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专题24.2 圆及其基本概念（分层练习）
一、单选题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称
2．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
3．下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 的半径为3， ，则点A在（ ）
A． 内 B． 上 C． 外 D．无法确定
5．如图，点 ， ， 在 上， ， ，连接 交 于点 ，则 的度
数是（ ）
A．108° B．109° C．110° D．112°
6．如图， 的直径 与弦 的延长线交于点E，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．7．若 所在平面内一点P到 上的点的最大距离为a，最小距离为b（ ），则此圆的半径为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．如图，在⊙O中，∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，则∠ADO的度数为（ ）
A．43° B．44° C．45° D．46°
9．如图 中， ，以C为圆心， 为半径的圆交 于点D，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那
么半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线
段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（ ）A．4 B． C． D．
12．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M
为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．如图， 的半径为4，圆心 的坐标为 ，点P是 上的任意一点， ，且 、
与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．12 D．28
14．如图，梯形ABCD中， ，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点 若
，则 的度数为何？（ ）A．116 B．120 C．122 D．128
15．如图，矩形 中， ， ，点 在对角线 上，圆 经过点 ．如果矩形
有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知 的半径为2cm，则 最长的弦为 cm．
17．Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，则PQ长的最小值是 ．
18．如图，在两个同心圆中， 为60°，则 的度数为 ．
19．已知 的半径为6，点 在 外，则点 到圆心 的距离 的取值范围是 ．
20．点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为 ．
21．已知如图， 是等边三角形，分别以点A、B、C为圆心， 长为半径作圆，得到弧 、
弧 、弧 ， ，D为弧 上任一点，连接 ，则 = ．22．下列说法中正确的有 （填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；
（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
23．点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点，在运动
过程中若∠POA=90°，则线段PA的最小值是 ．
24．在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则弦AB所对的圆周角的度数 ．
25．已知 是 内一点（点 不与圆心 重合），点 到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离
是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的直径为 ．
26．如图，半径为4的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD
为边向右作等边△CDE，当点E落在 上时，CD＝ ．
27．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,0），⊙M的半径为2，AB为⊙M的直径，其中
点A在第一象限，当OA=AB时，点A的坐标为 .28．如图，E是边长为4的正方形 的边 上的一个动点，F是以 为直径的半圆上的一个动
点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
29．如图，在以AB为直径的半圆中， = ，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两
根的一元二次方程是 ．
30．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，点P在以 为
圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足 ，a的最大值是 ．
三、解答题
31．如图，线段 过圆心O，点A，B，C，D均在 上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它
们表示出来．32．在 中，① 是直径；② ，垂足为 ；③ ；④ ；⑤ ．
请从上述五个命题中选出两个作为已知条件，三个作为结论并证明．
(1) 已知： ，求证： ．
(2) 证明：
33．如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝
12cm.
求⊙O的半径；34．如图，在平面直角坐标系中，方程 表示圆心是 ，半径是 的圆，其中
， ．
(1) 请写出方程 表示的圆的半径和圆心的坐标；
(2) 判断原点 和第（1）问中圆的位置关系．
35．如图，在 中， ，点D、E在 上， ，过A，D，E三点作 ，连接
并延长，交 于点F．
(1) 求证： ；
(2) 若 ，求 的半径长．36．如图，在 中， ，C为 上一点，连接 ．
(1) 若 ，求 的度数；
(2) 若 的面积与 的面积之比为 ，求 的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
解：A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意；
D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意；故选：C
【点拨】此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键．
2．B
【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B.
【点拨】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
3．C
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C、是圆心角，故本选项符合题意；
D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，
叫圆心角）是解此题的关键．
4．C
【分析】点在圆上，则 ；点在圆外， ；点在圆内， (d即点到圆心的距离， 即圆的半
径）．
解：∵ ，
∴点A与 的位置关系是点在圆外，
故选：C．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆
心的距离和半径的大小关系．
5．B
【分析】连接 ， 由已知条件求得 ，由 ，得 ，继而求得
，再根据三角形内角和性质，即可求得 ．
解：如解图，连接 ， ，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题考查了圆心角定理，圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，熟悉以上知识是解
题的关键．
6．B
【分析】连接 ，易得 ，利用三角形外角的性质得到 ，
，进行求解即可．
解：连接 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点拨】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相
等，得到等腰三角形，是解题的关键．
7．C
【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点
P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．
解：若 所在平面内一点P到 上的点的最大距离为a，最小距离为b，
若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为 ，因而半径为 ；
当此点在圆外时，圆的直径是 ，因而半径是 ；
故选C．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的
认识．
8．D
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝40°，∠COD＝2∠CAD＝48°，根据等
腰三角形的性质即可得到结论．
解：
如图，连接OA，OC，
∵∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∠COD＝2∠CAD＝48°，
∴∠AOD＝40° 48°＝88°，
+∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD＝ (180° 88°)＝46°，
−
故选：D．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形性质与圆周角定理的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
9．B
【分析】如图，连接 先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答
案．
解：如图，连接
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∴ 的度数为：
故选B．
【点拨】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的
度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
10．C
【分析】由于 ， ，当以点 为圆心 为半径作圆，如果点 、点 只有一个点在圆内时，
那么点 在圆内，而点 不在圆内．当点 在圆内时点 到点 的距离小于圆的半径，点 在圆上或圆外
时点 到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半径的取值范围．解：当点 在圆内时点 到点 的距离小于圆的半径，即： ；
点 在圆上或圆外时点 到圆心的距离应该不小于圆的半径，即： ；
即 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系．
11．B
【分析】连接OA，OF，由题意得OA=OF，设OC=x，由勾股定理得 ，解答
方程可得OC的值，再运用勾股定理可得OD的长．
解：连接OA，OF，如图，
∵OF是半圆O的半径，
∴OA=OF，
∵四边形ABCD、EFGC是正方形，
∴ ，
设 ，
∴BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2，
在Rt 和Rt 中，
,
∴ ，
∵
∴ ,
解得， ，即OC=1，
在Rt 中， ,∴ ,
故选：B．
【点拨】本题主要考查了圆的基本概念，勾股定理以及正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的
关键．
12．C
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点
时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝ CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝4 ，
∴CD＝4 +2，
∴OM＝ CD＝2 +1，即OM的最大值为2 +1；故选：C．
【点拨】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位
置是关键，也是难点．
13．D
【分析】由 中 知要使 取得最大值，则 需取得最大值，连接 ，并延长交
于点 ，当点 位于 位置时， 取得最大值，据此求解可得．
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 、点 关于原点 对称，
∴ ，
∴ ，
若要使 取得最大值，则 需取得最大值，
连接 ，并延长交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最大值，
过点 作 轴于点 ，
则 、 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半得出 取得最小值时点 的位置．
14．D
【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和 求得AM垂直平分BC，进而得到 的度数，根据圆周角定理即可解答．
解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形
的性质构造等腰三角形，求出 所对的圆周角．
15．B
【分析】由勾股定理求出 ，连接 ，交 于点F，作 于点E，求得 ，再
根据圆的运动过程，判断出r的取值范围即可．
解：∵四边形 是矩形，
∴
∵ ，
∴
∴由勾股定理得， ，
连接 ，交 于点F，作 于点E，
∵
∴
点O从点D开始向B移动，移到E时， 的长度从1减到 ，再移到点F，此时 ，
在这一范围内， ， ,
∴当 时，A，B都在圆外，不满足条件；
当点O从点F移到点B时， ，此时， ， ，
∴当 时，满足两点在圆内的条件；
当 ，即 ，点O在点F的位置， ，此时四点都在圆上，不满足条件；
当 ，即 ，点O在点B的位置，此时 ， ，A和B在圆内，点D
在圆外，满足条件，
故r的取值范围是： ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确进行分类讨论是解答本题的关键．
16．4
【分析】根据直径是圆中最长的弦解答即可．解：∵直径是圆中最长的弦， 的半径为2cm，
∴ 最长的弦为4 cm，
故答案为：4．
【点拨】此题考查了圆的性质，正确理解直径是圆中最长的弦是解题的关键．
17．2
【分析】根据点与圆的位置关系即可得到结论．
解：∵Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，
根据三角形的三边关系，PQ≥OP－OQ（注：当O、P、Q共线时，取等号）
∴PQ长的最小值＝5-3＝2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查的是点与圆的位置关系，掌握三角形的三边关系求最值是解决此题的关键．
18．60°
【分析】根据圆心角定理可得∠AOB=60°，即∠COD=60°，则 的度数为60°.
解：∵ 为60°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=60°，
则 的度数为60°.
故答案为60°.
【点拨】本题主要考查圆心角定理：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
19．
【分析】当点到圆心的距离小于半径长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径长时，点在圆上；
当点到圆心的距离大于半径长时，点在圆外；据此进行判断 的范围即可．
解： 的半径为6，点 在 外，
点 到圆心 的距离 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系判断点与圆心距离的范围是解题关键．
20．1或2
【分析】分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．
解：点在圆内，圆的直径为1+3=4，圆的半径为2；点在圆外，圆的直径为3−1=2，圆的半径为1，
故答案为1或2.
【点拨】本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.
21．
【分析】根据等边三角形的三线合一得出 ，设 ，则 ，
，根据勾股定理得出 ，然后根据圆的定义可知 ，从而得出答案．
解： 是等边三角形， ，
，
设
则 ，
在 中，
点A、D、C都在弧 上，且弧 是以B为圆心， 长为半径作的圆，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆的概念，等边三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质和概念是解题的关键．
22．（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，
不但长度相等，弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这
条弦是直径．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点拨】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．
23．
【分析】根据勾股定理用 表示出 ，根据垂线段最短解答即可．
解： ，
，
当 最小时， 取最小值，
由题意得：当 时， 最小，最小值为3，
的最小值为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系、垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出
的长是解题的关键．
24．
【分析】连接 、 ，结合题意，根据等边三角形性质，得 ；再根据圆周角和圆心角
的性质分析，即可得到答案．
解：如图，连接 、
∵半径为1的⊙O中，弦AB的长为1
∴
∴△ABO是等边三角形
∴∴弦AB所对的圆周角的度数为 或者是180°-30°=150°，
故答案为：30°或150°．
【点拨】本题考查了等边三角形和圆的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、圆周角、圆心角的
性质，从而完成求解．
25．12
【分析】根据题意知 的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解．
解：∵ 是 内一点，
∴ 的直径为最小距离与最大距离的和，
∵最小距离与最大距离是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
∴ 的直径为 ，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与
系数的关系．
26． /
【分析】如图，连接OE,设OD＝m,证明∠OCE＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．
解：如图，连接OE．设OD＝m．
∵CD⊥OB，
∴∠CDO＝90°，
∵∠COD＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
∴OC＝2OD＝2m，CD＝ m，∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝ m，∠DCE＝60°，
∴∠OCE＝∠OCD+∠DCE＝90°，
∴OC2+CE2＝OE2，
∴4m2+3m2＝42，
∴m＝ （负根舍去），
∴CD＝ m＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查解直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用
参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．
【分析】根据题意，有OA=AB=4，AM=2，设点A为（x，y），分别利用点的坐标求出OA和AM，即
可得到x、y的值，结合点A在第一象限，即可得到点A的坐标.
解：∵⊙M的半径为2，
∴OA=AB=4，AM=2，
设点A为（x，y），则有
， ，
∴ ， ，
解得： ，
把 代入 ，解得： ，
∵点A在第一象限，
∴ ，∴点A为： .
故答案为： .
【点拨】本题考查了圆的性质，以及了两点之间的距离公式，坐标与图形，解题的关键是利用两点两
点之间的距离公式求出x、y的值.
28．
【分析】延长 到点G，使得 ，设半圆的圆心为点O，连接 交 于点M，交半圆于点
N，则 的最小值是 ，根据 用勾股定理计算即可．
解：延长 到点G，使得 ，设半圆的圆心为点O，连接 交 于点M，交半圆于点N，
则 的最小值是 ，
∵E是边长为4的正方形 的边 上的一个动点，F是以 为直径的半圆上的一个动点，
∴ ， ，
过点O作 于H，
∵边长为4的正方形 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
当点F与点N重合，点E与点M重合时， 最小，
且 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质，熟练掌握线段和最小原理，圆的最值性质，是解题的关键．
29．
【分析】连接OD，OE，因为 = ，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，
EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF= ，在Rt△DOC中，
OD= ，所以AO=DO= ，AC= ，BC=AB-AC= - = ，所以以AC和BC的
长为两根的一元二次方程是（x- ）(x- )=0，整理，得 ．
解：连接OE，OD，
∵ = ，
∴∠DOC=∠EOF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠DCO=∠EFO=90°，
又∵DO=EO，
∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴CO=OF= ，
∵在Rt△DOC中，OD= ，
∴AO=DO= ，AC=AO-CO= ，AB=2AO= ，BC=AB-AC= - = ，∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x- ）(x- )=0，整理，得 ．
故答案为：x2- x+1=0．
【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开
放题，注意数形结合与方程思想的应用．
30．1+ ．
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质得PA＝AB＝AC＝a，再计算出DA＝ ，当点A到⊙D
的距离最大时a最大，所以点P为直线AD与圆的交点重合时，a取最大或最小，从而得到a的最大值．
解：连接PA，
∵A（2，0），B（2−a，0），C（2＋a，0），
∴AB＝AC＝a，
∵∠BPC＝90°，
∴PA＝AB＝AC＝a，
∵DA＝ ，
∴点P为直线AD与圆的交点重合时，a取最大和最小值，即：a的最大值=1+ ．
故答案为：1+ ．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已
知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了勾股定理．
31．见分析
【分析】根据直径、弦、半径的概念求解可得．
解：直径有：直径 ；
半径有： ；弦有：弦 、弦 ．
【点拨】本题主要考查圆的认识，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．注意，直径
是最长的弦．
32．(1)①②；③④⑤；(2)证明过程见详解
【分析】（1）已知，① 是直径 ；② ，垂足为 ，求证③ ；④ ；
⑤ ，是证明垂径定理的性质；
（2）如图所示（见详解），连接 ， 可得等腰直角三角形 ， ，由三角形全等即可求证．
（1）解：根据 是 直径 ， ，垂足为 ，可证明 ； ； 成立，
是垂径定理的性质，
∴已知 是 直径 ， ，垂足为 ，求证 ； ； ．
（2）解：如图所示，
是 直径 ， ，垂足为 ，连接 ， ，
∵ ， 是 半径， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ， ，同圆中，等角所对的弧相等．
【点拨】本题主要考查圆的垂径定理的性质的证明，掌握圆中直径、半径、弦的位置关系，圆心角与
所对弧的关系是解题的关键．33．⊙O的半径为6 cm.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，易得到PD=9cm，再利用勾股定理解题即可
解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则BD＝AD＝3 cm，
∴PD＝PA＋AD＝6＋3＝9(cm)，
在Rt△POD中，OD＝ cm
在Rt△OBD中，OB＝ cm
∴⊙O的半径为6 cm.
【点拨】考查圆内中勾股定理的运用，能够做出垂线是解题关键
34．(1)半径为5，圆心 ；(2)在圆上
【分析】（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程 表示圆心是 ，半
径是 的圆”即可直接得出答案；
（2）将原点 的坐标代入 ，即可判断出点与圆的位置关系．
（1）解： 在平面直角坐标系中，方程 表示圆心是 ，半径是 的圆，
将 化成 ，
表示的圆的半径为5，圆心的坐标为 ；
（2）解：将原点 代入 ，
左边 右边，
原点 在 表示的圆上．
【点拨】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键．
35．(1)见分析；(2)
【分析】（1）如图所示，连接 ，先证明 ．得到 ，再由
得到 垂直平分 ，即可证明 ；
（2）利用三线合一定理得到 ．则 ．求出 ．设半径为r，则 ．
在 中，利用勾股定理建立方程求解即可．
解：（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ ．
∴ ．
又∵ ．
∴ ．
∴ ，
又∵ ．
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
（2）∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
设半径为r，则 ．在 中， ，
∴ ，
解得 ．
∴ 的半径长为 ．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判
定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
36．(1)∠BOC的度数为50°；(2)
【分析】（1）设 ，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到
，再根据 建立方程求解即可；
（2）过C作 于H，设 ，根据三角形面积之比求出 ，则由勾股定
理得 ，进而得到 ，再利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
（1）解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：过C作 于H，设 ，∵ 的面积与 的面积之比为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股可得 ，
在 中，由勾股可得 ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助
线构造直角三角形是解题的关键．
