文档内容
专题 24.2 垂径定理（3 大知识点 11 类题型）（知识梳理与考点分类
讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
【知识点2】垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧.
【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可
以是过圆心的直线或线段.
【知识点3】垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平
分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过
圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角
形”，通过勾股定理求值或证明.
【题型目录】
【题型1】垂径定理和推论的理解..............................................2；
【题型2】利用垂径定理求半径................................................2；【题型3】利用垂径定理求弦长或弦心距........................................3；
【题型4】利用垂径定理求角度或其他线段长....................................4；
【题型5】利用垂径定理解决平行弦问题（分类讨论）............................5；
【题型6】利用垂径定理解决同心圆问题........................................5；
【题型7】利用垂径定理推论求值..............................................6；
【题型8】利用垂径定理进行证明..............................................6；
【题型9】垂径定理的应用....................................................7;
【题型10】直通中考.........................................................8；
【题型11】拓展练习.........................................................9.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】垂径定理和推论的理解
【例1】（23-24九年级上·广西防城港·期末）下列判断正确的是（ ）
A．弦心距相等则弦也相等
B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分
C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
D．弦的垂直平分线必定经过圆心
【变式1】（21-22九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的弦，根据下列条件填空：
（1）如果 是 的直径，且 于点 ，那么有 ， ， ；
（2）如果 是 的直径，且 ，那么有 ， ， ；
（3）如果 ，且 ，那么有 ， ， ．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
【题型2】利用垂径定理求半径
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图， 是 的弦， 为 的中点， 的延长线与
交于点 ，若 ， ，求 的半径．
【变式1】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图， 为 的弦， 于点 ．若 ，
，则 的半径长为 ．
【变式2】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出
盒外，其截面如图所示，已知 ，则圆形纸片的半径长是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】利用垂径定理求弦长或弦心距
【例3】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线 与坐标轴相交于点A，
B，过点O，A的 与该直线相交于点C，连结 ， ．
(1)求点E到x轴的距离． (2)连结 ，求 的长．【变式1】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，
使其一边经过圆心 ，另一边所在直线与半圆相交于点 ，量出半径 ，弦 ，则直
尺的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，已知 的直径 ，点 是弦 上一点，
连接 ， ， ，则弦 的长为 ．
【题型4】利用垂径定理求角度或其他线段长
【例4】（2021·浙江宁波·一模）如图，在 中， ，以点A为圆心， 长为半径作圆，
交 于点D，交 于点E，连接 ．
(1)若 ，求 的度数； (2)若 ， ，求 的长．【变式1】（2024·福建龙岩·模拟预测）在 中，点C为弦 的中点，过点C的直径交 于点D，
E，如果 ，则 长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【变式2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知 的半径为7， 是 的弦，点P在弦
上．若 ，则 的长为 ．
【题型5】利用垂径定理解决平行弦问题（分类讨论）
【例5】（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）已知 的半径为13，弦 平行于 ， ，
求 和 之间的距离．
【变式1】（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面
⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【变式2】（2023九年级上·全国·专题练习）已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦，
， ， ，则 与 之间的距离为 cm．
【题型6】利用垂径定理解决同心圆问题
【例6】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
交小圆于点B、C．
(1)求证： (2)当 时，求大圆与小圆的面积之差．【变式1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，以 为圆心的同心圆中，大圆的弦 交小圆
于 两点，
求证：(1) ；(2) ．
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小
圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【题型7】利用垂径定理推论求值
【例7】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，D、E分别是 的中点， 交 于
M、交 于 求证： ．
【变式1】（2023·广东河源·一模）如图， 为⊙O的直径， 是⊙O的弦，点 是 上的一点，且 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，已知 ， ，依据尺规作图的
痕迹可求出 的长为 ．
【题型8】利用垂径定理进行证明
【例8】（20-21九年级上·辽宁大连·期中）如图， 是 的直径，C，D是 上两点，且 平分
，作 于E．
(1)求证： ；(2)求证： ．
【变式1】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，点 在 上，直径 于点 ，下列结论
中不一定成立的是（）A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为M，
下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【题型9】垂径定理的应用
【例9】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒
车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．
已知圆心O在水面上方，且 被水面截得弦 长为8米， 半径长为6米，若点C为运行轨道的最
低点，则点C到弦 所在直线的距离是多少？
【变式1】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，
B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（ ）A．(2,1) B．(1,0) C．(2,0) D．
【变式2】（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架 与地
面垂直，真空集热管 与地面水平线夹角 为 ，直线 与 都经过水箱截面的圆心O．已知
， ，则水箱内水面宽度 为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型10】直通中考
【例1】（2023·浙江金华·中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于
点 ．连接 ，过点 作 于点 ．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)已知 的半径为4， ，求弦 的长．【例2】（2024·江西·中考真题）如图， 是 的直径， ，点C在线段 上运动，过点C的
弦 ，将 沿 翻折交直线 于点F，当 的长为正整数时，线段 的长为 ．
【题型11】拓展延伸
【例1】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，M为x轴正半轴上一点， 与x轴负半轴交于点A，
与y轴正半轴交于点B，连接 ，将 绕顶点B逆时针旋转 得到 ，此时点C恰在 上，
若 半径为4，则点D的坐标是 ．
【例2】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交
于 两点，与y轴交于C点，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使 ，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积．
