
， 是⊙ 的切线，
， ， ，
．
故选A．
【点拨】本题考查了弧与圆心角的关系，平行线的性质，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，切线
的性质，切线长定理，综合运用以上知识是解题的关键．
8．D
【分析】当以 为弦的圆与 轴正半轴相切时， 最大，根据圆周角定理得出对应的 最
大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
解：如图所示，当以 为弦的圆 与 轴正半轴相切时， 最大，
∵
∴此时的 最大，
作 轴于 ，连接 、 ．∵ 、 ，
∴ ，
与 轴相切于点C， 轴，
在直角 中， ，
∴ ，
∴点C的横坐标为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，正确理解当以 为弦的
圆与 轴相切时，对应的 最大是关键，解题时注意结合图形分析．
9．A
【分析】如图所示，连接 ，先证明 ，得到 ，
再由圆周角定理得到 即可判断①；根据切线的性质和三角形内角和定理得到
，进而推出 则 是 的角平分线，同理可
证得 是 的平分线，即可判断②；若若 ，则应有 ，应
，进而推出 而 的度数不一定是60度，即可判断③．
解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 是 的角平分线，同理可证得 是 的平分线，
∴E为 的内心，故②正确；
若 ，则应有 ，应有 ，
∴ ，
∴
而 的度数不一定是60度，故③不正确；
因此正确的结论有：①②．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念，三角形
内角和定理，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．B
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质，易证 ，可判断①选项；根据旋转的性质与全
等三角形的性质可证 ，可判断②选项；根据等边三角形的性质与全等三角形的性质，
可得③选项；根据切线的判定定理可判断④正确．
解： 为 绕点A顺时针能转60°得
，
为等边三角形，
点 在 上（点到圆心的距离等于半径的长度，则该点在圆上），故①正确；
为 绕点A顺时针能转60°得
，
，即
， ，
，故②正确；
， ，
为等边三角形
，
，
，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
当 时，则 ，
∴ 是 的中点，此时 ， ，
∴ ，
∴ 与 相切．
，故④正确．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：A
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，切线的判定定理，根据旋转的性质
证明三角形全等是关键．
11．相切
解：令y=x+ =0，解得：x=﹣ ，令x=0，解得：y= ，
∴直线y=x+ 与x轴交于点A（﹣ ，0），
与y轴交于点B（0， ），OA= ，OB= ，
∴AB=
设圆心到直线y=x+ 的距离为r，
则
∴r= =1，
∵半径为1，
∴d=r，∴直线y=x+ 与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，
故答案为：相切．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
12．（0，0）或 或 ．
【分析】分四种情况，根据直线与相切的性质和一次函数图像上点的坐标特点，画出图形，分析作答
即可．
解：①当 与BC相切时，∵动点P在直线 上，
∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，
∴P（0，0）．
②∵平行四边形 的顶点A，B的坐标分别是 ， ，
∴点C的坐标是 ，
∴直线 的解析式是 ，
∵直线 的解析式是 ，
∴ ，
如图1中，当 与OC相切时，则 ， 是等腰三角形，作 轴于E，则 ，
易知P的纵坐标为1，可得P ．③如图2中，当 与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，可得
，
解得 或 ，
∵ ，
∴ 不会与OA相切，
∴ 不合题意，
∴ ．
④如图3中，当 与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时 ，
∵ ，
∴ 不成立，
∴此种情形，不存在P．综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或 或 ．
故答案为：（0，0）或 或 ．
【点拨】本题考查了切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征等知识，正确分类、熟练掌握直线与
相切的性质是解题的关键．
13．
【分析】利用直线与圆相切，矩形与梯形中位线的性质得出 ， ，则
，即求出 的值即可求出结果．将 ， ， 用 代数式表示，利用勾股定理建立等式
关系，求解即可．
解：如图，过点 作直线 相交 于点 ， 于点 ，
四边形 是矩形，
且 ， 且 ， ．
， 为⊙ 直径，
， （梯形的中位线）．
，
．
， ，， ．
，即 ，
整理得 ，
解得 （ 不符合题意）．
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查直线与圆的相切性质问题．涉及直线与圆相切的性质，矩形的性质、梯形的性质、
勾股定理等的理解与综合应用能力．涉及直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径；矩形对应边平行且
相等，四个角都是直角；梯形中位线等于两底和的一半；一个直角三角形中，两个直角边长的平方加起来
等于斜边长的平方．灵活运用相关知识点建立等式关系求解是解本题的关键．
14．①②③④⑤．
【分析】连接 ，根据三角形中位线定理得到 ，①正确；根据圆周角定理得到
，根据等腰三角形的性质得到 ，②正确；根据切线的判定定理得到 是
的切线，④正确；根据余角的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求
得 ，⑤正确；根据线段垂直平分线的性质得到 ，求得 ，③正确．
解：如图示，连接 ，
为 中点，点 为 的中点，
为 的中位线，
，①正确；
是 的直径，，
即 ，又 ，
为等腰三角形，
，②正确；
，且 ，
，
是半径，
是 的切线， ④正确；
，
，
，
，
，
， ⑤正确；
为 中点， ，
，
，
，
③正确，
故答案为：①②③④⑤．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形
中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．．
15． .
【分析】连接 ，通过圆周角定理及推论证明 是 的切线；再根据切线长定理求得 ，
连接 ，得到 ，根据平行线分线段长比例定理得到 ，根据三角形的中位线的性质得
到 ，根据射影定理即可得到结论．
解：连接 ，
，，
，
，
是 的直径，
，
， ，
，
是 切线；
， 为半径．
是 切线，
，
连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的中位线，
，
， ，
，
，
．故答案为： .
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的
性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．
【分析】作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设⊙D的半径为r，先利用等腰三
角形的性质得BH=CH= BC=5，则利用勾股定理可计算出AH=12，再根据切线的性质得DE=DF=r，然后根据
三角形面积公式得到 •AH•BC= DE•BC+ •DF•AC，即 ×10•r+ ×13×r= ×10×12，，再解关于r的方程
即可．
解：作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设 D的半径为r，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH= BC=5，
在Rt△ABH中，根据勾股定理求得AH=12，
∵⊙D同时与边AC、BC相切，
∴DE=DF=r，∵S =S +S ，
ABC ADC DBC
△ △ △
∴ •AH•BC= DE•BC+ •DF•AC，
即 ×10•r+ ×13×r= ×10×12，
∴r= ，
即当 D恰好同时与边AC、BC相切时，此时 D的半径长为 ．
故答案为: ．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的
半径．
17．
【分析】根据题意作出垂线段，表示出直线原点 与圆心之间的线段关系，然后寻找规律得出答案．
解：分别过半圆 ，半圆 ， ，半圆 的圆心作 ， ， ，如图，
半圆 ， ， ， ， 与直线 相切，
， ， ，
当直线 与x轴所成锐角为 时， ，
在 中， ，即 ，
，在 中， ，即 ，
，
同理可得， ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了规律型、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，找出规律是解题的关键
18． 2
【分析】（1）根据题意求得 ，设切点为 ，根据切线长定理可得 的长度，在 中，
，勾股定理建立方程求解即可；
（2）根据题意，分别求得 时， 的长度，即可求得点 顶点运动路线的长度．
解：（1）如图，过点 作
四边形 是矩形， ，
,
是 的切线，
四边形 是矩形，
点E从D出发以每秒1个单位长度向C运动，点F从B出发以每秒2个单位长度向A运动，
， ， ，
与半圆O相切时，设切点为在 中，
解得 （舍去）
当 与半圆O相切时， ，
故答案为：2
（2）如图，当 时，
点N是 的外心
在 的垂直平分线上
是 的中点， 是 的中点，在 中，
在 中，
即
解得
如图，当 时，
中，
过点 作
则四边形 是矩形
中 ,又解得
点的运动路程为
故答案为：
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线长定理，切线的判定，综合运用以上知识是解题的
关键．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，根据四边形 是正方形，得到 ,从而得到 是圆 的直径，
结合 ， ，证明 即可；
（2）连接 ，证明 ,从而证明 ，利用勾股定理计算即可．
解：（1）连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 是 的切线；
（2）如图，连接 ，
∵四边形 是正方形， 是圆的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆的切线判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，圆周角定理，
勾股定理是解题的关键．
20．（1）答案见详解；（2）答案见详解
【分析】（1）由轴对称的性质得出， ，再求出 ，得出 ，即可得出结论．
（2）连接 ，先证出 是等边三角形，得出 再求出 ，由轴对
称的性质得出， ，求出 ，即可得出结论．
解：（1）证明： 点 与点 关于 对称，
， ∵
∴ ，
∴又 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴（2）证明：连接 ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 与点 关于 对称，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的切线．
∴【点拨】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的
判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并运用是解题的关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）连接 ，由切线的性质得到 ，又 ，得到 ，因此
，由圆周角定理可得出结论；
（2）过点 作 ，垂足为 ，由垂径定理可得 ，证明四边形 是矩
形，可得 ，根据勾股定理可得 ，最后由矩形的性质即可求
得 的长．
解：（1）证明：如图，连接 ，
∵ 为 的切线， 为切点，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ 的度数为 ，
（2）过点 作 ，垂足为 ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点拨】本题考查圆周角定理，切线的性质，平行线的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质，
勾股定理．掌握圆周角定理、切线的性质和垂径定理是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）如图：连接OD，由切线的性质可得 ，即 ．再根据对顶角的性
质可得 等边对等角可得 ，进而说明 ，最后根据等角对等边即可证明结论；
（2）如图：过 作 ,设 的半径为r，则 ．由垂径定理可得 ，则
，然后在 中利用勾股定理列式求得r即可解答．
（1）解：如图：连接OD，∵ 与 相切，
∴ ，即 ．
∵ ，即 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图：过 作 ,
设 的半径为r，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴在 中，由勾股定理可得， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关性质定理是解答本题的关键．
23．（1）证明见分析；（2）6；（3）
【分析】（1）连接 ，则利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可以推出 ，从而
证明 ，则 ，再由 ，得到 ，则 ，由此即可证明结
论；
（2）连接 交于F，先利用勾股定理求出 ，然后整理四边形 是矩形，得到
，再由垂径定理求得 ，由此即可得到答案；
（3）连接 ，先证明 ，得到 ，再由勾股定理得到
， ，从而可以推出 ，即
，则 ，
设 ，则 ，解方程即可．
解：（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；（2）解：如图所示，连接 交于F，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是 的切线，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，垂径定理，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行
求解．
24．（1） ；（2）见分析；（3）正方形 换成矩形 时，（2）结论不成立；当正
方形 换成菱形 时，（2）结论成立
【分析】（1）延长 ，过G作 交 延长线于R，利用三角形面积公式即可得出结果；
（2）取 中点O，连接 ，根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质得出 ，
再由各角之间的等量代换得出 ，即可证明；
（3）当正方形 换成矩形 时，根据题意得出 不是 的外接
圆的切线；当正方形 换成菱形 时，同（2）中的方法一致，证明即可
（1）解：如图，延长 ，过G作 交 延长线于R，
由题意可知，正方形 边长为2，
∴ ，
∴
∴ 即 ；
（2）证明：如图，取 中点O，连接 ，
∵ ，
∴ 是 外接圆的直径，O为圆心，
在正方形 中， 是对角线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在圆O中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的外接圆的切线；
（3）当正方形 换成矩形 时，
由（2）可知，
，但是 与 不全等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 不是 的外接圆的切线；
当正方形 换成菱形 时，在菱形 中， 是对角线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在圆O中，连接 并延长交圆O于H，∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的外接圆的切线．
【点拨】题目主要考查一次函数的应用及正方形的性质，切线的判定和性质及全等三角形的判定和性
质等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
