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专题 24.2 垂径定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 垂径定理的概念识别】..............................................................................................................................1
【题型2 由垂径定理求线段的长度】......................................................................................................................2
【题型3 由垂径定理求面积】..................................................................................................................................3
【题型4 由垂径定理解决平行弦问题】..................................................................................................................4
【题型5 由垂径定理求坐标】..................................................................................................................................5
【题型6 由垂径定理解决同心圆问题】..................................................................................................................6
【题型7 利用垂径定理格点作图】..........................................................................................................................8
【题型8 利用垂径定理求整点的个数】..................................................................................................................9
【题型9 利用垂径定理解决动点问题】................................................................................................................10
【题型10 垂径定理的应用】....................................................................................................................................11
知识点：垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【题型1 垂径定理的概念识别】
【例1】（23-24九年级·贵州黔西·阶段练习）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论
正确的是（ ）
A．OE=2 B．EC=2
C．AB垂直平分OC D．OC垂直平分AB
【变式1-1】（23-24九年级·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD
于E，下列说法错误的是（ ）
A．CE=DE B．A´C=A´D C．OE=BE D．∠COB=2∠BAD
【变式1-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，A´B=B´C=C´D，OB，OC分别交AC，BD于点E，
F，连接EF，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AC=BD B．OE⊥AC，OF⊥BD
C．△OEF为等腰三角形 D．△OEF为等边三角形
【题型2 由垂径定理求线段的长度】
【例2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，圆O的半径OD垂直弦AB于点C，连接AO并延长交圆O
于点E，连接BE．若AB=8，BE=6，则CD长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【变式2-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD
(1)求证：点E是OB的中点；
(2)若AB=12，求CD的长．
❑√3
【变式2-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+❑√3与⊙O
3
相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 ．
【变式2-3】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条
弦，垂足为P，且AB=CD=6，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C．3❑√2 D．4❑√2
【题型3 由垂径定理求面积】
【例3】（23-24九年级·广东肇庆·期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC，
BD，F为AC的中点，且OF=1，(1)求BC的长；
(2)当∠BCD=30°时，求△ABC的面积．
【变式3-1】（23-24九年级·北京·期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长
交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．
【变式3-2】（23-24九年级·北京海淀·开学考试）如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=6❑√2，延长
DE到A，使得EA=❑√2，直线AC与半圆交于B，C两点，且∠DAC=45°．
(1)求弦BC的长；
(2)求△AOC的面积．
【变式3-3】（23-24九年级·湖北黄石·期中）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分
别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．
【题型4 由垂径定理解决平行弦问题】
【例4】（23-24九年级·天津和平·期中）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝
18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．【变式4-1】（2024·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，
则CD与AB之间的距离是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，在以AB为直径的圆中，弦CD⊥AB，M是AB上一
点，射线DM，CM分别交圆于点E，F，连接EF，求证EF⊥AB．
【变式4-3】（23-24九年级·江苏宿迁·阶段练习）若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，
AB=10，CD=24，则AB，CD之间的距离为
【题型5 由垂径定理求坐标】
【例5】（23-24九年级·河南信阳·期末）如图，半径为5的⊙A经过M，N两点，若已知两点坐标分别为
M(0,−3)，N(0,−9)，则A点坐标为（ ）
A．(−5,−6) B．(−4,−5) C．(−6,−4) D．(−4,−6)
【变式5-1】（23-24九年级·上海·阶段练习）在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P的坐标为(1,y)，点A的坐标为(−1,0)，那么点B的坐标为 ．
【变式5-2】（23-24九年级·云南曲靖·期末）如图在平面直角坐标系xOy中点A在x轴负半轴上，点B在y
轴正半轴，以AB为直径的⊙D经过点O，连接OD，过点D作DE⊥AO于点E，若∠ADO=120°，
AB=4，则圆心点D的坐标是 ．
【变式5-3】（23-24九年级·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知O为坐标原点，点M
6
是反比例函数y= (x>0)图象上的一个动点，若以点M为圆心，4为半径的圆与直线y=x相交，交点为
x
P，Q，当弦PQ的长为4❑√3时，点M的坐标为（ ）
A．(1,6)和(6,1) B．(2,3)或(3,2)
C． 或 D． 或
(❑√2,3❑√2) (3❑√2,❑√2) (❑√3,2❑√3) (2❑√3,❑√3)
【题型6 由垂径定理解决同心圆问题】
【例6】（23-24九年级·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放
置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则
杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.A．6 B．4❑√2 C．4❑√3 D．4❑√5
【变式6-1】（23-24九年级·广东广州·期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大
圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【变式6-2】（23-24九年级·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条
直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，
AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【变式6-3】（23-24九年级·浙江·期末）某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是
构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长
方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利
用数据能够估算隧道外径(OB)大小的组是（ ）
小组 测量内容
AB,A´D,B´C
甲
的长
乙 HG,GN的长A．两组测量数据都不足 B．甲组 C．乙组 D．两组都可以
【题型7 利用垂径定理格点作图】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画
法）
(1)在图1中，画出劣弧A´B的中点D；
(2)在图2的劣弧A´C上找一点E，使A´E=A´B．
【变式7-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系xOy中，一条
圆弧经过A(0,3),B(2,3)C(3,2)三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．(0,0) B．(1,1) C．(0,1) D．(1,0)
【变式7-2】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，
点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．(1)过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为（______，______）；
(2)请通过计算判断点D(3,−5)与⊙M的位置关系．
【变式7-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在8×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，
请按要求作图：
(1)已知点B在A´C上，作A´C所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
(2)作格点△ADC（顶点均在格点上），使∠ADC与∠ABC互补．
【题型8 利用垂径定理求整点的个数】
【例8】（2024·四川自贡·模拟预测）已知⊙O半径为5，P在⊙O所在平面OP=3，则过点P的弦中，长
为整数的弦有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，直径为10的⊙O内有一点P，且OP=3，则经过P点
的所有弦中长度为整数的有 条．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆
过点A(13，0)，直线y=kx−3k+4(k≠0)与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为整数的有 条．【变式8-3】（2024·河北石家庄·一模）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如
图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整
数点有 个．
【题型9 利用垂径定理解决动点问题】
【例9】（23-24九年级·河南周口·阶段练习）如图，在⊙Q中，半径为5，GH,CD是两条弦，GH=8，
CD=6，GH⊥MN于点E，CD⊥MN于点F．点P在MN上运动，则PG+PC的最小值为 ．
【变式9-1】（23-24九年级·河南信阳·期中）如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，
已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，
当∠OBE＝30°时，t的值为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P
点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A
运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）如图，AB为半圆的直径，AB=10，点O到弦AC的距离为4
，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过 秒后，ΔAPC为等
腰三角形．
【题型10 垂径定理的应用】
【例10】（23-24九年级·浙江台州·期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁
中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所
示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为（ ）A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
【变式10-1】（23-24九年级·陕西商洛·期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，AB为16米，拱高
CN为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度DE为12米时，求水面涨高了多少？
【变式10-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛
水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4
米，⊙O半径为2.5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 米．
【变式10-3】（23-24九年级·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．
把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形ABCD是观众观演
区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF长8米，舞台区域最大深度为2
米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众．
