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专题24.27 切线长定理（分层练习）
一、单选题
1．如图，从圆 外一点 引圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，如果 ，
，那么弦AB的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 、 是 的切线， 是 的直径， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
4．下面图形中，一定有内切圆的是（ ）
A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形
5．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则
∠EPF的度数是（ ）A．65° B．60° C．58° D．50°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝
10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图， 、 、 分别切 于点 、 、 ， 的半径为5， ，则 的周长为
（ ）
A．18 B．20 C．24 D．30
8．在 中， ，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． 内切圆的半径 D．当 时， 是直角三角形
9．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方
形ABCD的边长是（ ）
A．3 B．4
C． D．
10．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．如图，AD是⊙O的直径，PA，PB分别切⊙O于点A，B，弦BC∥AD．当 的度数为126°时，则
∠P的度数为（ ）
A．54° B．55° C．63° D．64°
12．如图，⊙O是 ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设 ABC的面积、周长分别为S、l，
⊙O的半径为r，则下列△等式： △
①∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°；②S= l r；③2∠EDF＝∠A＋∠C；④2（AD＋CF＋BE）＝l，其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
13．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，
则DE的长是（ ）
A． B． C． D．
14．已知 与 各边相切于点 ， ，则 的半径（ ）
A． B． C． D．
15．在平面直角坐标系中，点A（0,2）、B（a,a+2）、C（b,0）（a>0,b>0），若AB= 且∠ACB最
大时，b的值为（ ）
A． B． C． D．二、填空题
16．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切
线分别交PA、PB于D、E，若 PDE的周长为20cm，则PA长为 ．
△
17．如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝ °；
18．如图，四边形 为 的内接四边形， 是 的内心，点 与点 关于直线 对称，
则 的度数是 ．
19．如图，在 中，内切 与边 相切于点 ， ， ， ，则 的长是
．
20．如图，点O，I分别是锐角 的外心、内心，若 ，则 的度数为．
21．如图，⊙O是 ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，若
∠BDE+∠CFE=110°，则△∠A的度数是 ．
22．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB＝
40°，PA＝5，则下列结论：①PA＝PB＝5；②△PCD的周长为5；③∠COD＝70°．正确的有
个．
23．在 中， ， ，则 的内切圆半径长为 ．
24．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ．
25．一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R﹣r＝．
26．如图， 中， ，以 为直径的 交 于 ， 交 于 ， 交
于 ，点 为 延长线上的一点， 延长交 于 ， ，下列4个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）
27．PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若
∠APB=50°，则∠COD的度数为 ．
28．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ，点 是 的内心，将 绕原点顺
时针旋转 后， 的对应点 的坐标是 ．
29．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB C D ，B C 交CD于点E，AB＝ ，则
1 1 1 1 1
四边形AB ED的内切圆半径为
1
30．如图，∠MAN＝45°，B、C为AN上两点，AB＝1，BC＝3，D为AM上的一个动点，过B、C、D
三点作⊙O，当 sin∠BDC的值最大时，⊙O的半径为三、解答题
31．如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则 PMN的
周长为______． △
32．如图，Rt 中， ， 为 上一点，以 为圆心， 长为半径的圆恰好与 相
切于点 ，交 于点 ，连接 ，并延长交于 点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径及 的长．33．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与
AB的延长线交于点D．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．
34．如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，
过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．35．已知 为 的直径， ，C为 上一点，连接 ．
（1）如图①，若C为 的中点，求 的大小和 的长；
（2）如图②，若 为 的半径，且 ，垂足为E，过点D作 的切线，与 的
延长线相交于点F，求 的长．
36．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长
FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝ ．（1）求证： AED≌△CEB；
（2）求证：△FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝ ，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．
参考答案
1．C【分析】先利用切线长定理得到 ，再利用 可判断 为等边三角形，然后根据
等边三角形的性质求解．
解： ，PB为 的切线，
，
，
为等边三角形，
．
故选C．
【点拨】本题考查切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
2．B
【分析】（1）根据切线长定理推出AP=BP,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出
∠PAB=59 ,求出∠BAC∠BOC即可.
解：解:（°1） PA,PB是 O的切线,
AP=BP, ⊙
∠P=62 , ∠PAB= =59 ,
° °
AC是 O的直径,
∠PAC⊙=90 ,
∠BAC=90°-59 =31 ，
∠°BA°C=62°，
故∠选BO.C=2 °
【点拨B】本题考查了等腰三角形的性质,切线长定理,切线的性质,圆周角定理等知识点的应用,题型较好,
综合性比较强,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力.
3．C
【分析】根据圆的切线相关的概念辨析即可．
解：A、B、D说法均正确；
C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误；
故选：C．
【点拨】本题考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键．
4．C
【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案．解：角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角，
所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆
就是菱形的内切圆，
选项中只有菱形，对角线平分对角．
故选C
【点拨】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键．
5．B
【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF= ∠EOF=60°，
故选：B．
【点拨】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
6．B
【分析】过点 作 ，根据切线长定理设 ，进而结合已知条
件表示出 ，求得 的长，进而即可求解．
解：如图，过点 作 ，∵ 是 的内心，
∴ ，
设 ，
∵BD＝10，
∴ ，
∴ , ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据切线的性质，得到直角三角形 ，根据勾股定理求得 的长；根据切线长定理，得
， ， ，从而求解．
解：∵ 、 、 分别切 于点 、 、 点，
∴ ， ， ， ．
在直角三角形 中，根据勾股定理，得 ，
∴ 的周长 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了切线长定理和切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．
解：∵ ，
∴ 即 ，故A说法正确；当 时， ，
若以 为底，高 ，
∴ ，故B说法正确；
设 内切圆的半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故C说法错误；
当 时， ，
∴ 是直角三角形，故D说法正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握
内切圆半径与圆的面积周长之间的关系 是解题的关键．
9．C
【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD
交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正
方形的边长．
解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH= =AE．
∴AD=AE+DE= +2．
故选C．
【点拨】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
10．B
【分析】过点O作 ， ，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直
角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．
解：如图，过点O作 ， ，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形， ，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 ，
∴ , ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案选B．【点拨】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数
求解是解题的关键．
11．A
【分析】根据弧与圆心角的关系，可得 ，继而可得 ，根据平行线的性质以
及同弧所对的圆周角相等，圆周角定理可得 ，根据领补角相等可得 ，根据切线长
的性质以及切线的性质求得 ，进而求得 ，即可求得 ．
解：如图，连接 ， ， ，
的度数为126°，
．
，
．
，
．
，
， ，
．
， 是⊙ 的切线，
， ， ，
．
故选A．
【点拨】本题考查了弧与圆心角的关系，平行线的性质，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，切线
的性质，切线长定理，综合运用以上知识是解题的关键．
12．A
【分析】连接OD、OE、OF、AO、BO、CO，根据等角替换，四边形的性质与切线长定理求解即可.解：连接OD、OE、OF、AO、BO、CO
∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，故①正确；
故②正确；
在四边形BFOE中有
∴
故③正确；
⊙O是 ABC的内切圆
AD=AE，△BE=BF，CD=CF
∴2（AD＋CF＋BE）＝l
∴故④正确.
故选A.【点拨】本题主要考查了等角替换，四边形的性质与切线长定理等知识点，综合性较强，根据题意作
出辅助线是解题的关键.
13．D
【分析】连接 、 、 ， 交 于 ，作 交BC于点G，利用
，求出 ，进一步可得 ，求出 ，设⊙
的半径为 ，利用 ，求出 ，求出 ，进一求出 ，再证
明OB垂直平分 ，利用面积法可得 ，求得HE长即可求得答案．
解：连接 、 、 ， 交 于 ，作 交BC于点G，如图，
∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
设内切圆的半径为r，
则 ，解得： ，
的内切圆⊙ 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
又∵OD=OE， OB=OB，
∴ ，
∴BD=BE，同理， CE=CF，AD=AF，
∵BE+CE=BC=7，
∴BD+BE+CE+CF=14，
∴2AD=（6+5+7）-14=4，即AD=2，
∴ ，
∴ ，
， ，
垂直平分 ，
， ，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的内切圆性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，面积法等，正确添
加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
14．C
【分析】根据内切圆的性质，得到 ，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，作BG⊥AC于点
G，然后求出BG的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径.
解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，作BG⊥AC于点G，
∵ 是 的内切圆，
∴ ，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，∴AC=8，AB=7，BC=5，
在Rt△BCG和Rt△ABG中，设CG=x，则AG= ，由勾股定理，得：
，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：C.
【点拨】本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长
度，解题的关键是掌握三角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题.
15．B
【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当 的外接圆与 轴相切时， 有最大值，此时
圆心F的横坐标与C点的横坐标相同，并且在经过AB中点且与直线AB垂直的直线上，根据FB=FC列出关
于b的方程求解即可.
解：∵AB= ，A（0,2）、B（a,a+2）
∴ ，
解得a=4或a=-4（因为a>0，舍去）
∴B（4,6），
设直线AB的解析式为y=kx+2，
将B（4,6）代入可得k=1，所以y=x+2，
利用圆周角大于对应的圆外角得当 的外接圆与 轴相切时， 有最大值.
如下图，G为AB中点， ，设过点G且垂直于AB的直线 ，
将 代入可得 ，所以 .
设圆心 ，由 ，可知 ，解得 （已舍去负
值）.
故选：B.
【点拨】本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的
切线和圆周角定理构建图形找到C点的位置是解决此题的关键.
16．10cm
【分析】根据切线长定理，可将 PDE的周长转化为两条切线长的和，已知了 PDE的周长，即可求
出切线的长． △ △
解：根据切线长定理得：
AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
则 PDE的周长＝
2△PA＝20，
PA＝10．
故答案为：
【点拨】本题考查的是切线长定理，三角形的周长的计算，掌握切线长定理是解题的关键
17．
【分析】根据三角形的内心的概念得到 然后根据三角形
内角和定理计算即可．
解：∵圆O是△ABC的内切圆，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，∴
∴∠BOC ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个
内角角平分线的交点是解题的关键．
18．
【分析】连接OB、OD、BI、DI，利用轴对称的性质证得四边形OBID是菱形，得到∠BOD=∠BID，
∠OBD=∠BDO=∠IBD=∠IDB，根据圆周角定理得到∠BOD=2∠A，由圆内接四边形性质得到
，求出∠BID=180°- ，由此得到2∠A=180°- ，求出∠A= ．
解：连接OB、OD、BI、DI，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴OB=BI，OD=DI，
∵OB=OD，
∴OB=BI=OD=DI，
∴四边形OBID是菱形，
∴∠BOD=∠BID，∠OBD=∠BDO=∠IBD=∠IDB，
∵∠BOD=2∠A，∠BID=180°-（∠IBD+∠IDB），
∵∠IBD+∠IDB= ， ,
∴ ∠IBD+∠IDB= ，
∴∠BID=180°- ，∴2∠A=180°- ，
解得∠A= ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了圆内接四边形对角互补的性质，三角形内心定义，菱形的判定及性质，三角形内
角和定理，轴对称的性质，熟记各知识点是解题的关键．
19．6
【分析】设内切 与边 ， 分别相切于点E，F，根据切线长定理可得
，从而得到 ，即可求解．
解：如图，设内切 与边 ， 分别相切于点E，F，
∵ 是 的内切圆，
∴ ，
∴
，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：6
【点拨】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理列方程是解题的关键．
20． /24度
【分析】连接 ，先计算出 ，再利用外心性质和等腰三角形的性质得到
，则 ，利用圆周角定理得到 ，接着计算出 ，再根据三角形内心即可解决问题．
解：连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵O点为 的外心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵I为 的内心，
∴ 平分 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键
是掌握内心与外心定义．
21．40
【分析】根据切线长定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理推出∠BDE+∠BED+∠B=180°，
∠CFE+∠CEF+∠C=180°，得到2（∠BDE+∠CFE）+∠B+∠C=360°，据此求解即可．
解：∵⊙O是 ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，
∴BD=BE，CE△=CF，
∴∠BDE=∠BED，∠CFE=∠CEF，
∵∠BDE+∠BED+∠B=180°，∠CFE+∠CEF+∠C=180°，即2∠BDE+∠B=180°，2∠CFE+∠C=180°，
∴2（∠BDE+∠CFE）+∠B+∠C=360°，
∵∠BDE+∠CFE=110°，
∴2×110°+∠B+∠C=360°，
∴∠B+∠C=140°，
∴∠A=180°-（∠B+∠C）= 40°．
故答案为：40．
【点拨】本题考查了切线长定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质
并准确识图是解题的关键．
22．2
【分析】根据切线长定理，可判断①正确；将 的周长转化为 ，可判断②错误；连接 、
、 ，求出 ，再由 ，可判断③正确．
解： 、 是 的切线，
，故①正确；
、 、 是 的切线，
， ，
的周长 ，故②错误；
连接 、 、 ，
，
，故③正确．
综上可得①③正确，共2个．
故选： ．
【点拨】本题考查了切线的性质及切线长定理，熟悉相关性质是解答本题的关键．
23．【分析】如图所示，过点C作CD⊥AB，由等腰三角形的性质可知 ，依据勾股定理可求
得 ，然后可求得△ABC的面积，最后根据三角形的面积= ×三角形的周长×三角形的内切圆半径
求解即可．
解：设△ABC的内切圆半径为r，
过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵AC=BC=2， ，
∴AD=BD= ．
在Rt△ACD中，CD= ，
∴S ABC= AB•CD= （AB+AC+BC）•r．
△
∴r= ．
∴△ABC的内切圆半径为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心，明确三角形的面积= ×三角形的周长×三角形的
内切圆半径是解题的关键．
24．62°
【分析】先根据切线长定理得到∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠BCD，∠3＝ ∠ADC，∠4＝ ∠BAD，
再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．
解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠BCD，∠3＝ ∠ADC，∠4＝ ∠BAD，
∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，
∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，
∴∠3+∠4＝ （∠BAD+∠ADC）＝ ×236°＝118°，
∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．
故答案为：62°．
【点拨】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切
圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键．
25．4.5
【分析】根据勾股定理的逆定理推出 ，连接 ， ，根据圆 是 的内切圆，得到
， ， ， ，推出正方形 ，设 ，
得到方程 ，求出方程的解即可，进而得出其外接圆的半径，即可得出答案
解：如图：连接 ，
，圆 是 的内切圆
， ， ，
四边形 是正方形
设
直角三角形斜边长是直角三角形外接圆的直径
其外接圆半径为：
故答案为：
【点拨】本题考查了对三角形内切圆与内心以及直角三角形外接圆半径求法，切线长定理，切线的性
质，正方形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识，综合运用这些性质进行推理是解题关键．
26．①②③
【分析】①首先连接 ， ，由 ， ，易得 ，又由
，可得 ，继而证得 为 的切线；
②又由 是直径，可得 ，由切线长定理可得 ，根据等角的余角相等，可得
，根据等腰三角形的判定，可得答案；
③易证得 是 的中位线，则可得 ．
④由于在 中， ，在 中， ，而 不一定等于
，则可得 不一定等于 ．
解：如图，连接 ， ，
， ，
， ，，
，
，
，
即 ，
点 上，
为 的切线；
∵点 在 上， ，
为 的切线，
故①正确；
是直径，
，
，
，
是 的切线，
，
，
， ，
，
；故②正确；
，
是 的中位线，
；故③正确；
在 中， ，
在 中， ，
，
，
但 不一定等于 ，
不一定等于 ．故④错误．
故答案为：①②③．
【点拨】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
27．65°或115°
【分析】根据题意画出符合题意的图形，分别求出∠AOB，再根据切线的性质求出∠COD的度数．
解：如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE= ∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE
∴∠COD= （360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°．【点拨】此题主要考查考查了切线的性质，切线长定理，三角形的内角和等知识点的应用，解题的关
键是根据题意分情况作图求解．
28．
【分析】过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，直接利用直角三角形的性质得出其内切圆的半径，即
IF的长进而得出I点的坐标，再利用旋转的性质得出对应坐标
解：过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵ ，
∴OB=AC=8，OA=BC=6，
∴AB= ，
∵点 是 的内心，
∴I到△ABC各边的距离相等，等于其内切圆的半径，
即IF为内切圆的半径，
∴IF= ，
故点I到BC的距离为2，
∴AE=IF=2，
AF=AC-CF=8-2=6，OE=OA-AE=6-2=4，
∴点I坐标为（4，6），
∵ 绕原点顺时针旋转 ，
∴ 的对应点 的坐标是 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了直角三角形中内切圆的半径公式，坐标与图形变换——旋转，勾股定理等知识．
直角三角形内切圆半径公式为： （a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，r为内切圆半
径）．
29．
【分析】首先作∠DAF与∠AB C 的角平分线，交于点O，则O为该圆的圆心，过O作OF⊥AB 交AB 于
1 1 1 1
点F，则OF即为所求，根据角平分线的性质可得∠OAF=30°，∠AB O=45°，根据等腰三角形的性质以及含
1
30°角的直角三角形性质可得B F=x，AF= -x，接下来在Rt△OFA，利用勾股定理即可得到关于x的方程，
1
解方程即可求解.
解：作∠DAF与∠AB C 的角平分线，交于点O，过O作OF⊥AB 交AB 于点F，
1 1 1 1
AB=AB = ，∠BAB =30°，
1 1
∵四边形AB C D 是正方形，∠DAF与∠AB C 的角平分线交于点O，∠BAB =30°
1 1 1 1 1 1
∴∠OAF=30°，∠AB O=45°
1
∵OF⊥AB
1
∴B F=OF= OA
1
设B F=x，则AF= -x
1
∴（ -x）2+x2=（2x）2
解得x= 或x= （舍去）即四边AB ED的内切圆的半径为 .
1
故答案为 .
【点拨】此题主要考查了正方形中的旋转问题，添加合适的辅助线是解题关键.
30．
【分析】由题意知，∠BDC小于90o，，当⊙O与AM相切时，∠BDC最大，此时AD2=AB·AC，则
AD=2，延长DO交AN于点E，DE=AD=2，设半径为x，OE=2-x，过O点作OH⊥BC，垂足为H，则OH=
，BH= ，在Rt△OHB中， + = ，最后求得半径x= ．
解：当⊙O与AM相切时，∠BDC最大，此时sin∠BDC的值最大，
∵⊙O与AM相切于点D，AB＝1，BC＝3，
∴AD2=AB·AC ，
∴AD=2，
延长DO交AN于点E，过O点作OH⊥BC，垂足为H，连接BO，
∴ ，
∵ ，∴△AED为等腰直角三角形，
∴DE=AD=2，
设⊙O半径为x，则OE=2-x，
∵ ，
∴ ， ，
在Rt△BOH中， ，
即 + = ，
解得： ，
∵⊙O半径大于0，
∴ 舍去，
∴x= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆的综合题，熟练掌握切线的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的性质、会利
用勾股定理计算线段的长是解题关键．
31．（1）见分析；（2）12
【分析】（1）连接OB，证明 APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出
∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，△则可得出结论；
（2）由切线长定理可得出答案．
解：（1）证明：连接OB，
∵PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°，
在 APO和 BPO中，
△ △
，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB与⊙O相切；
（2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6，
∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，
∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；
故答案为：12．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性
质是解题的关键．
32．（1）见分析；（2） 的半径为1.5，
【分析】（1）连接DE，根据切线长定理可得∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，从而得到∠BAO=
∠BAD，从而得到∠BAO= =∠F，即可求证；
（2）根据切线长定理可得AB=AD=3，再由勾股定理可得BC=4，设 的半径为x，则OD=x，OC=4-
x，在 中，由勾股定理可得 的半径为1.5，由（1）可得 ，在 中，
由勾股定理，即可求解．
解：（1）证明：如图，连接DE，∵ ，
∴AB与 相切，
∵AD与 相切，
∴∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，
∴∠BAO= ∠BAD，
∵∠BAD=90°-∠C，∠C=90°-∠COD，
∴∠BAO= =∠F；
（2）解：∵AB与 相切，AD与 相切，
∴AB=AD=3，
∵CD=2，
∴AC=5，
∴BC=4，
设 的半径为x，则OD=x，OC=4-x，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得：x=1.5，
∴ 的半径为1.5，即OB=1.5，
∵DF为直径，DF=3，
∴∠DEF=90°，
∵ ，
∴ ，
∴EF=2DE，
在 中，由勾股定理得： ，∴ ，解得： 或 （舍去）．
【点拨】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理，圆周角定理是
解题的关键．
33．（1）证明见分析；（2） ；
【分析】（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由
切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；
（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程 ，解方程可
得出答案．
解：（1）证明：连接OB，则OC＝OB，如图所示：
∵OA⊥BC，
∴EC＝BE，
∴OA是CB的垂直平分线，
∴AC＝AB，
∵在△CAO和△BAO中
，
∴△CAO≌△BAO（SSS），
∴∠OCA＝∠OBA．
∵AB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠ABO＝90°，
∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线．（2）解：∵OC＝2，OD＝5，
∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，
∵∠OBD＝90°，
∴BD ，
设AC＝x，则AC＝AB＝x，
∵CD2+AC2＝AD2，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴AD＝AB+BD＝AC+BD ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟
练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
34．（1）见分析;（2）4.8cm,MN＝9.6cm．
【分析】（1）先由切线长定理和平行线的性质可求出∠OBC+∠OCB＝90°，进而可求∠BOC＝90°，
然后证明∠NMC=90°，即可证明MN是⊙O的切线；
（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O
的半径，通过证明△NMC∽△BOC，即可求出MN的长.
解：（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠DCB）＝ ×180°＝90°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°＝90°.
∵MN∥OB，
∴∠NMC＝∠BOC＝90°，
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接OF，则OF⊥BC，
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC＝ ＝ ＝10，
∵S BOC＝ •OB•OC＝ •BC•OF，
△
∴6×8＝10×OF，
∴OF＝4.8cm，
∴⊙O的半径为4.8cm，
由（1）知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，
∴△NMC∽△BOC，
∴ ，即 ＝ ，
∴MN＝9.6（cm）．
【点拨】本题主要考查的是切线的判定与性质，切线长定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定
与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积等有关知识.熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
35．（1） ，
（2）【分析】（1）由圆周角定理得 ，由C为 的中点，得 ，从而 ，即可
求得 的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；
（2）证明四边形 为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．
解：（1）∵ 为 的直径，
∴ ，
由C为 的中点，得 ，
∴ ，得 ，
在 中， ，
∴ ；
根据勾股定理，有 ，
又 ，得 ，
∴ ；
（2）∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
∵ ，垂足为E，
∴ ，
同（1）可得 ，有 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，于是 ，
在 中，由 ，得 ，
∴ ．
【点拨】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，
勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．
36．（1）见分析；（2）见分析；（3）直线l是圆O的切线，理由见分析【分析】（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出 AED≌△CEB；
△
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝ BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝∠B，由圆
周角定理和对顶角相等证出∠A＋∠AEG＝90°，进而得出结论；
（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH＝ AB＝2，则EH＝AH−AE＝1，由勾股定
理求出OH＝1，OB＝ ，由一条直线l到圆心O的距离d＝ 等于⊙O的半径，即可得出结论．
解：（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在 AED和 CEB中，
△ △
，
∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠CEB＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，
∴EF＝ BC＝BF，
∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，
∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：
∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝ AB＝2，
∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝ ＝ ＝1，
∴OB＝ ＝ ＝ ，即⊙O的半径为 ，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝ ＝⊙O的半径，
∴直线l是圆O的切线．
【点拨】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直
角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理
和垂径定理是解题的关键．
