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专题 24.2 点和圆的位置关系
◆ 典例分析
【典例1】如图，A，B为⊙O上两点，∠AOB=90°，C为⊙O上一动点（不与A，B重合），D为AC
的中点．若⊙O的半径为2，则BD的最大值为 ．
【思路点拨】
取OA的中点E，连接OC,BE,DE，得到EO=EA，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，再求
最值即可．
【解题过程】
1
解：如图，取OA的中点E，连接OC,BE,DE，则EA=EO= OA=1，
2
∵D为线段AC的中点，
∴DE是△OAC的中位线，
1
∴DE= OC=1．
2
∴EO=EA=DE，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点．
∴求线段BD长度的最大值即是求点B与⊙E上的点的最大距离．
如图，当点D在线段BE的延长线上时，线段BD的长度取得最大值，∵OB=2,OE=1,∠AOB=90°，
∴BE=❑√OB2+OE2=❑√5．
∴线段BD长度的最大值为BE+DE=❑√5+1．
故答案为：❑√5+1．
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在△ABC中，∠B=55°,∠C=65°．分别以B,C为圆心，BC长为
半径作圆B、圆C，关于A点位置，下列叙述中正确的是（ ）
A．在圆B外部，在圆C内部 B．在圆B外部，在圆C外部
C．在圆B内部，在圆C内部 D．在圆B内部，在圆C外部
【思路点拨】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d>r；点
P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔dBC>AC，
如图，以B,C为圆心，BC长为半径作圆B、圆C，
∵AB>BC，AC5时，点B、C、D在⊙A内，
5
∴若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是 PD>PB，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【解题过程】
解：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3❑√5，
∵AB=8，BP=3AP，
∴AP=2，BP=6，
在Rt△ADP中，AP=2，AD=3❑√5，
∴PD=❑√AP2+AD2=7，
在Rt△PBC中，∵PB=6，BC=3❑√5，
∴PC=❑√PB2+BC2=9，
∴PC>PD>PB，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
故选：C．
6．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为A(−2,−2)，B(6,−2)，
C(6,4)，顺次连接，现添加一点D，使得AD=5，那么CD的长不可能为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．15
【思路点拨】
本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点D所处的位置是解题关键．首
先根据点A、B、C的坐标，确定AC=10，由题意可知点D在以点A为圆心，以5为半径的圆上，然后
确定CD的取值范围，即可获得答案．【解题过程】
解：如下图，
∵A(−2,−2)，B(6,−2)，C(6,4)，
∴AB=6−(−2)=8，BC=4−(−2)=6，∠ABC=90°，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√82+62=10，
由题意可知，AD=5，
则点D在以点A为圆心，以5为半径的圆上，
∴当点D在线段AC上时，CD取最小值，
此时CD =AC−AD =10−5=5，
1 1
当点D在线段CA的延长线上时，CD取最大值，
此时CD =AC+AD =10+5=15，
2 2
∴CD的取值范围为5≤CD≤15，
∴CD的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
7．（2024·广东江门·一模）如图，△ABC的三边BC、AC、AB的长度分别用a、b、c表示，且
a、b、c满足(a−b) 2+❑√2a−b−4+|c−4❑√2|=0，点M在边BC上，将△ACM沿AM折叠，使点C
落在点C′，则BC′的最小值为（ ）A．2❑√2−2 B．4❑√2−2 C．4−2❑√2 D．4❑√2−4
【思路点拨】
本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由
非负数的性质可得a=b=4，c=4❑√2，进而由勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，又由折叠可得
∠AC′M=90°，AC′=AC=4，由此判断出点C′在以点A为圆心，AC为半径的圆上，由三角形三边关
系可得BC′≥AB−AC′，即可求解，判断出点C′在以点A为圆心，AC为半径的圆上是解题的关键．
【解题过程】
解：∵(a−b) 2+❑√2a−b−4+|c−4❑√2)=0，
∴a−b=0，2a−b−4=0，c−4❑√2=0，
∴a=b=4，c=4❑√2，
∴AC=BC=4，AB=4❑√2，
∵a2+b2=c2=32，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
由折叠可得，∠AC′M=90°，AC′=AC=4，
∴点C′在以点A为圆心，AC为半径的圆上，如图，
∵BC′≥AB−AC′，
∴BC′≥4❑√2−4，
∴BC′的最小值为4❑√2−4，故选：D．
8．（2023·广东清远·模拟预测）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，
AB=2❑√13cm，AC=6cm．D是B´C上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点
D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．❑√13−2 B．❑√13 C．❑√3 D．2
【思路点拨】
以AC为直径画圆，圆心为O′，连接BO′、BC，在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B−O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【解题过程】
解：如图，以AC为直径画圆，圆心为O′，连接BO′、BC，
，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=6cm，AB=2❑√13cm，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√(2❑√13) 2 −62=4(cm)，O′E=3(cm)，
在Rt△BCO′中，BO′=❑√O′C2+BC2=❑√32+42=5，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B−O′E=5−3=2，
故选：D．9．（23-24九年级上·湖北·期中）如图，⊙O的直径AB=4，C为弧AB的三等分点(靠近点A)，P是⊙O
上的一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．❑√2+1 B．❑√3 C．❑√3+1 D．❑√5+1
【思路点拨】
连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，可证得点D在⊙G上，求出OC=OA=2，求出
OG、OF、CF长，根据勾股定理求出CG，再根据两点之间线段最短得出CD≤CG+GD，再求出答案即
可．
【解题过程】
解：∵直径AB=4，
∴CO=AO=2，
连接OD，OP，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，
∵OA=OP，D为AP的中点，
∴OD⊥AP，
1
即点D在⊙G上，GD= OA=1，
2
∴OG=1，
∵点C为弧AB的三等分点（更靠近A点），
∴∠AOC=60°，
∴∠FGO=30°，1 1 1
∴OF= OG= ，GF=❑√3OF= ❑√3，
2 2 2
1 3
∴CF=OC−OF=2− = ，
2 2
由勾股定理得：CG=❑√GF2+CF2=❑ √ (1 ❑√3 ) 2 + (3) 2 =❑√3，
2 2
∵CD≤CG+GD，
∴CD≤❑√3+1，
∴CD的最大值是❑√3+1，
故选：C．
10．（23-24九年级上·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，D是AB边
的中点，以点C为圆心，2.4cm为半径作圆，则点D与⊙C的位置关系是 ．
【思路点拨】
本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
1 5
根据勾股定理可求出AB=5cm，再根据直角三角形的性质求得CD= AB= cm，比较CD与⊙C的半径
2 2
即可解答．
【解题过程】
解：如图，连接CD，
∵Rt△ABC中，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√32+42=5(cm)，
∵D是AB边的中点，
1 5
∴CD= AB= (cm)，
2 2
5
即点D到圆心C的距离为 cm，
25
∵⊙C的半径为2.4cm，而2.4cm< cm，
2
∴点D在⊙C外．
故答案为：点D在⊙C外
11．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在△ABC中，若点O为BC边的中点，则必有：
AB2+AC2=2AO2+2BO2成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=6
，EF=4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则M F2+MG2的最大值为 ．
【思路点拨】
本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，三角形三边关系，设点O是GF的中点，连接OM，OD，
DM，由题意得出MG2+M F2=2GO2+2MO2，结合OG=OF=3得出OM最大值时，MG2+M F2的
值最大，再由三角形三边关系得出OM的最大值为7，计算即可得出答案．
【解题过程】
解：设点O是GF的中点，连接OM，OD，DM，
在矩形DEFG中，DE=6，EF=4，
∴∠DGO=90°，DG=EF=4，FG=DE=6，
由题意可得：MG2+M F2=2GO2+2MO2，
∵OG=OF=3，
∴OM最大值时，MG2+M F2的值最大，
∵DM=2，OD=❑√DG2+OG2=❑√42+32=5，
∴OM≤OD+DM=5+2=7，
∴OM的最大值为7，
∴MG2+M F2的最大值=2×32+2×72=116，故答案为：116．
12．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A的坐标为(6,8)，AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内
一点，OC=5，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最小值为 ．
【思路点拨】
本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定BD为最小值时点
1
C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到BD = EC，求出CE的最
2
小值即可．
【解题过程】
解：如图，作点A关于x轴的对称点E(6,−8)，
则点B是AE的中点，
又∵点D是AC的中点，
∴BD是△AEC的中位线，
1
∴BD = EC，
2
∴当EC最小时，BD最小，
∵点C为坐标平面内一点，且OC=5，
∴点C在以O为圆心，5为半径的⊙O上运动，
∴当EC=OE减去半径时，EC最小．
∵OB=6，BE=8，
∴OE=10，∴CE的最小值为10−5=5，
5
∴BD的最小值= ．
2
5
故答案为： ．
2
13．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，已知⊙O的半径是6，点A，B在⊙O上，且∠AOB=90°，动
点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD长度的最小值是
．
【思路点拨】
1
取OB的中点E，根据三角形中位线定理得到DE= OC=3，得到点D在以E为圆心，3为半径的圆上，
2
得到AD的最小值就是点A与圆E上的点的距离的最小值，根据勾股定理求得AE=3❑√5，得到AD的最小
值为3❑√5−3．
【解题过程】
解：如图，取OB的中点E，连接DE，AE，OC，
∵⊙O的半径是6，
1
∴OE=BE= OB=3，
2
∵D是BC中点，
∴DE是△OBC的中位线，1
∴DE= OC=3．
2
∴点D在以E为圆心，以3为半径的圆上．
∴求AD的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值．
∵∠AOB=90°，
∴AE=❑√OA2+OE2=3❑√5，
∵AD≥AE−DE
∴当点D在AE上时，AD取最小值为AD=AE−DE=3❑√5−3．
故答案为：3❑√5−3．
14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是圆
M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则
AB的最大值为 .
【思路点拨】
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取
得最大值时点P的位置．连接OP，由Rt△APB中AB=2OP知若要使AB取最大值，则OP需取最大值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于点P′时，OP取得最小值，当点P在OP'的延长线与⊙M的交点上
时，OP取最大值，据此可得出AB取最大值时点P的位置，求解可得结果．
【解题过程】
解：连接OP，
∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴OA=OB，即点O为AB中点，
∴AB=2OP，
若要使AB取最大值，则OP需取最大值，
连接OM，交⊙M于点P′，
当点P位于点P′时，OP取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，圆心M的坐标为(6，8)，
则OQ=6、MQ=8，
∴OM=❑√OQ2+MQ2=10，
又∵M P'=4，
∴OP′=6，
∴当点P在OP'的延长线与⊙M的交点上时，OP取最大值，
∴OP的最大值为6+4×2=14，
∴AB的最大值为2×14=28．
故答案为：28．
15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心❑√5为半径作⊙M交
y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则AD2+BD2的最
大值为 ．
【思路点拨】
本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接MN， 取MN的中点J
❑√5
， 连接MC，JD， OJ，OD，MA，MB，利用三角形中位线定理求出DJ= ，推出点D的运动轨迹
2❑√5
是以J为圆心， 为半径的圆，设D(m,n)，则 AD2+BD2=(n−1) 2+m2+(n+1) 2+m2=2(m2+n2)+2
2
，求出 m2+m2的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会利用参数解决问题，
熟练掌握知识点的应用．
【解题过程】
解：如图， 连接MN， 取MN的中点J， 连接MC，JD， OJ，OD，MA，MB，
∵点M(2,0)、N(0,4)，
∴OM=2，ON=4，
∴MN=❑√22+42=2❑√5，
∵MJ=JN，
1
∴OJ= MN=❑√5，
2
∵MJ=JN，CD=DN，
1 ❑√5
∴JD= MC= ，
2 2
∵MA=MB=❑√5，OM=2，OM⊥AB，
∴OA=OB=❑√M A2−OM2=❑√5−4=1，
∴A(1,0)，B(−1,0)，
❑√5
∴点D的运动轨迹是以J为圆心， 为半径的圆，
2
设D(m,n)，则AD2+BD2=(n−1) 2+m2+(n+1) 2+m2=2(m2+n2)+2，
∵OD2=m2+n2，
∴OD最大时，m2+m2的值最大，∵OD≤OJ+JD，
3❑√5
∴OD≤ ，
2
45
∴m2+n2的最大值为 ，
4
45 49
∴AD2+BD2的最大值为2× +2= ，
4 2
49
故答案为： ．
2
16．（2024·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，P是线段AB上一动点，点C，D绕点P逆时针
旋转90°得到点E，F，若在运动过程中∠EAF的度数最大值恰好为90°，则BC的长度为 ．
【思路点拨】
根据点与圆的位置关系，由∠EAF≤90°，得到AN≥1，根据AN≥PN−PA，得到PA≥PN−1，结合
PA≤2，得到PN≤3，由旋转的性质可得PM≤3，根据PM可以取最大值3，即可求解，
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，点与圆的位置关系，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键
是：根据∠EAF的最大值，得到PM的最大值．
【解题过程】
解：作CD中点M，EF中点N，分别以M、N为圆心画圆，连接PM、PN，AN，
由旋转的性质，矩形的性质，可得：EF=CD=AB=2，PN=PM，
在旋转的过程中当AN≥1时，∠EAF≤90°，
∵AN≥PN−PA，∴PN−PA≤1，即：PA≥PN−1，
∵点P在线段AB上，
∴PA≤2，
∴PN−1≤PA≤2，即PN≤3，
由旋转的性质可得：PM=PN，
∴PM≤3，
∴当PM可以取到最大值3时，∠EAF的度数最大值恰好为90°，
当PA=2，PM=3时，即点P与点B重合时，PC⊥CM，
在Rt△MPC中，BC=PC=❑√PM2−MC2=❑√32−12=2❑√2，
故答案为：2❑√2．
17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC和
BC为斜边，向外作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，则线段BD的最大值为 ．
【思路点拨】
取AB中点F，设△ADF的外接圆为⊙O，因为A、F为定点，又可知∠ADF=45°为定值，所以D为圆
上一动点，可知⊙O为一定圆，设点C在⊙O上时，可以确定圆心O的位置，由此即可求出BD的最大
值．
【解题过程】
解： 如图1，取AB中点F，连接DF，CF，则AF=CF=BF=1，
又∵AD=CD，
∴DF垂直平分AC，
∴∠ADF=45°，
设△ADF的外接圆为⊙O，
∵A，F为圆上的两定点，点D为动点，且∠ADF=45°为定值，
∴⊙O为一位置与大小确定的定圆，
当点C运动到⊙O上时（如图2），
∵∠ACD=45°，∠ADF=45°，
∴A´D=A´F，
∴AD=AF=1，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴四边形AFCD为正方形，
∴⊙O的圆心O在此时正方形AFCD的中心处，
1 ❑√2
取AF中点G，连接OG，则OG=GF= ，⊙O的半径r=OF= ，
2 2
∴BO=❑√OG2+BG2=❑ √ (1) 2 + ( 1+ 1) 2 = ❑√10 ，
2 2 2
当BD过点O时（如图3），BD最大，❑√10 ❑√2 ❑√10+❑√2
此时BD的最大值为BO+r= + = ．
2 2 2
❑√10+❑√2
故答案为： ．
2
18．（2023九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径AB=4，半径OC⊥AB，在射线OB上有一点D，
且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则CD的长为多少？
【思路点拨】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距
离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了勾股定理．
利用点D在OB上，得到BD=1，然后分类讨论：当点在⊙O外，OD=OB+BD=3，在Rt△COD中，利
用勾股定理可计算出CD=❑√13；当点在⊙O内，OD′=OB−BD′=1，利用勾股定理可计算出CD′=❑√5
，于是可得到CD的长．
【解题过程】
解：如图，
∵ AB=4
直径 ，
∴OB=2，
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∵点D与圆O上各点所连接线段最短为1，
∴BD=1，
当点在⊙O外，OD=OB+BD=2+1=3，在Rt△COD中，CD=❑√OC2+OD2=❑√13；
当点在⊙O内，OD′=OB−BD′=2−1=1，
在Rt△COD中，CD′=❑√OC2+OD′2=❑√5，
∴CD的长为❑√5或❑√13．
19．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有一圆弧经过三个点A、B、C，
且点A、B、C的坐标分别为A(0,4)、B(−4,4)、C(−6,2)．
（1）该圆弧所在圆的圆心M的坐标为______；
（2）⊙M的直径为______；
（3）点D(−6,−2)在⊙M______；（填内、外、上）；
（4）点O到⊙M上的点最远的距离为______．
【思路点拨】
本题考查了圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，点与圆上点的距离最值．
−4+0
（1）根据A(0,4)、B(−4,4)，得到圆心一定在线段AB的垂直平分线x= =−2上，根据同圆的半径
2
相等，确定位置即可．
（2）根据（1）得⊙M的半径为2❑√5，直径是半径的2倍，计算即可．
（3）根据M(−2,0)，D(−6,−2)，计算MD=❑√42+22=2❑√5，与⊙M的半径为2❑√5，比较，解答即
可．
（4）根据直径最大，连接OM，并延长交⊙M于点Q，此时OQ最大，OQ=QM+OM，解答即可．
【解题过程】
（1）∵A(0,4)、B(−4,4)，
−4+0
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线x= =−2上，
2∵同圆的半径相等，且MB=MC=❑√22+42=2❑√5,
∴M(−2,0)，
故答案为：(−2,0)．
（2）根据(1)得⊙M的半径为2❑√5，直径是半径的2倍，
∴⊙M的直径为4❑√5，
故答案为：4❑√5．
（3）∵M(−2,0)，D(−6,−2)，
∴MD=❑√42+22=2❑√5，
∵⊙M的半径为2❑√5，
∴点D(−6,−2)在⊙M上，
故答案为：上．
（4）∵直径最大，
∴连接OM，并延长交⊙M于点Q，此时OQ最大，
∴OQ=QM+OM=2❑√5+2，
故答案为：2❑√5+2．
20．（23-24九年级上·吉林长春·期末）【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：点A为⊙O内一定点，点P为⊙O上一动点，确定点P的位置，使线段AP最长．
【问题解决】以下是小华的方法：
如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．
理由如下：在⊙O上取点P′ (异于点P)，连结AP′、OP′．
接下来只需证明AP>AP′．
请你补全小华的证明过程．
【类比结论】点A为⊙O外一定点，点P为⊙O上一动点，设⊙O的半径为r，AO的长为m，则线段AP
长度的最大值为______，线段AP长度的最小值为______．(用含r、m的代数式表示)
【拓展延伸】如图②，在半圆O中，直径AB的长为10，点D在半圆O上，AD=6，点C在B´D上运动，连
结AC，H是AC上一点，且∠DHC=90°，连结BH.在点C运动的过程中，线段BH长度的最小值为
______．
【思路点拨】
本题是圆的综合题，考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线并能够根据点的运动情况确定H点的运动轨迹是解题的关键．
【问题解决】根据三角形三边关系求解即可；
【类比结论】结合【问题解决】求解即可；
【拓展延伸】取AD的中点M，连接BD，HM，BM.由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
推出当M、H、B共线时，BH的值最小．
【解题过程】
解：【问题解决】如图①，连接AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．理由如下：在⊙O上取点P′ (异于点P)，连接AP′、OP′．
在△AOP′中，OA+OP′>AP′，
∵OP=OP′，
∴OA+OP>AP′，
即AP>AP′；
【类比结论】如图，线段AO交⊙O于点P′，AO的延长线交⊙O于点P，
由【问题解决】知，此时AP长度最大为OA+OP=m+r，
当点P在P′位置时，AP长度最小为OA−OP′=m−r，
∴线段AP长度的最大值为m+r，线段AP长度的最小值为m−r，
故答案为：m+r；m−r；
【拓展延伸】解：如图②，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵∠DHC=90°，
∴∠AHD=90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
1
∴MH=MD= AD=3，
2
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√102−62=8，∴BM=❑√BD2+M D2=❑√82+32=❑√73，
∴BH的最小值为BM−MH=❑√73−3，
故答案为：❑√73−3．
